新教材 人教B版高中数学必修第二册 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 知识点考点及解题方法提炼

第四章指数函数、对数函数与幕函数

4.1指数与指数函数..........................................................1

4.1.1实数指数幕及其运算...............................................1

4.1.2指数函数的性质与图像.............................................5

第1课时指数函数的性质与图像.....................................5

第2课时指数函数的性质与图像的应用...............................9

4.2对数与对数函数.........................................................13

4.2.1对数运算.........................................................13

4.2.2对数运算法则....................................................17

4.2.3对数函数的性质与图像............................................20

第1课时对数函数的性质与图像....................................20

第2课时对数函数的性质与图像的应用..............................23

4.3指数函数与对数函数的关系..............................................27

4.4暴函数.................................................................30

4.5增长速度的比较.........................................................35

4.6函数的应用(二).........................................................38

4.1指数与指数函数

4.1.1实数指数塞及其运算

知识点

n次方根

(1)定义：给定大于1的正整数〃和实数。，如果存在实数x,使得义=。

则X称为a的〃次方根.

(2)表不:

n为奇数〃为偶数

aGRa>0a=0aVO

x=_^[a_尤=_±弧—0不存在

根式

⑴当缶有意义时，缶称为根式，〃称为根指数一，。称为被开方数.

(2)性质：

、nr…nt—f.a->〃为奇数，

【㈤，〃为偶数.

分数指数累的意义

〃为正整数，缶有意义，且aWO时，规定a;=_%_

正分数

m

指数累正分数蓝，an=_(9_=Q

负分数

s是正分数，a，有意义且aWO时，规定

指数幕

无理数指数幕

当。>0且r是无理数时，是一个确定的.实数_

实数指数幕的运算法则(a>0,h>Q,r,5GR)

(1W=ar+s.

⑵")三—，_.

(3)(abY=dbr.

题型

〃次方根的概念及相关问题

典例剖析

典例1(。求使等式［(〃一3)(一一9)=(3—0诉内成立的实数〃的取值范围;

(2)设一3V尢V3,求q?—2x+1—^X2+6X+9的值.

［分析1⑴利用亚=间进行讨论化简.

(2)利用限制条件去绝对值号.

［解析］(1八/(〃一3)(i一9)={(。—3)2(。+3)

==\a-3|［〃+3,

要使I。一3|吊〃+3=(3—。八/a+3成立,

［a—3W0,

需「、八解得一3<。<3,即实数。的取值范围为［-3,3］.

［。十3三0,

(2)原式=q(x—1y—N(x+3)2=|x—1|—|x+3|,

*.*—3<x<3,・•・当-3V九VI时，原式=一(x—1)—(x+3)——2x—2；当iWx

<3时，原式=(九一1)—(x+3)=—4.

—2x—2,-3V犬<1,

原式=<

-4,1«3.

规律方法：1.对于缶，当“为偶数时，要注意两点：(1)只有时才有意义;

(2)只要缶有意义，缶必不为负.

2.当〃为偶数时，形先化为闷，再根据a的正负去绝对值符号.

根式与分数指数塞的互化

典例剖析

132

典例2(1)用根式表示下列各式：«5；«4；；

⑵用分数指数幕表示下列各式：外牙；"—.

［分析］利用分数指数嘉的定义求解.

=赤;34211

［解析］(1>5々4=yja；ci3

«3

2

(2)^/?=tz3；粒=应=a2；1____1_

=«3

缶54

规律方法：根式与分数指数累互化的规律

(1)根指数化为，分数指数的分母，被开方数(式)的指数土囱分数指数的分子.

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数赛的形式，然后利用有理数指

数累的运算法则解题.

有理(实数)指数累的运算法则的应用

典例剖析

典

例3｝其中x>0,y>0)；

(2)0.064-3一(一8°+[(—2力一？4-16-0-75；

(3)32+小义27-乎;

(4)(1+啦)［(一啦-1)-2(啦)5］2+(啦广dx(啦之丑

［分析］利用嘉的运算法则计算.

211J,145

［解析］(1)原式=■x3+(-l)+yy212工=五'3>'6•

(2)原式=0.41—1+(-2)"+2一3

5111.127

=2-1+l6+8=l6-

⑶32+^X27*=32V><(33)=32VX3V=32^V=32=9.

(4)(1+V2)[(-V2-1)-2(V2)1]1十(柩7义陋)7

=(1+例[(啦+1『(啦金+(V2)'V+1V

=(1+V2)[(V2+1)-2X|(V2)241+(72)2

=(1+/).［(6+1尸.(m)W］+2

11

=(V2)4+2=2+28.

规律方法：指数嘉的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运

算.负指数嘉化为正指数森的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先

要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用嘉的形式表示,

便于用指数嘉的运算性质.

易错警示

典例剖析

典例4化简(1—a)［(a—1厂2.(—a)12］12•

X1

［错解］原式=(1—a)(a—1尸.(一a)4=一(一a)4■

11

［辨析］误解中忽略了题中有(一a)2，即一a20,aWO,则［(a—1)"］2#(。一

D-1.

11

［正解］2存在，「.一故a—1V0,原式=(1-a>(l-&尸(一a)4

x

=(一a)4■

4.1.2指数函数的性质与图像

第1课时指数函数的性质与图像

知识点

指数函数

函数称为指数函数,其中。是常数，a＞0且aWl.

思考：（1）为什么指数函数的底数且

（2）指数函数的解析式有什么特征？

提示：（1）①如果。=0,当无＞0时，，恒等于0,没有研究的必要；当尤W0时,

^无意义.

②如果。＜0,例如兀0=（-4）。这时对于x=；,；该函数无意义.

③如果4=1,则＞=「,是一个常量，没有研究的价值.

为了避免上述各种情况，所以规定。＞0,且“W1.

（2）①a＞0,且②，的系数为1；③自变量x的系数为1.

指数函数的图像和性质

0<«<1a>\

x

r=Q'r=a*

71(«>1)

图像二\

(0,1)二

0X0Z

定义域实数集R

值域(0,+8)

过定点（0』）

性质

是减函数是增—函数

思考：（1）对于指数函数y=2*,y=3x,＞=（；），＞=（；）'…’为什么一定过点。D?

⑵对于指数函数y="（a＞0且。六1）,在下表中，？处＞的范围是什么？

底数X的范围y的范围

龙>0?

a>1

x<0?

x>0?

0<«<1

x<0?

提示：(1)当x=0时，a°=l恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1).

(2)

底数X的范围y的范围

x>0J>1

a>\

x<00<y<l

x>0OVyVl

OVaVl

x<0>>1

题型

指数函数的概念

典例剖析

典例1(1)函数y=(廿一3夕+3)•"是指数函数，则a的值为2

(2)指数函数了=7(光)的图像经过点(兀，e),则人一兀)=，_.

［分析］(1)根据指数函数解析式的特征列方程求解.

(2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求大一兀).

［解析］(1)由题意得/一34+3=1,

即(a—2)(a—1)=0,

解得a=2或a=l(舍).

(2)设指数函数为y=a\a>0且aWl),

则e=a",所以犬一兀)=。-，=(/尸=「|=：.

规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法

⑴把握指数函数解析式的特征：①底数。>0,且aWl；

②"的系数为1；③自变量光的系数为1.

(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如>=*=(；)是指数函数.

2.求指数函数解析式的步骤

(1)设指数函数的解析式八元)="(">0且aWl).

⑵利用已知条件求底数A.

(3)写出指数函数的解析式.

指数函数的图像问题

典例剖析

典例2(1)函数y=",y=x+a在同一坐标系中的图像可能是(D)

⑵要得到函数y=23r的图像，只需将函数的图像(A)

A.向右平移3个单位B.向左平移3个单位

C.向右平移8个单位D.向左平移8个单位

［分析］⑴要注意对a进行讨论，分0<a<l和两种情况讨论判断.

(2)先对解析式变形，再进行判断.

［解析］(1)函数y=x+a单调递增.

由题意知«>0且aWl.

当OVa<l时，>="单调递减，直线y=x+a在y轴上的截距大于0且小于1；

当a>l时，旷=疝单调递增，直线y=x+a在y轴上的截距大于1.故选D.

(2)因为y=23-x=(，-3,

所以的图像向右平移3个单位得到y,

即y=23-*的图像.

规律方法：1.函数图像问题的处理技巧

(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点.

(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移).

(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数

图像的走势.

2.指数型函数图像过定点问题的处理策略

求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0,求出对应的x与y的值，即

为函数图像所过的定点.

指数函数的定义域、值域问题

典例剖析

典例3(1)当x>0时，函数式功=(2—1)、的值域为(1,4-oo),则实数。的取

值范围是(D)

A.（一啦，-1）U（1,V2）B.（-1,1）

C.（—8,-l）u（l,+00）D.（—8,一啦）U（卷4-oo）

［分析］(1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1,底数应该大于1可得.

(2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解.

［解析］(1)当X>0时,函数式的=(〃-1)、的值总大于1,则底数/一1>1,

>2,所以同>戏，所以实数a的取值范围是(-8,-&)U(表,+00).

(2)要使函数y=5产1有意义，则2L120,所以龙其所以函数尸5匠的

定义域为jx­.

规律方法：函数定义域、值域的求法

(1)定义域：形如丫=/')形式的函数的定义域是使得7U)有意义的龙的取值集合.

(2)值域：①换元，令r=y(x)；

②求r=/U)的定义域xe。；

③求「=於)的值域teM；

④利用y=a'的单调性求y=a'，/GM的值域.

提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集.

(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.

易错警示

典例剖析

典例4若函数/U)=a'-l(a>0,aWl)的定义域和值域都是［0,2］,求实数a

的值.

«°-1=2

［错解］...函数危)=/-1(。>0,a#l)的定义域和值域都是［0,2］,,八

a—1=0

故实数。的值为小.

［辨析］误解中没有对。进行分类讨论.

［正解］当时，函数yu)="—1在。2］上是增函数，

a0—1=0

由题意可知，\a2_l=2，解得。=仍.当0<a<l时，函数_/U）=a'-l在[。，2]

上是减函数，

a0—1=2

由题意可知，，，，、，此时a无解.综上所述，。=小.

U—1=0

第2课时指数函数的性质与图像的应用

知识点

底数与指数函数图像的关系

（1）由指数函数y=/（a>0且aWl）的图像与直线x=l相交于点（1,a）可知，在y

轴右侧，图像从到一^相应的底数由小变大.

⑵由指数函数y="（a>0且aWl）的图像与直线》=一1相交于点（-1,可知,

在y轴左侧，图像从下到上相应的底数.由大变小一.

如图所示，指数函数底数的大小关系为0<的<的<1

解指数型不等式

（1）形如护、）>浮四的不等式，可借助y=a'（a>0且aWl）的―单调性一求解;

（2）形如匕的不等式，可将b化为以。为底数的指数基的形式，再借助y=

a、（a>0且aWl）的一单调性一求解;

（3）形如的不等式，可借助两函数y=a'（a>0且aWl）,y=//（b>0且/?W1）

的图像求解.

与指数函数复合的函数单调性

一般地，形如y=M*（a>0且aWl）函数的性质有：

（1）函数y=与函数y=/U）有一相同一的定义域.

（2）当a>1时，函数y=/）与v=Ax）具有.一相同一一的单调性;当OVaV1时，函

数与v=/U）具有一相反一的单调性.

思考：(1)指数函数旷="3>0且"W1)的单调性取决于哪个量？

(2)如何判断形如y=/(")(a>0且。工1)的函数的单调性？

提示：(1)指数函数y="(a>0且。工1)的单调性与其底数。有关，当”>1时，y

=a'(a>0且aWl)在定义域上是增函数，当OVaVl时，y=^(a>0且aWl)在

定义域上是减函数.

(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”.其中，在定号过程中需要用到

指数函数的单调性；

②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.

题型

指数函数性质的简单应用

典例剖析

典例1比较下列各组数的大小：

(1)1.72-5'1.73；

⑵0.8一°」。8一°-2；

(3)1.7O-31O.93J；

(4)赤，杷,6.

［分析］底数相同的赛值/与/比较大小，一般用y="的单调性；指数相同的

嘉值与/比较大小，可在同一坐标系中，画出y=/与y=/的图像考察x=c

时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底.不方便化时，常借

助中间量0、1等过渡.

［解析］⑴考查指数函数y=17,

由于底数所以指数函数y=L7*在(-8,+8)上是增函数.

V2.5<3,1.72-5<1.73.

⑵考查函数y=0.8",由于0V0.8V1,

所以指数函数y=0.8"在(一8,+8)上为减函数.

,?-0.1>-0.2,.,.O.8H)1<O.8-0-2.

(3)由指数函数的性质得

1.7°-3>1.7°=1,

0.931<0.9°=1,

1.7°-3>0,931.

⑷底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指

数的再作比较.

.I—1—1a—1—1—1—1—1

•.-72=22=(23)6=86,诉=33=(32)6=96而8<9./.86<96,即/V

又也=2,=(25)To=3210,

51J_5

V5=55=(52)io,而25V32,二小V啦.

总之，小〈也〈小.

规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：

1.把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较.

2.若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1,

两个数都与这个中间量进行比较.

形如yni')类型函数的单调性与值域

典例剖析

［分析］利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解

［解析］令r=-f+x+2,

则尸®,

因为f=—可得f的减区间为3，+8),因为函数y=g)在R上是

规律方法：复合函数的单调性、值域

(1)分层：一般分为外层y=",内层r=/(x).

(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数,

单调性相反则为减函数.

(3)值域复合：先求内层，的值域，再利用单调性求>="的值域.

指数函数性质的综合应用

典例剖析

ax,e,

典例3(1)已知函数,*》)=丫，d\,对任意，都有

(4-］卜+2,x<l,

曲与细>0成立，则实数a的取值范围是(B)

X］-X2

A.(4,8)B.［4,8)

C.(1,+°°)D.(1,8)

(2)已知函数兀1是R上的奇函数.

①判断并证明/U)的单调性；

②若对任意实数，不等式用力］+<3—〃。>0恒成立，求〃?的取值范围.

［解析］(1)因为分段函数为增函数，所以满足

7>1,

a

<4-］>。，解得4«8.

a，6—

(2)①因为/U)为R上的奇函数，

d—1

所以7(0)=0,即-2一=。，由此得。=1,

所以/(》)=年=1一武，所以犬X)为R上的增函数.

证明：设X|<X2,则

2/2、22

.*1X)一穴》2)=1-2xi+l-V—2x2+"=2必+1—2汨+1'

22

因为汨<、2,所以^―T7—,I,<0,

I1，0大।I1

所以欢)〈/2)，

所以7U)为R上的增函数.

②因为7U)为R上的奇函数.

所以原不等式可化为用力］>-/□—〃?)，

即胆3),

又因为«r)为R上的增函数，所以1犬)>机一3,

2

由此可得不等式m<j(x)+3=4—再］

22

对任意实数无恒成立，由2、>0=2*+1>130〈乔yV2今一2〈一乔j"<0n2

2

<4—2，V_1_J<4,所以〃ZW2.

fix),xWxo，

规律方法：1.关于分段函数>=,、、的单调性

lg(x),x>x0

(1)增函数：危),g(x)均为增函数,且式沏)Wg(xo).

(2)减函数：/),g(x)均为减函数，且於o)》g(xo).

2.含参数恒成立问题的一种处理方法

将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值,

即可得到参数的范围.

特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值

的大小.

易错警示

典例剖析

典例4求函数尸。+(；)+1的值域.

［错解］令「=&>，则产*+/+1=(/+；)2+土，所以尸一；时，ymin=1,

所以函数的值域为+8).

［辨析］在换元时，令「=(；>，所以在误解中忽略了这一点.

因为Z>0,+8)上是增函数,

所以y>l,即函数的值域为(1,+8).

4.2对数与对数函数

4.2.1对数运算

知识点

对数的概念

(1)定义：在代数式/=N(a>0且aWl),NQ(O,+8)中，累指数。称为以。

为底N的对数.

(2)记法：b=log』,a称为对数的一底数,N称为对数的.真数一.

(3)范围：N>0,即-负数和零没有对数一.

思考：(1)为什么负数和零没有对数？

(2)对数式log„7V是不是log”与N的乘积？

提示：(1)因为。=logaN的充要条件是a"=N,当a>0且aWl时，由指数函数

的值域可知N>0,故负数和零没有对数.

(2)不是，logJV是一个整体，是求嘉指数的一种运算，其运算结果是一个实数.

知识点

对数恒等式

(l)alog“N=N.

⑵logM=B.

知识点

常用对数与自然对数

(1)常用对数：logioN,简写为lgM

(2)自然对数：logW，简写为InN,e=2.71828….

题型

对数的概念

典例剖析

典例1若。2。2。=伙〃>0,且aWl),则(A)

A.log”。=2020B.log以=2020

C.Iog202()a=bD.Iog202ob=a

(2)对数式108“_2)(5—。)中实数。的取值范围是(C)

A.(一8,5)B.(2,5)

C.(2,3)U(3,5)D.(2,+8)

(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(B)

A.e°=l与In1=0

1

B.Iog39=2与92=3

„OJ-11

C.83=/与log82=-3

D.Dg77=l与1=7

［分析］(1)根据对数的定义转化.

⑵对数式中底数大于。且不等于1,真数大于0.

(3)根据对数式的定义判断.

［解析］(1)若/如二贴>。，且aWl)则log滴=2020.

f2>0,

(2)由题意得,。-2W1,解得2<aV3或3VaV5.

〔5-40,

(3)由指、对数式的互化可知，A、C、D正确；对于B选项log39=2可化为32

=9,所以B选项错误.

规律方法：指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式：

将指数式的霖作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

⑵对数式化为指数式：

将对数式的真数作为嘉，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

利用指数式与对数式关系求值

角度1利用指数式与对数式的互化求值

典例剖析

典例2求下列各式的值：

(l)log381；

⑵log靠

⑶log28；

2

(4)lg0.1.

［解析］(1)因为3，=81,所以log381=4.

(2)因为4-2=京，所以log4七=一2.

(3)因为(，7=8,所以log，8=-3.

(4)因为所以坨0.1=-1.

角度2两个特殊对数值的应用

典例3已知10g2［10g3(10gM)］=

log3［log4(log2y)］=0,求x+y的值.

［解析］因为10g2［10g3(k)gM=0,

所以log3(log4X)=1,所以lOg4X=3,

所以x=43=64,同理求得y=16,所以x+y=80.

规律方法：对数性质在求值中的应用

1.对数运算时的常用性质：logoa=l,log“l=0.

2.使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多

重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.

对数恒等式的应用

典例剖析

典例4计算：

(l)71-log75；

1

(2)42(log29—log25)；

(3)dog„/?-logftC(a>。均为不等于1的正数，c>0).

77

［解析］(1)原式=7bg75=5,

210go99

—=

(2)原式=2(log29logiS)=2|O2~551

(3)原式=(alog"b)log/,c=blog/£=C.

规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应

用.这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alog“N=N要注意格式:

(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数.

易错警示

典例剖析

典例5求满足等式log(x+3)(f+3x)=1中x的值.

［错解］..」og(x+3)(d+3x)=l,，d+3x=x+3,

即x2+2x—3=0,

2

解得x=-3或x=1.故满足等式log(,v+3)(x+3x)=1中X的值为-3和1.

［辨析］误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1.

〃*+3x>0

x+3>0

［正解］由对数性质，得〈，解得尤=1.

x+3Wl

<X2+3X=X+3

2

故满足等式10g(,r+3)U+3x)=1的X的值为1.

4.2.2对数运算法则

知识点

积、商、累的对数

若a>0,且aWl,M>0,N>0,则有

(1)积的对数：.

(2)商的对数：log,=log〃M—log〃N.

(3)基的对数：log,M'=Mog〃M.

思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log“(MNQ)是否适用？你可以得到

一个什么样的结论？

提示：适用，loga(MNQ)=log“M+log,,N+log。。，积的对数运算性质可以推广到

n项的乘积.

知识点

换底公式

若a>0,且aWl,c>0,且cWl,b>Q,则有.

lOgc'C’

思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？

m

⑵你能用换底公式推导出结论\ogNllM=^ogNM吗？

提示：(l)log,/=瞿，log,/=^・

s、i，,”坨时"MgMmIgMm,

(2)log；v,X—炒"一N—/IgN一〃l°gM

题型

利用对数的运算法则求值

典例剖析

典例1计算：

(l)log„2+10go万3>0且a+1)；

(2)log318—log32；

(3)21og510+log50.25；

(4)21og525+3iog264；

(5)log2(log216)；

(6)621og63—2010g71+log4y^.

［解析］(1)loga2+logfl|=log„(2X^)=log.,1=0.

(2)logj18—logj2=log3(l8+2)=logs9=2.

(3)21og510+log50.25=log5100+log50.25

=log5(l00X0.25)=log525=2.

26

(4)21og525+310g264=21og55+31og22=4+18=22.

(5)log2(log216)=log24=2.

(6)原式=61og69—20X0+log44-2=9—2=7.

规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.

(2)“拆"，将积(商)的对数拆成对数的和(差).

利用对数的运算法则化简

典例剖析

典例2用Igx,Igy,Igz表示下列各式：

(l)lg(xyz)；(2)lg^；(3)1址；(4)1嗜.

［解析］(l)lg(孙z)=lgx+lgy+lgz.

2

(2)lg^=lg(x/)-lgz=lgx+21gy—1gz.

(3)lg^=lg(xj3)-lgVz=lgA：+31gy—1lgz.

(4)lg-^=lgVr-lg(y2z)=1lgx—21gy-lgz.

规律方法：关于对数式的化简

首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、募的对数

运算法则依次展开.

换底公式及其应用

典例剖析

典例3⑴已知10gl89=。,188=5,用a、b表示log3645的值;

(2)设3*=4'=62>1,求证：

zxLy

［分析］在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x,

),z,并结合换底公式与对数的运算性质证明.

［解析］⑴由18”=5,得log］85=》,

.1ylog1845log185+log评9

•-log3645=logi836=1+10g］82

_____b+a_____4+:

1+1-logis92—a

⑵设3x=4-y=6z=t,V3x=4y=6z>l,

・,、>i•」g/_lg/

.">1,..X-]g3,y-]g4，Z_]g6，

.l_」_lg61g3_lg2_lg4_1

,•zx~lgt1gt~2y,

.-1---1-1---

zx2y

规律方法：换底公式的应用

(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值.

(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用.

(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式记3=logM.

易错警示

典例剖析

典例4已知lgx+lgy=21g(x—2y),求logs//；的值.

［错解］...lgx+lgy=21g(x—2y),.'.xy=(x—2y)2,即x2—5盯+4/=0.

「.(x—y)(x—4y)=0,解得x=y或x=4y.

或4,

.,.IogV27=logV21=0或log^^=logV24=4.

yy

［辨析］误解中忽视了对数的真数大于。这一条件.

［正解］•；lgx+lgy=21g(x—2y),・••孙=(x-2y/，即x2—5xy7+4y2=0.

.•・(x-y)(x—4y)=0,解得了=J或工=4，

Vx>0,y>0,x—2y>0,・・・4=》应舍去.

.3=4,/.logV2j=logV24=4.

4.2.3对数函数的性质与图像

第1课时对数函数的性质与图像

知识点

对数函数

函数称为对数函数，其中。是常数，。>0且

思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？

⑵对数函数的解析式有何特征？

提示：(1)定义域为x>0,因为负数和零没有对数.

(2)①。>0,且aWl；②log/的系数为1；③自变量x的系数为1.

对数函数的性质与图像

知识点

0<«<1a>\

'II母野

图像彳心0)"""r

;y=logj(0<Q<l)

定义域(0,+8)

值域

过.定点(1,0)

性质

一是减函数一一是增函数一

思考：⑴对于对数函数y=log2X，y=logK，y=log]_x,y=log]_x,…，为什么

23

一定过点(1,0)?

(2)对于对数函数y=log“x(a>0且aWl),在表中，？处丁的范围是什么？

底数X的范围y的范围

x>\?

a>\

0<x<l?

x>1?

0<«<1

0<x<l?

提示：(1)当x=l时，log〃l=0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0).

(2)

底数X的范围y的范围

x>1j>0

a>\

0<x<lj<0

x>1j<0

0<«<1

0<x<ly>o

题型

对数函数的概念

典例剖析

典例1指出下列函数哪些是对数函数？

(l)y=21og3%；(2)y=log5X；

(3)y=log,v2；(4)y=log2x+1.

［解析］(l)log/的系数是2,不是1,不是对数函数.

(2)是对数函数.

(3)自变量在底数位置，不是对数函数.

(4)对数式10g2X后又加1,不是对数函数.

规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y=log(x«>0且aWl)的形式,

即必须满足以下条件：

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数.

(3)对数的真数仅有自变量x.

求函数的定义域

典例剖析

典例2求下列函数的定义域：

(l)y=、lg(2—x)；

(2)y=;

log3(3x-2)

(3)y=log(2A-i)(3-4x).

［分析］函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围.求定义域时,

要结合使根式、分式等有意义的条件和对数式的定义求解.

［解析］(1)由题意得1g(2-x)20,

即2—无21,1,

则y=/lg(2—x)的定义域为{4xW1}.

⑵欲使y=log3(3x—2)有意义'

3x—2>02

应有log3(3x—2)W0,,.解得x>a，且x#l.

,3x—2W13

-'-y=\―W~~有的定义域为1口>之且xWi1

log3(3x—2)I3J

⑶使y=log(2x-i)(3—4x)有意义时，

2x-l>0

3-4x>0

...此函数的定义域为g<x<|

规律方法：求对数型函数的定义域时应遵循的原则

(1)分母不能为0.

⑵根指数为偶数时，被开方数非负.

⑶对数的真数大于0,底数大于0且不为1.

应用对数函数的单调性比较数的大小

典例剖析

典例3比较下列各组中两个数的大小：

(l)log23.4和log28.5；(2)log0.53.8和log0.52；

(3)logo.53和1;(4)log20.5和0；

(5)log0.30.7和0;(6)log34和0.

［分析］(1)(2)中两数同底数，不同真数，可直接利用对数函数的单调性比较大小；

(3)中将1化为logo’OS(4)中将0化为log21,(5)中将。化为logo.3。(6)中将0

化为log3l,然后再利用对数函数的单调性比较大小.

［解析］(l)：y=log2X在xG(0,+8)上为增函数，且3.4V8.5,

.".log23.4<log28.5.

(2)：y=logo.5%在无e(0,+8)上为减函数,且3.8>2,

/.log0.53.8<logo.52.

(3)Vl=log0.50.5,.,.log0.53<logo,50.5,二logo.53Vl.

(4)V0=log2l,/.Iog20.5<log21,/.log20.5<0.

(5)VO=log0,3l,•••logo.3O.7Aogo.3l,

•,.logo.30.7>0.

(6)V0=log3l,/.log34>log3l,.,.log34>0.

规律方法：比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性.

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.

⑵若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也

可以先画出函数的图像，再进行比较.

(3)若底数与真数都不同，则常借助1、0等中间量进行比较.

易错警示

典例剖析

典例4解不等式log"(2x—5)>loga(x—1).

f2x-5>0

［错解］原不等式可化为*一1>。，解得x>4.

故原不等式的解集为{x|x>4}.

［辨析］误解中默认为底数为没有对底数。分类讨论.

仔X—5>0

［正解］当。>1时，原不等式可化为,

l2x-5>x-l

解得x>4；

f2x-5>0

当OVa<l时，原不等式可化为,

［2x-5Vx-l

解得,VxV4.

综上可知，当时，原不等的解集为{x|x>4},

当OVaVl时，原不等式的解集为{x||〈xV4}.

第2课时对数函数的性质与图像的应用

知识点

y=log,,於)型函数性质的研究

(1)定义域：由_/(幻>0解得》的取值范围，即为函数的定义域.

(2)值域：在函数y=log../(x)的定义域中确定，=*x)的值域，再由y=Iog”的单调

性确定函数的值域.

(3)单调性：在定义域内考虑，=/(x)与y=log泡的单调性，根据一同增异减法则

判定(或运用单调性定义判定).

(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.

(5)最值：在y(x)>0的条件下，确定的值域，再根据a确定函数y=log”

的单调性，最后确定最值.

知识点

1og“«x)viog“g(x)型不等式的解法

(1)讨论。与1的关系，确定单调性.

(2)转化为7U)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.

题型

对数函数的图像

典例剖析

典例1

如图所示，曲线是对数函数y=Iog,1的图像，已知。取小，43言1，则相应

于G、。2、。3、。4的。值依次为(A)

A、巧43_LR巧4_L3

A.3、5、10中、3、10、5

r4j-3J_4j-J_3

。3、5'103、"］()、5

［解析］解法一：观察在(1,+8)上的图像，先排G、C2底的顺序，底都大于1,

当X>1时图像靠近X轴的底大，G、。2对应的。分别为小、7然后考虑Q、。4

底的顺序，底都小于1,当X<1时图像靠近X轴的底小，Q、C4对应的。分别

为1、=•综合以上分析，可得G、。2、Q、。4的a值依次为小、3、5'今•故选

JJL。UJL

解法二：作直线y=l与四条曲线交于四点，由y=logN=l,得x=a(即交点的

横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以G、G、G、。4对应的a值分

r-431

别为小、Q、5、而，故选A.

规律方法：函数y=l0gox（a>0且aWl）的底数变化对图像位置的影响.

观察图像，注意变化规律：

（1）上下比较：在直线x=l的右侧，a>\Bf,a越大，图像越靠近x轴，0V&V1

时，a越小，图像越靠近x轴.

（2）左右比较：比较图像与y=l的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的

底数越大.

形如y=log,而x）的函数的单调性

典例剖析

典例2求函数y=log］,（1—的单调区间.

2

［分析］求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.

［解析］要使函数有意义，应满足1一/>0,

.♦.-IVxVL.•.函数的定义域为（-1,1）.

令“=1一对称轴为x=0.

二函数M=l-f在（-1,0］上为增函数，在［0,1）上为减函数，又..,y=logj_"为减

2

函数.

二函数y=logj.（1—』）的单调递增区间为［0,1）,递减区间为（一1,0］.

2

规律方法：1.求形如y=log/x）的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，

即由汽6>0,先求定义域.

2.求此类型函数单调区间的两种思路：（1）利用定义求解；（2）借助函数的性质，

研究函数t=Kx）和y=logw在定义域上的单调性，从而判定y=log«Ax）的单调性.

形如y=k）g”,*x）的函数的奇偶性

典例剖析

典例3判断函数y=lgN?不I—x）的奇偶性.

［分析］判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对

称.

［解析］'.'yjx2-1-l>x,...，不同一%〉。恒成立，.,.函数的定义域为R.

火一x)=1g川。+1+x)

_(——+1-+1+x)］

g+1—X1—X

=-1g(-\P+T—x)=—fix),

即八-x)=-*x),函数y=lg(q/+l—x)是奇函数.

规律方法：判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，因为定义域关于原点对

称是函数具有奇偶性所需具备的条件.若定义域关于原点对称，再利用奇偶性定

义判断/U)与人一x)的关系.

形如y=log”.穴x)的函数的值域

典例剖析

典例4求函数/U)=logJ_(J?—6x+17)的值域.

2

［分析］利用对数函数的真数大于0及内函数的值域求解.

［解析］VX2-6X+17=(X-3)2+8>0,

；•函数危)的定义域为R,

令t=j？-6x+17=(x—3f+828,

又.,.y=k)gj_t在［8,+8)上是减函数，

2

，/U)Wlogl8=-3,

2

故所求函数的值域是(一8,-3］.

规律方法：对于形如y=log/xXa>0,aWl)的复合函数，求值域的步骤：(1)分

解成y=log“〃，”=/(x)两个函数；(2)求logJU)的定义域；(3)求”的取值范围；(4)

利用y=log“〃的单调性求解.

易错警示

典例剖析

典例5已知y=log“(2—奴)在［0,1］上是减函数(x是自变量)，则。的取值范围

是(B)

A.(0,1)B.(1,2)

C.(0,2)D.［2,4-o°)

［错解］选A.令”=2—or,因为〃=2—以是减函数，所以a>0.

在对数函数中底数所以OVaVl.故选A.

［辨析】本题解答时犯了两