2023-2024学年甘肃省武威七中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年甘肃省武威七中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x(2−x)>0}，B={x|x<2}，则(

)A.A∩B=⌀ B.A∪B=R C.A⊆B D.B⊆A2.设ab>0，则“a>b”是“1a<1bA.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件3.设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)A.y=4x−1 B.y=5x−2 C.y=4x−2 D.y=5x−34.“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和.”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是(

)A.25 B.35 C.275.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M在棱DD1A.点D B.点D1 C.DD1的中点6.已知f(x)=2x−1,x<1,x2,x≥1,若A.1 B.4 C.1或4 D.27.某地区有8000名学生参加某次考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布N(110,σ2)，若P(90≤X≤110)=0.45，则估计该地区学生本次考试数学成绩在130分以上的人数为A.300 B.400 C.600 D.8008.已知偶函数f(x)定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)且x1，x2∈(−∞,0)上有f(x1)−f(x2A.(−∞,−1)∪(0,1) B.(−∞,−1)∪(1,+∞)

C.(−1,0)∪(0,1) D.(−1,0)∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了7组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为x(单位：千克)，当季该种作物的亩产量为y(单位：百千克)．x1246111319y1.93.24.04.45.25.35.4现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到y关于x的经验回归方程为y=0.17x+a，模型II为非线性经验回归方程y=c+dx，经计算可得此方程为y=1.63+0.99A.a=2.84

B.模型II的拟合效果比较好

C.在经验回归方程y=0.17x+a中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y​一定增加10.下列四个命题中假命题是(

)A.∀x∈R，x2+3<0 B.∀x∈N，x2>1

C.∃x∈Z，使x511.我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”.现有一如图所示的“暂堵”ABC−A1B1C1，其中AB⊥BC，若BBA.该“堑堵”的体积为2

B.该“堑堵”外接球的表面积为9π

C.若点P在该“堑堵”上运动，则|PA|的最大值为22

D.该“堑堵”上，AC1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若x>0，y>0，且1x+y=2，则yx的最大值为______．13.如图，二面角α−l−β的大小为60°，其棱l上有两个点A，B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=3，AC=2，BD=2，则C，D两点间的距离为______．14.已知函数f(x)=ex+e−x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x|2x−3x+5<0}，B={x|x2+ax+b≤0}且满足A∩B=⌀，A∪B={x|−5<x≤2}16.(本小题15分)

已知6件产品中有4件合格品和2件次品，现从这6件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取2件，设采用有放回的方式抽取的2件产品中合格品数为X，采用无放回的方式抽取的2件产品中合格品数为Y．

(Ⅰ)求P(X≤1)；

(Ⅱ)求Y的分布列及数学期望E(Y)；

(Ⅲ)比较数学期望E(X)与E(Y)的大小．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex+ax−e，a∈R(注：e=2.718281…是自然对数的底数)

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若f(x)只有一个极值点，求实数a18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

(1)求证：PA//平面EDB；

(2)求证：PB⊥平面EFD；

(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．19.(本小题17分)

为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%．

数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理不经常整理合计(1)求图1中m的值；

(2)根据图1、图2中的数据，补全上方2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？

附：χ2=α0.100.050.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案1.C

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.B

8.B

9.AB

10.ABD

11.ABD

12.1

13.1314.(−1,1)

15.解：因为A={x|2x−3x+5<0}={x|−5<x<32}，B={x|x2+ax+b≤0}，

又A∩B=⌀，A∪B={x|−5<x≤2}，

故B={x|32≤x≤2}，即x=2，x=32是方程x16.解：(Ⅰ)采用有放回的方式，每次抽到正品的概率都是23，

所以P(X⩽1)=1−P(X=2)=1−(23)2=59；

(Ⅱ)采用无放回的方式，Y的可能取值为0，1，2，

P(Y=0)=C22

Y

0

1

2

P

1

8

2所以E(Y)=0×115+1×815+2×615=43；

(Ⅲ)当采用有放回的方式时，17.解：(1)当a=1时，f(x)=ex+x−e，

f′(x)=ex+1，

所以f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为f′(0)=2，

又f(0)=1−e，

所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y−f(0)=f′(0)(x−0)，

即y−(1−e)=2(x−0)，

所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2x+1−e．

(2)若f(x)只有一个极值点，则f′(x)=0只有一个根，

所以方程ex+a=0只有一个根，

即ex=−a只有一个解，

即y=−a与y=ex只有一个交点，

所以−a>018.解：(1)证明：如图所示，连接AC，AC交BD于点O，连接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．

在△PAC中，EO是中位线，∴PA//EO．

而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，

∴PA/​/平面EDB；

(2)证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．

∵PD=DC，∴△PDC是等腰直角三角形．

又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①

由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC．

又PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．

又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②

由①和②推得DE⊥平面PBC．

而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．

又EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD；

(3)由(2)知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C−PB−D的平面角．

由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB．

设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a，BD=2a，PB=PD2+BD2=3a，

PC=PD2+DC2=2a，DE=19.解：(1)由题意可得(0.0025+0.005+0.0175+m+0.01)×20=1，

解得m=0.015；

(2)数学成绩优秀的有100×50%=50人，不优秀的人100×50%=50人，

经常整理错题的有100×(40%+20%)=