2024年江苏省扬州市中考数学试题（含解析）

扬州市2024年初中毕业升学考试数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置，在试卷第一面的右下角填写好座位号．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.实数2的倒数是（）A. B.2 C. D.2.“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（）A B. C. D.3.下列运算中正确的是（）A. B.C. D.4.第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：视力人数7447111053这45名同学视力检查数据的众数是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是()A. B. C. D.6.如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）A.三棱锥 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体7.在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.48.1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（）A.676 B.674 C.1348 D.1350二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.近年来扬州经济稳步发展：2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为____．10.分解因式：_____．11.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872650盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于__________（精确到0.01）．12.若二次根式有意义，则x的取值范围是___．13.若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____．14.如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____．15.《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要____分钟．16.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____．18.如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：；（2）化简：．20.解不等式组，并求出它的所有整数解的和．21.2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：成绩统计表组别成绩x（分）百分比A组B组C组aD组E组成绩条形统计图根据所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图；（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）；（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．22.2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______；（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．23.为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？24.如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．25.如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．（1）求的值；（2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．26如图，已知及边上一点．（1）用无刻度直尺和圆规射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）（3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．27.如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．（1）如图，若，，求点与点之间的距离；（2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；（3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．28.在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知，，是的外接圆，点在上（），连接、、．【特殊化感知】（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】若，直接写出、、满足数量关系．（用含的式子表示）扬州市2024年初中毕业升学考试数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置，在试卷第一面的右下角填写好座位号．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.实数2的倒数是（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了倒数的运用，根据倒数的计算方法“乘积为1的两个数互为倒数”即可求解，掌握倒数的概念是解题的关键．【详解】解：∵，∴的倒数为，

故选：D

．2.“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．3.下列运算中正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了乘法公式，合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意；B、，正确，符合题意；C、，原选项错误，不符合题意；D、，原选项错误，不符合题意；

故选：B

．4.第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：视力人数7447111053这45名同学视力检查数据的众数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现最多的数，叫做众数，根据众数的定义进行判断即可．【详解】解：这45名同学视力检查数据中，出现的次数最多，因此众数是．故选：B．5.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标都变为相反数，即可得答案.【详解】∵点关于原点的对称点为，∴的坐标为（-1，-2），故选D．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，其坐标特征为：横坐标、纵坐标都变为相反数．6.如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）A.三棱锥 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体【答案】C【解析】【分析】本题考查了几何图形展开的识别，理解并掌握几何展开图的特点与立体图形的关系是解题的关键．根据平面图形特点，结合立体图形的特点即可求解．【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，∴三棱柱，

故选：C

．7.在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．【详解】当时，，∴与y轴的交点为；由于是分式，且当时，，即，∴与x轴没有交点．∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．8.1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（）A.676 B.674 C.1348 D.1350【答案】D【解析】【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．由于，即前2024个数共有674组，且余2个数，∴奇数有个．故选：D二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.近年来扬州经济稳步发展：2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为____．【答案】【解析】【分析】根据科学记数法的要求，将18700000变为，分别确定a和n的值即可．本题考查了科学记数法，其表示形式为，正确确定a和n的值是解答本题的关键．n是整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】，故答案为：．10.分解因式：_____．【答案】【解析】【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式，故答案为：．11.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872650盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于__________（精确到0.01）．【答案】0.53【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故答案：0.5312.若二次根式有意义，则x的取值范围是___．【答案】【解析】【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．13.若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____．【答案】5【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长．根据题意得圆锥的母线长为，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径．【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为，∴圆锥的底面半径为，故答案为：5．14.如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．根据一次函数与轴交点坐标可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵一次函数图象与轴交于点，∴当时，，即时，，∴关于的方程的解是．故答案为：．15.《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要____分钟．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，掌握方程解决实际问题是解题的关键．根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．详解】解：根据题意，设分钟追上，∴，解得，，∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟，故答案为：

．16.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【详解】由题意得：，∴，如图，过作于点，交于点，∴，，∴，即，∴（），即小孔到的距离为，故答案为：．17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；【详解】解：如图，过点作轴于点．∵点A的坐标为，∴，∵，，设，则，由对称可知，，∴，∴，，∴，∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，∴，解得：，∵反比例函数图象在第一象限，∴，故答案为：．18.如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____．【答案】【解析】【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果．【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B，∴点B为定点，的长度为定值，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴点H在以为直径的圆上运动，如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，∴当与相切时最大，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查分式的除法运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；（2）将除法转换为乘法，再根据分式的乘法法则化简即可求解．【详解】解：（1）；（2）．20.解不等式组，并求出它的所有整数解的和．【答案】，整数和为6【解析】【分析】本题主要考查解不等式组的整数解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键．根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可．【详解】解：，由①得，，解得，；由②得，，移项得，，解得，，∴原不等式组的解为：，∴所有整数解为：，∴所有整数解的和为：．21.2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：成绩统计表组别成绩x（分）百分比A组B组C组aD组E组成绩条形统计图根据所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图；（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）；（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．【答案】（1）20，条形统计图见详解（2）D（3）300人【解析】【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可．（2）按照中位数的定义解答即可．（3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可．【小问1详解】，C组人数为：，补全条形统计图如图所示：故答案为：20【小问2详解】，，∴200名学生成绩的中位数会落在D组．【小问3详解】（人）估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．【点睛】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键．22.2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______；（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能理解“放回与不放回的区别”是解题的关键．（1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可；（2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可；【小问1详解】解：由题意得从这些景区随机选择1个景区，选中东关街的有1种可能，∴选中东关街的概率是，故案䅁为：；【小问2详解】列表如下：小亮小明CDECDE共有9种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种结果，∴小明和小亮选到相同景区的概率：；答：小明和小亮选到相同景区的概率．23.为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？【答案】B型机器每天处理60吨【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意，得，解得．经检验，是所列方程的解．答：B型机器每天处理60吨．24.如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．【答案】（1）四边形是菱形，理由见详解（2）【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．（1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形；（2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解．【小问1详解】解：四边形是菱形，理由如下，如图所示，过点作于点，过点作于点，根据题意，四边形，四边形是矩形，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵宽度相等，即，且，∴，∴，∴平行四边形是菱形；【小问2详解】解：如图所示，过点作于点，根据题意，，∵，∴，由（1）可得四边形是菱形，∴，在中，，∴．25.如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．（1）求的值；（2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）运用待定系数法即可求解；（2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入计算一元二次方程即可求解．【小问1详解】解：二次函数的图像与轴交于，两点，∴，解得，，∴；【小问2详解】解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，∴，设，∴，∴，∴，∴当时，，无解，不符合题意，舍去；当时，，；∴．26.如图，已知及边上一点．（1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）（3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．【答案】（1）作图见详解（2）作图见详解（3）【解析】【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；（3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的计算方法可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解．【小问1详解】解：如图所示，∴；点O即为所求【小问2详解】解：如图所示，连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，∵是直径，∴，即，根据作图可得，∴，即，是点到的距离，∵，∴，∴，点即为所求点的位置；【小问3详解】解：如图所示，根据作图可得，，连接，∴在中，，∴，∴，∵是直径，∴，∴，设，则，∴在中，，解得，（负值舍去），∴，在中，．【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，作平行线，勾股定理，锐角三角函数的计算方法等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．27.如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．（1）如图，若，，求点与点之间的距离；（2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；（3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．【答案】（1）或；（2）；（3）．【解析】【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得