江苏省沭阳如东中学2024-2025学年高一数学上学期第一次阶段测试试题含解析

PAGE第=2页，共=sectionpages22页PAGE10江苏省沭阳如东中学2024-2025学年高一数学上学期第一次阶段测试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）计算的结果是()A. B.－ C. D.－【答案】A【解答】解：.故选A.已知集合，，则的子集个数是（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解答】

解∵集合A={-1,0},B={0,1,2},则A∪B={-1,0,1,2},∴集合A∪B的子集个数为24=16.故选C.命题p：∀x≥0，x2-ax+3＞0，则￢p为（）A.∀x＜0，x2-ax+3≤0 B.∃x≥0，x2-ax+3≤0

C.∀x≥0，x2-ax+3＜0 D.∃x＜0，x2-ax+3≤0【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“：∀x≥0，x2-ax+3＞0”的否定是∃x≥0，x2-ax+3≤0．故选：B．“a＞0，b＜0”是“ab＜0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若a＞0，b＜0，则必有ab＜0．若ab＜0，则a＞0，b＜0或a＜0，b＞0．

所以“a＞0，b＜0”是“ab＜0”的充分不必要条件．故选：A．下列说法：①很小的实数可以构成集合；②若集合满意则；③空集是任何集合的真子集；④集合,则.其中正确的个数为（

）.A. B. C. D.【答案】A【解答】解：①不正确；②不正确，应当是;③不正确，空集是任何集合的子集；

④不正确，,;

故选A.已知，，且，则的最大值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解答】解：由，化为，

∵x＞0，y＞0，∴．

令x+2y=t＞0，∴，化为t2-6t+8≤0，解得2≤t≤4．

∴x+y的最大值是4．

故选B．

若不等式ax2+bx+c＞0的解为m＜x＜n（其中m＜0＜n），则不等式cx2-bx+a＞0的解为（）A.x＞-m或x＜-n B.-n＜x＜-m

C.x＞-或x D.【答案】C【解析】解：不等式ax2+bx+c＞0的解为m＜x＜n，所以a＜0，且；

所以b=-a（m+n），c=amn，所以不等式cx2-bx+a＞0，可化为amnx2+a（m+n）x+a＞0；

又a＜0，所以mnx2+（m+n）x+1＜0，即（mx+1）（nx+1）＜0；又m＜0＜n，

所以不等式化为（x+）（x+）＞0，且-＞-；所以解不等式得x＞-或x＜-，

即不等式cx2-bx+a＜0的解集是（-∞，-）∪（-，+∞）．故选：C．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是A.，， B.，，

C.，， D.，，【答案】B【解答】

解：由题恰有2个整数解，即恰有两个解，，即，或．当时，不等式解为，，恰有两个整数解即：1，2，，，解得：；当时，不等式解为，，，恰有两个整数解即：，，，，解得：，综上所述：或．二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）设集合，，若满意，则实数a可以是（

）​A.0 B. C. D.3【答案】ABC【解答】解：，∵，所以,

∴或空集，当a=0时，B为空集；当，将x=3代入，得；

当，将x=5代入，得，∴.​故选ABC.下列说法正确的有（）A.不等式的解集是

B.“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件

C.命题，，则，

D.“a<5”是“a<3”的必要条件【答案】ABD【解答】

解：由得，，，故A正确；时肯定有，但时不肯定有成立，如，满意，但，

因此“，”是“”成立的充分条件，故B正确；命题，，则，，故C错误；不能推出，但时肯定有成立，“”是“”的必要条件，故D正确．下列说法不正确的是（）A.若，，，则的最大值为4

B.若，则函数的最大值为

C.若，，，则的最小值为1

D.函数的最小值为4【答案】AC【解答】

解：对于A,若x,y>0,满意x+y=2,则+2=22=4,当且仅当x=y=1时,取得最小值4,故A错误;

对于B,若x<,即2x-1<0,则函数y=2x+=(2x-1)++1

，当且仅当x=0时取等号，即函数的最大值为-1,故B正确;

对于C,若x,y>0,满意x+y+xy=3,当且仅当x=y=1时,取得等号,

即的最大值为1,故C错误;对于D,

当且仅当时,取得等号,即函数的最小值为4，故D正确.故选AC.对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采纳，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是A.，

B.，的图像关于原点对称

C.函数，y的取值范围为

D.恒成立【答案】ACD【解答】

解：对于A，由定义得[x]x<[x]+1，∴，，故选A正确；

对于B，当0x<1时，=0，当-1<x<0时，=-1，故，不是奇函数，故B错误；

对于C，由定义x-1<[x]x，0x-[x]<1，函数的值域为，故C正确；

对于D，,[x]x，[y]y，[x]+[y]x+y，[x]+[y][x+y]，故D正确.​故选ACD.三、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.请同学们将答案填到答题卡上对应的位置.）设:x-5或x1,:x-2m-3或x-2m+1,mR,是的充分不必要条件,则实数m的取值范围是

.【答案】【解答】解：是的充分不必要条件，

，且等号不能同时成立，解得.故答案为​​​设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则方程可写成a(x−x1)(x−x2)=0，即ax2−a(x1+x2)x+ax1x2=0【答案】①②④解：一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个非零实根分别为x1，x2，x3，

则方程可表示为a(x−x1)(x−x2)(x−x3)=0(a≠0)，

即ax3设实数满意则的最小值为

.​【答案】36​16、设，且，则的最小值为

.【答案】​解：因为，且

所以

、,当且仅当时，等号成立，四、解答题（本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合A={x|A∩B(1)当a=3时，求，(2)若A∩B为空集，求实数【答案】解：(1)当a=3时，A={x|−1⩽x⩽5}，B={x|x≥4或x≤1}

∴A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}

∁RB={x|1<x<4}，则(2)由A∩B=⌀，则A=⌀，即2−a>2+a，即a<0或A≠⌀，a⩾0解得0≤a<1．∴实数a的取值范围为a<1．即a的取值范围为(−∞,1)18、（1）计算；（2）已知求的值。【答案】（1）解：

；

（2）解：∵，

∴，∴，

∴，

,∴原式.19、设命题对随意，不等式恒成立，命题存在，使得不等式成立．若p为真命题，求实数m的取值范围；若p,q有且只有一个为真，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）对于：成立，

而，有，

∴，∴，∴若为真，则.

（2）：存在，使得不等式成立，

只需，而，

∴，∴；若为假命题，为真命题，则，一真一假.

若为假命题，为真命题，则，所以；

若为假命题，为真命题，则，所以综上，或.20、某地区要建立一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚实性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.⑴求关于的函数关系式，并求出的取值范围；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.解：⑴，其中，，∴，得，由，得∴；⑵得∵∴腰长的范围是⑶，当并且仅当，即时等号成立．∴外周长的最小值为米，此时腰长为米。21、已知函数.(1)恒成立，求实数的取值范围；（2）当a>0时，求不等式f(x)≥0的解集；（3）若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围.【答案】解:（1）（2）由题意，，即，

因为a>0,所以解方程得,①当时，即当时，解不等式，得或，此时不等式f(x)≥0的解集为{x|或}；②当时，即时，解不等式，得，此时不等式f(x)≥0的解集为R；

③当时，即当时，解不等式，得或，此时不等式f(x)≥0的解集为{x|或}；

综上，当时，不等式f(x)≥0的解集为{x|或}；当时，不等式f(x)≥0的解集为R；当时，不等式f(x)≥0的解集为{x|或};（3）当时，令，

当且仅当m=1时取等号，

则关于x的方程可化为，关于x的方程有四个不等实根，

即有两个不同正根，

则，

由（1）知：存在使不等式成立，故，即，解得或,由（2）（3）式可得，

故实数a的取值范围是.

22、已知集合A为非空数集，定义A+={x|x=a+b，a，b∈A}，A-={x|x=|a-b|，a，b∈A}．

（1）若集合A={-1，1}，干脆写出集合A+及A-；

（2）若集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A-=A，求证x1+x4=x2+x3；

（3）若集A⊆{x|0≤x≤2024．x∈N}，且A+∩A-=∅，求集合A中元素的个数的最大值．【答案】解：（1）依据题意，由A={-1，1}，则A+={-2，0，2}，A-={0，2}；

（2）由于集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A-=A，

所以A-中也只包含四个元素，即A-={0，x2-x1，x3-x1，x4-x1}，

剩下的x3-x2=x4-x3=x2-x1，所以x1+x4=x2+x3；

（3）设A={a1，a2，…ak}满意题意，其中a1＜a2＜…＜ak，

则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜…＜ak-1+ak＜2ak，

∴|A+|⩾2k-1，a1-a1＜a2-a1＜a3-a1＜…＜ak-a1，∴|A-|⩾k，

∵A+∩A-=∅，由容斥原理|A+∪A-|=|A+|+|A-|⩾3k-1，

A+∪A-中最小的元素为0，最大的元素为2ak，

∴|A+∪A-|⩽2ak+1，

∴3k-1⩽2ak+1⩽40