高中数学选修第一册：2 .5 .2 圆与圆的位置关系

2.5.2圆与圆的位置关系

基础过关练

题组一圆与圆的位置关系的判断及其应用

1.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y=0的位置关系是()

A.相交B.内切C.外切D.相离

2.设圆Ci：(x-5)2+(y-3)2=9,圆C2：x2+y2-4x+2y-9=0,则它们公切线的条数是()

A.lB.2C.3D.4

3.已知点M在圆Ci：(x+3)2+(y-l)2=4上，点N在圆C2：(x-l>+(y+2)2=4上，则|MN|的最

大值是()

A.5B.7C.9D.11

4.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+l=O,

则()

A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8

C.E=-4,F=-8D.E=4,F=8

5.已知圆Ci：x2+y2-4x+2y=0与圆C2：x2+y2-2y-4=0.

(1)求证:两圆相交；

(2)求两圆公共弦所在直线的方程.

6.已知圆01的方程为x2+(y+l)2=4,圆02的圆心为02(2,1).

⑴若圆01与圆。2外切，求圆。2的方程；

(2)若圆01与圆相交于A,B两点，且|AB|=2鱼，求圆02的方程.

题组二圆与圆的位置关系的综合运用

7.集合M={(x,y)|x2+y2^4),N={(x,y)|(x-l)2+(y-l)2^r2,r>0}MCN=N，则r的取值

范围是()

A.(0,V2-l)B.(0,l]

C.(0,2-V2]D.(0,2]

8.已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-3)2+y2=r2(r〉0)上存在点P(不同于点A,B),使得

PA•丽=0,则r的取值范围是()

A.(l,5)B.[l,5]C.(l,3]D.[3,5)

9.已知两圆相交于A(l,3),B(m,-l)两点,两圆的圆心均在直线x-y+c=O上，则m+2c的

值为()

A.-lB.lC.3D.0

10.已知圆Ci：(x+a)2+(y-2)2=l与圆C2：(x-b>+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数，则ab的

最大值为()

A.2V3B.JC.1D住

4ZL

11.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1),则两圆圆心的距离IC1C2I等于

()

A.4B.4V2C.8D.8V2

12.已知两圆x2+y2-2x-6y-l=0^0x2+y2-1Ox-12y+m=0.

(l)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

13.已知圆0城+丫2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.

(1)PA与OA、PB与0B具有怎样的位置关系？

(2)由⑴还可以得到什么结论?你能否将这一结论推广.

能力提升练

题组一圆与圆的位置关系

1.(*)若圆C:x2+y2=r2(r>0)与圆E:(x-3>+(y-4)2=16有公共点，则r的取值范围是

()

A.(3,6)B.[l,7]C.[l,9]D.[4,8]

2.(戒)若圆(x-a>+(y-a)2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是

()

A.(争)U(峙)

B.(-2V2,-V2)U(V2,2V2)

c.(考考咯考)

D.(-8,-券)U(或,+8)

3.(2019河南鹤壁高一期末,/)已知点M(-2,0),N(2,0),若圆x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)±

存在点P(不同于M,N),使得PMLPN,则实数r的取值范围是(易,)

A.(l,5)B.[l,5]C.(l,3)D.[l,3]

4.(2020安徽六安一中高一期末,#?)已知圆Ci：x2+y2=t0C2：(x-4>+y2=25,则两圆公

切线的方程为.

5.(2020山西太原第五中学高二上期中,石)已知圆Ci：(x-1)2+0+5)2=50,圆

22

C2:(x+l)+(y+l)=10.

⑴证明圆C1与圆C2相交；

(2)若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点，求圆C3的方程.

深度解析

题组二圆与圆的位置关系的综合运用

6.(*)已知M,N分别是圆Ci：x2+y2-4x-4y+7=0,C2：x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直

线x+y+l=O上的一个动点，则|PM|+|PN|的最小值为()

A.V2B.V3C.2D.3

7.(2019福建三明高一期中，时)已知点「(4-1),随艮点£是圆CiM+y2乏上的动点，

4

点F是圆C2：(x-3)2+(y+l)2芸上的动点，则IPFHPEI的最大值为()

4

A.2B.|C.3D.4

8.(2019浙江嘉兴一中期中,")我们把顶角为36。的等腰三角形称为黄金三角形.其

作法如下:①作一个正方形ABCD;②以AD的中点E为圆心，以EC为半径作圆E,

交AD的延长线于F;③以D为圆心，以DF为半径作圆D;④以A为圆心，以AD为

半径作圆A交圆D于G,则4ADG为黄金三角形.根据上述作法，可以求出cos

36°=(易错)

A.争V5+1

4

„、+口口岳g

--4--4

9.(#?)在平面直角坐标系Oxy中，点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=l上存在一点M,

满足|MA|=2|M0|,则实数a的取值范围是.

10.(2019广东深圳耀华实验中学高二期中,")已知圆Ci：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆

C2：x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线，若a,b@R且abWO,则或的最小值

为

n.(嫡)在平面直角坐标系Oxy中，点A(0,3),直线I:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心

在1上.

⑴若圆心C也在直线y=x-l上，过点A作圆C的切线，求切线方程；

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|M0|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.A由题意得，圆x2+y2=2的圆心Ch(O,O),圆x2+y2+2x-2y=0的圆心。2(/,1),圆心距

d=|OiO2|=Vl+1=V2,M个圆的半径均为VX故|ri-r2|<d<n+r2,所以两个圆相交.故选

A.

2.B圆。:仪-5)2+(广3)2=9,圆心为(5,3),半径为3;圆CzX+y?-4x+2y_9=0,圆心为(2,-

1),半径为旧,两圆的圆心距为J(5-2)2+(3+1)2=5,VV14-3<5<Vi4+3,，两个圆

相交,•••两个圆的公切线有2条.故选B.

3.C由题意知圆Ci的圆心为G3,l),半径n=2;圆C2的圆心为(1,-2),半径n=2.所以

两圆的圆心距d=J[l-(-3)K+[(-2)-l]2=5>n+r2=4,所以两圆外离，从而|MN|的最

大值为5+2+2=9.故选C.

(x2+y2-2x+F=0,①

,1%2+y?+2x+Ey-4=0,②

②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+-y--=0,

44

由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+l=0,

得解得相：力

5解析⑴证明:圆Ci的方程可化为(x-2>+(y+l)2=5,圆C2的方程可化为x2+(y-

1)2=5,

.,.CI(2,-1),C2(0,1),两圆的半径均为遥，

22

,/|CIC2|=V(0-2)+(1+1)=2V2£(0,2V5),，两圆相交.

(2)将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，

(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-l=0.

6.解析⑴设圆01、圆。2的半径长分别为口、",且易知n=2.

因为两圆相外切，所以|OiCh|=ri+r2.

22

所以r2=|OiO2|-ri=V(2-0)+(1+1)-2=2(V2-1).

所以圆02的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-871

(2)由题意，设圆02的方程为(x-2)2+(y-l)2=符(r3>0),

圆01,02的方程相减，得弦AB所在直线的方程为4x+4y+r/-8=0.

所以圆心01(0,1)到直线AB的距离为詈等=V2,

解得r9=4或r£=20.

所以圆02的方程为(x-2)2+(y-l)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.

7.C由NGM,所以圆x?+y2=4与圆色-1)2+(丫-1)2=於(1>0)内切或内含，且

4*.所以2-r2a,又r>0,所以0<rW2-VI

8.B'：PA•丽=0,...点P在以AB为直径的圆x2+y2=4±.V圆(x-3)2+y2=r2(r>0)上

存在点P(不同于点A,B),使得刀•丽=0,.,.圆(x-3)2+y2=r2(r>0)与圆x?+y2=4有公共

点,；.|r-2|W3Wr+2,解得10W5,故选B.

9.B由题意知，直线x-y+c=O为线段AB的垂直平分线，且AB的中点(詈,1)在直

线x-y+c=O上，等-1+c=0,/.m+2c=1.

10.B由题意得，圆Ci：(x+a)2+(y-2)2=l的圆心为C(a,2),半径n=l.

22

圆C2：(x-b)+(y-2)=4的圆心为C2(b,2),半径r2=2.

2222

,/圆Ci：(x+a)+(y-2)=l与圆C2:(x-b)+(y-2)=4相外切，

•••|CiC2|=n+r2,即a+b=3,由基本不等式，得abW(手)工当且仅当a=b时取等号.故选

B.

11.C•••两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1),

两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.

设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),

则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,

即a,b为方程(4-X)2+(1-X)2=X2的两个实数根，

整理得X2-10X+17=0,

/.a+b=10,ab=17.

二(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4x17=32,

22

|CiC2|=V(«-^)+(a-b)=V32x2=8.

12.解析两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,

圆心分别为M(1,3),N(5,6)泮径分别为VT1和A/61-m.

(1)当两圆外切时,J(5-l)2+(6-3)2=VTT+V61-m,解得m=25+10VTl.

⑵当两圆内切时,因定圆的半径VTT小于两圆圆心间距离5,故只有府F-VTT=5,

解得m=25-10VTl.

(3)两圆的公共弦所在直线的方程为

(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-1Ox-12y+45)=0,BP4x+3y-23=0,/.公共弦长为

2/国产”可=2近

13.解析⑴如图，点A在圆C上,OP为圆C的直径，所以OALPA,同理可得

OB±PB.

⑵由⑴还可以得到:PA是圆0的切线,PB也是圆0的切线.

这一结论可以推广为:圆0外一点P,以0P为直径的圆与圆。交于A、B两点，则

PA、PB是圆。的切线.

能力提升练

1.C两圆心间的距离|CE|=V32+42=5,

依题意得,|r-4|W50+4,

解得1&W9.

因止匕,r的取值范围是[1,9].故选C.

2.C根据题意知，圆(x-a>+(y-a)2=4与圆x2+y2=l相交，两圆圆心的距离

d=Va2+02=鱼间,所以2-1<或同<2+1,即正<同(延，所以-这<a<-也或正<a<吧故选C.

222222

3.A由PMLPN得,P点在以MN为直径的圆上(不同于M,N),

以MN为直径的圆的方程为x?+y2=4,由x2+y2-6x+9-r2=0得(x-3)2+y2=r2(r>0).

所以两圆的圆心间的距离d=3,依题意得,|r-2|<3<r+2,解得l<r<5.

易错警示由PMLPN知,P点在以MN为直径的圆上(不同于M,N),由P,M,N不共

线知，点P的轨迹是以MN为直径的圆(不含M,N两点)，从而由两圆有公共点得|r-

2|<3<r+2.

4.答案x+l=O

解析圆Ci：x?+y2=l,圆心为(0,0),半径为1;

圆C2：(x-4)2+y2=25,圆心为(4,0)泮径为5.

易知两圆内切，切点为(-1,0),又两圆圆心都在x轴上，

所以两圆公切线的方程为x=-l,即x+l=0.

5.解析⑴证明:依题意得,Ci(l,-5),r尸同=5&,C2(-l,-l),r2=g,

因此,5或-VTU<|CIC2|=A/4+16=2有<7^+5鱼,，0与C2相交.

(2)设圆Ci与圆C2的交点分别为A(xi,yi),B(x2,y2).

联立修；50:②②一①得x-2y+4=0,即x=2y-4,

((%+iy+(y+l)z=10②，

>i=0,>2=2,

第1=—4,\x2=0,

二圆C3过A(-4,0),B(0,2),原点0(0,0).

易得AABO为直角三角形,...厂为：6=代,圆心为人：6的中点(-2,1),

，圆C3的方程为(x+2)2+(y-l)2=5.

解题模板求过两圆交点的圆的方程有两种方法:一是利用圆系方程，先设后求，待

定系数;二是求出交点坐标,再结合其他条件求解.本题给出第三点是坐标原点，利用

求交点坐标，根据三点的特殊关系求解即可.

6.DCi的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=l,

C2的方程可化为(x-l)2+y2=l.

设圆C2关于直线x+y+l=0对称的圆为。2,其圆心C'2(a,b).

-+-+1=0,

依题意得22.a=—1,

—=1b=—2,

s-1

22

因此，圆C'2:(x+l)+(y+2)=l.

如图所示.

,/|CiCR=J(-1-2)2+(-2-2尸=5,

.,.(|PM|+|PN|)min=|CiC'2|-2=3,

故选D.

7.D易得点P(t,t-1)在直线x-y-l=0上，

设圆Ci关于直线x-y-l=0对称的圆为圆Ci则C'i：(x-l)2+(y+l)2=-,

4

由几何知识知，当F、E\P共线时,|PFHPE|=|PFHPE|=|EE=|CIC2|+；+；=4,故选D.

8.B以A为原点，直线AD为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系,

设|AD|=2,则|CE|=J^=|EF|,又|ED|=1,...

圆A的方程为x2+y2=4,@

圆D的方程为(x-2)2+y2=(隗-1)2,②

设G(xo,yo),

由①②得xo=①,

2

V|AG|=|AD|=2,

.,.cos36°=2=回,故选B.

\AG\4

易错警示本题的实质是计算，而不是证明，题中已经给出“黄金三角形”的作法,

在此基础上我们只需计算，即利用两圆的方程求出交点G的坐标，进而可以得到结

论.如果解题过程中不能正确理解题意,试图证明结论将造成极大的麻烦.

9.答案［0,3］

解析设满足|MA|=2|M0|的点的坐标为M