《数学》复习人教A（新高考）-第6节　双曲线

第八章

第6节双曲线知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线．这两个

叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)若

，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为

；(3)若

，则集合P为空集．定点a<c两条射线a>c2．双曲线的标准方程和几何性质坐标轴

原点

a2＋b2

×

×

解析

(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线．(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．解析

(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．√

×

√

2．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．解析

设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，6

B

ACD

(3，0)

考点分层突破题型剖析考点聚焦2考点一双曲线的标准方程///////自主演练B

B感悟升华考点二双曲线的定义及应用///////师生共研BC

①若均内切，则|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r－r2，此时||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，当r1≠r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1＝r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上．②若均外切，则|PC1|＝r＋r1，|PC2|＝r＋r2，此时||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，则点P的轨迹与①相同．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r＋r2，|PC2|－|PC1|＝r1＋r2.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，|PC1|－|PC2|＝r1＋r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．【例1】(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．9

感悟升华A

A

考点三双曲线的性质///////多维探究角度1求双曲线的渐近线感悟升华角度2求双曲线的离心率D

2

感悟升华ABC

C

考点四双曲线几何性质的综合应用///////师生共研A

A

A

|AF1|＝|AB|，∴4＋m＝m＋n，解得n＝4.作AD⊥BF1，垂足为D，则D为线段BF1的中点，∠F1AD＝60°，1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．感悟升华B

∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，∴C的焦距的最小值为2×4＝8.C

①求C的离心率；①解

设双曲线的离心率为e，焦距为2c，②若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.因为0≤2∠BAF≤π，0≤∠BFA≤π，所以∠BFA＝2∠BAF.综上，∠BFA＝2∠BAF.课后巩固作业提升能力分层训练3D

B

BCD

C

D

ACD

解析

等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，则点P的横坐标为±1，故C正确；故D正确．故选ACD.(答案不唯一，满足要求即可)

当m＝n＋2>0且m≠0，n≠－2时，方程表示的曲线为圆，取n＝1，则m＝3解假设直线l存在．设B(1，1)是弦MN的中点，且M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.因为M，N在双曲线上，所以2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以4(x1－x2)＝2(y1－y2)