强化提升1解三角形中的三线问题(解析)

强化提升1：解三角形中的三线问题一、中线1、中线长定理：在中，是边上的中线，则推导过程：在中，，在中，联立两个方程可得：【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中2、向量法：推导过程：由，则所以【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）.二、角平分线如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，，1、利用角度的倍数关系：2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则.推导过程：在中，，在中，，，该结论也可以由两三角形面积之比得证，即说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合爪型结构，就可以转化为向量了，一般涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。3、等面积法：因为，所以，所以；整理的：（角平分线长公式）三、垂线1、分别为边上的高，则2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。例题分析例1．在QUOTE中，角QUOTEA,B,CA,B,C的对边分别是QUOTEa,b,ca,b,c，且QUOTEccosA+3csinA=a+bccosA+3csinA=a+b.(1)求角QUOTECC；(2)若QUOTE的中线QUOTECDCD长为QUOTE2323，求QUOTE面积的最大值.解：（1）在QUOTE中，由正弦定理得：QUOTEsinCcosA+3sinCsinA=sinA+sinBsinCcosA+3sinCsinA=sinA+sinB，而化简得QUOTE3sinCsinA=sinA+sinAcosC3sinCsinA=sinA+sinAcosC，因为QUOTE，所以QUOTE，QUOTE即QUOTE3sinC-cosC=13sinC-cosC=1，所以QUOTEsinC-?6=12sinC-?6=12，又因为QUOTE，所以QUOTE，即QUOTEC=?3（2）由QUOTECDCD是QUOTE的中线，QUOTE，所以QUOTE，即QUOTE12=14a2+b2+ab12=14a2+b2+ab，所以QUOTE，所以QUOTEab鈮?6ab鈮?6，当且仅当QUOTEa=b所以三角形面积QUOTE，即QUOTE的面积的最大值为QUOTE4343.例2．已知QUOTE的内角QUOTEAA，QUOTEBB，QUOTECC所对的边分别为QUOTEaa，QUOTEbbQUOTEcc且满足QUOTE2sin2A-2sin2B+2sinBsinC=1-cos2C2sin2A-2sin2B+2sinBsinC=1-cos2C.(1)求角QUOTEAA；(2)若QUOTE的面积为QUOTE6363，点QUOTEDD在边QUOTEBCBC上，QUOTEADAD是QUOTE的角平分线，且QUOTEAD=4AD=4，求QUOTE的周长.解：（1）QUOTE，QUOTE，由正弦定理得QUOTEb2+c2-aQUOTE，又QUOTE，QUOTE.（2）QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭碽c=24鈭碽c=24，由题意知QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，故QUOTEa=6a=6.QUOTE的周长为QUOTEa+b+c=6+63a+b+c=6+63.例3．记QUOTE的内角QUOTEA,B,CA,B,C的对边分别为QUOTEa,b,ca,b,c，已知QUOTE的面积为QUOTES=34(a2+b2-c2)S=34(a2+b2-c2)，QUOTEc=23(1)若QUOTEB=?4B=?4，求QUOTEaa；(2)QUOTEDD为QUOTEABAB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段QUOTECDCD的最大值．条件①：为的角平分线；

条件②：为边上的中线．解：（1）因为QUOTES=34a2+b由余弦定理可得：QUOTEa2+b2-c2=2abcosCa2+由三角形的面积公式可得QUOTES=12absinCS=12absinC，所以QUOTE所以QUOTEtanC=3tanC=3，又QUOTE，故QUOTEC=?3C=?3.由正弦定理得，QUOTEasinA=csinC且QUOTE，所以QUOTEa2+64=2332a2+6（2）选择条件①：在QUOTE中，由余弦定理QUOTEa2+b2-c2=2abcosCa2+b2-c2即QUOTE，故QUOTEa+b鈮?3a+b鈮?3，当且仅当QUOTEa=b=23a=b=23时，等号成立，又因为QUOTE所以QUOTECD=3aba+b=3故QUOTECDCD的最大值为3.选择条件②：由题QUOTE，平方得QUOTE，在QUOTE中，由余弦定理得QUOTEa2+b2-12=aba2+b2即QUOTE，所以QUOTE.当且仅当QUOTEa=b=23a=b=23时，等号成立，故有QUOTE，从而QUOTE，故QUOTECDCD的最大值为3.例4.在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，边上的中垂线交于点，求的长.解：选①，由，可得，即，所以，又，所以，所以，所以，则，所以，所以，如图，设边上的中垂线垂足为点，因为垂直平分，所以，又，所以，在中，，所以，即.选②，由，可得，即，所以，所以，又因，所以，则，所以，所以，如图，设边上的中垂线垂足为点，因为垂直平分，所以，又，所以，在中，，所以，即.选③，因为，所以，又，所以，则，所以，所以，如图，设边上的中垂线垂足为点，因为垂直平分，