2020届高考、联考模拟理数试题分项版解析：06-立体几何-含解析

第一部分2019高考试题

立体几何

1.[2016高考新课标1卷】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.

若该几何体的体积是也，则它的表面积是()

3

(A)17兀(B)18万(C)20乃(D)28"

【答案】A

【解析】

试题分析：该几何体直观图如图所示:

是一个球被切掉左上角的L设球的半径为R,则V=Nx3»R3=也，解得R=2,所以它的表面积是？的

88338

球面面积和三个扇形面积之和

71

S=—x4%x22+3x—1x22=17]故选A.

84

考点：三视图及球的表面积与体积

【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高

考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体，是解决

此类问题的关键.

2.12016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()

(A)20TT(B)24%(C)287r(D)32万

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意可知，圆柱的斜面积为4=2不4=16万，圆锥的侧面积为&=；2於2.4=8%,圆

柱的底面面积为63=乃-22=4乃，故该几何体的表面积为S=SI+S2+E=28〃，故选C.-.

考点：三视图，空间几何体的体积.

【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:

根据俯视图确定

根据正视图.侧视图确定几何体的侧

棱与侧向特征,调整实线、虚线对应棱

的位置

确定几何体的形状

3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

侧（左）视图

【答案】A

【解析】

试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥尸-ABC,其体积故选A.

326

考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.

【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三

视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱

锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应

的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆,

对应的几何体为圆柱.

4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,

(A)18+3675(B)54+18石(C)90(D)81

【答案】B

【解析】

试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积

S=2x3x6+2x3x3+2x3x37?=54+18君,故选B.

考点：空间几何体的三视图及表面积.

【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的

直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关

系，进行求解.

5.[2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（)

«（左）视图

。夫去（D）1+<

【答案】C

【解析】

试题分析：由三视图可知.上面是半径为乎的半球.体积为匕=；xg（1）=等，下面是底面积为

1,高为1的四棱锥，体积匕=:Xlx1=：,故选C.

33

考点：1.三视图；2.几何体的体积.

【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强,

较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.

6.12016高考浙江理数】已知互相垂直的平面6，交于直线/.若直线机，〃满足机〃a,“，/?,则（）

A.m//1B.m//nC.n-LlD.m.Ln

【答案】c

【解析】

试题分析：由题意知a/3=l,:.luB,nl/3,:.nll.故选C.

考点：空间点、线、面的位置关系.

【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看

出空间点、线、面的位置关系.

7.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示,

正视图

【答案】—

3

【解析】

试题分析:由三棱键的正视图知，三棱锥的高为1,底面边长为，2,2,则底面等腰三角形的顶角为120。，

所以三棱锥的体积为V=1xJx2x2xsiD120Oxl=W.

考点：三视图，几何体的体积.

【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力.解题时要求我们根据三视图想象

出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视

图以及各种组合体的三视图.

8.12016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的表面积是cm2,体积

是cm3.

仲«■石

【答案】7232

【解析】

试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2x(2x2x4)=32,

由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(2x2x2+2x4x4)—2(2x2)=72

考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积.

【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构

特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积.

9.12016高考新课标2理数】名尸是两个平面，机〃是两条直线，有下列四个命题：

(1)如果m_1〃,m_1见"///，那么a_L/7.

(2)如果m那么机_L〃.

(3)如果a///7,mua,那么nz//£.

(4)如果加//〃,。//万，那么加与a所成的角和九与夕所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)

【答案】②③④

【解析】

试题分析：对于①，加工”,加」a,“〃尸，则名尸的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为“〃a,所

以过直线九作平面/与平面£相交于直线c,则〃〃c,因为,.机,故②正确；对于③，

由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③

④.

考点：空间中的线面关系.

【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.

10.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2,NABC=120°.若平面ABC外的点尸和线段AC

上的点。，满足/7)=D4,PB=BA,则四面体P2C。的体积的最大值是.

P

AB

【答案】-

2

【解析】

ill邀分析：AZBC中，因为用5・5C・2,N45C-12(T,

所以NB，D=3a=3(r.

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCCKXB

=22+22-2X2X2<X>$120*=12,

所以4C・2

设AD=x,则0<f<2A/3,DC—2"73-x.

在A£BD卬，由余弦定理可得BD2=AD1+AB1-2ADAB8sd

=x2+22-2x2cos30*-x2-2-j3x+4.

故B£)=正-2屈+4.

在AP3Z)中，PD=AD=x,PB=BA=2.

…PD2+PB2-BD2X2+22-(X2-2^X+4)73

由余弦定理可得cosZBPD=---------------------=-----------------------------=-,

2PDPB2-x-22

所以/BPD=30.

过尸作直线的垂线，垂足为。.设尸0=d

则S^PBD=^BDxd^^PDPBsinZBPD,

即gJx?—2\/§%+4xd=gx-2sin30,

x

解得.

y/x2-2^/3x+4

而A5CD的面积S=gcD-5CsinN3CD=g(2g—x>2sin30=1(2V3-x).

设PO与平面ABC所成角为。，则点尸到平面ABC的距离〃=dsina

X

故四面体PBCD的体积V=-S&BCDxUSABcDdsm0<-SABcD•^=-x-(2^3-x)-,

3LXDCLJ3ZAZJCLZ3lADCU

32&—2"4

1X(2A^-X)

6Jx?-2由x+4

设/=6—2耳+4=近―舟+1,因为0<%<2有，所以1W/W2.

则|x_A/3|=J产-1

(1)当0<%<G时，有|x—6|二百—x=

故X=^3—y/t2—1.

此时V=—(g_J』_1)[26_(C7t2—1(

6t

-14

------------(—1),

6t6t

14

r(r)=-(---l),因为

6r

141

所以V'«)<0,函数V⑺在工2]上单调递减，故V«)<V(1)=—(——1)=—.

612

(2)当6<x42君时，有|无一g|=x—四=炉二T，

故X=y/3+J.。—1

小向v1+#^1)[273-(V3+#^1)]

止匕时，V=-------------------------------------------------

6t

_14"14

----------(—()■

6t6t

141

由(1)可知，函数V⑺在(1,2]单调递减，故V«)<V(1)=—(——1)=—.

612

综上，四面体尸5CQ的体积的最大值为

2

考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值.

【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对％的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进

而可得四面体的体积的最大值.

11.12016高考新课标1卷】平面a过正方体ABCD-AiBiCiDi的顶点A,a〃平面CB,Di,«I平面

ABCD=m,aI平面，则相、”所成角的正弦值为

VsVI731

(A)—(B)—(C)—(D)-

2233

【答案】A

【解析】

试题分析：如图,设平面BAn平面ABCD="，平面c»an平面数与4-才，因为。〃平面叫口,

所以冽〃加下〃人则叫〃所成的角等于加/所成的角.延长AD,过4作4E〃4C,连接CE*A，则

CE为刑，同理3画为〃，，而3D〃C工4及〃43，则m:加所成的角即为gBD所成的角，即为60。，故

洲/所成角的正弦值为苧，选A.

考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理,异面直线所成的角.

【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形，解

形求角、得钝求补.

12.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱ABC-4与。1内有一个体积为V的球，若

AB=6,BC=8,A&=3,则V的最大值是()

(A)4H(B)—97r(C)6n(D)」327r

23

【答案】B

【解析】

试题分析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，

34439

球的半径取得最大值5,此时球的体积为乃(])3=5〃，故选B.

考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积.

【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：(1)根据几何体的结构特征，变动态为静态，

直观判断在什么情况下取得最值；(2)将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；(3)

建立函数，通过求函数的最值来求解.

13.12016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m),

则该四棱锥的体积为m3.

3

K1]—♦]一

正植(6WMffi

(BII■图1

【答案】2

【解析】

试题分析:由三视图知四棱镜高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此体积为P=；x(2xl)x3=2.故

答案为2.

考点：二视图

【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.

2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出

原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.

14.12016高考新课标1卷】(本小题满分为12分)如图，在以尸为顶点的五面体中，面A2EF为正

方形,AF=2FD,ZAFD=90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.

(I)证明：平面平面EFDC；

(II)求二面角E-BC-A的余弦值.

2J19

【答案】(I)见解析(II)---------

19

【解析】

试题分析：(D先证明AFL平面EFDC,结合AFu平面ABEF,可得平面ABEFL平面EFDC.(II)建

立空间坐标系，分别求出平面BCE的法向量机及平面BCE的法向量”，再利用cos〈〃,根)=告二求二面

\n\\m\

角.

试题解析：(D由已知可得AF_LDF,AF_LFE,所以AFJ_平面EFDC.

又AF仁平面ABEF,故平面ABEF_1_平面EFDC.

(II)过D作DGJ.EF,垂足为G，由(I)知DG_L平面ABEF.

以G为坐标原点，丽的方向为x轴正方向而|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G-褥.

由(D知/DFE为二面角D—AF—E的平面角，故。FE=60\贝”DF|=2,|DG|=3,可得

A(L4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0：0：指).

由已知,AB//EF,所以AB〃平面EFDC.

又平面ABCD平面EFDC=DC,故AB//CD.CD//EF.

由BE//AF，可得BEI平面EFDC，所以ZCEF为二面角C-BE-F的平面角,

ZCEF=60.从而可得©卜2,0,6).

所以EC=EB=(0,4,0),AC=卜3,AB=(—4,0,0).

设〃二(羽y,z)是平面BCE的法向量，则

n-EC=0\x^y/3z=0

〈，即〈，

n-EB=014y=0

所以可取〃=G,0,—6).

m-AC=0

设m是平面ABCD的法向量，则4

m•AB=0

2M

同理可取m=(0,6,4).则cos(耳昉==

19

故二面角E—BC—A的余弦值为-——.

19

考点：垂直问题的证明及空间向量的应用

【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明，空间中线面位置关系的证明主要包括线

线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完

整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主.第二问一般考查角度问题，多用空间向量解决.

15.12016高考新课标2理数】如图，菱形A3CD的对角线AC与8。交于点。，=5,AC=6,点E,产

分别在AO,CD上，AE=CF=),。交3。于点”.将AD跖沿。折到位置，0D一屈.

4

(I)证明：07/，平面ABCD；

(II)求二面角3—O'A—C的正弦值.

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（I）证AC//EF,再证DH10H,最后证DH±平面ABC。；（II）用向量法求解.

试题解析：（D由已知得4CJ.5Q,AD-CD,又由得行=黑，板ACMEF.

因此从而即_LD'W.由AC-6^D0=BQ=y/AB2-A02=4.

Of/AE1

由W///C得妄=石=彳.所以QH-l,D'H-DH~3.

于是。目-1,D）H+OH2=32+12=10=EiO1,

故ZXZf±02f.

又DHLEF,而OHcEF=H,

所以。归，平面ABCD.

（H）如图，以"为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系H-孙z,

则“（0,0,0）,A（-3,-2,0）,6（0,—5,0）,C（3,-l,0）,Q'（0,0,3）,AB=（3,-4,0）,AC=（6,0,0）,

m•AB=03%-4y=0

A£>'=（3,1,3）.设加=（石,乂，4）是平面ABD'的法向量，贝卜，即《

m•AD'=03石+%+3Z]=0

n-AC=0

所以可以取力=（4,3,—5）.设”=（尤2,%,Z2）是平面AC。'的法向量，贝卜

n-AD'=Q

即《

m-n-147A/5sin<…亚

所以可以取〃=（0,-3,1）.于是cos<m,n>=

\m\-\n\~45QXS/10~2525

2、砺

因此二面角5—ON—C的正弦值是二^

25

考点：线面垂直的判定、二面角.

【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②。〃b,a±a^b±a;③a〃4a±a^a±

P-,④面面垂直的性质.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹

角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

16.12016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆。的直径，跖是上底面圆。的直径，FB

是圆台的一条母线.

(I)已知G,H分别为EC,尸8的中点，求证：GH〃平面ABC；

(II)已知EF=N3=LAC=2石AB=BC.求二面角/一3C—A的余弦值.

2，

【解析】

试题分析：(I)根据线线、面面平行可得与直线G8与平面ABC平行；(II)立体几何中的角与距离的计

算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找

到ZFNM为二面角尸―3C—A的平面角直接求解.

试题解析：

(I)证明：设尸c的中点为L连接GT,印,

在△CEF，因为G是CE的中点，所以GI//IF,

又E尸〃C此所以G///OB,

在△CE5中，因为8是尸3的中点，所以m/4C,

又印cG7=心所以平面G/〃//平面JBC,

因为GNu平面GHZ,所以GN//平面,45C.

(II)解法一:

连接00,，则(90」平面ABC,

又AB=BC,且AC是圆。的直径，所以30,AC.

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

由题意得3(0,26,0),C(-2君,0,0),过点/作根垂直03于点V,

所以9=^FB2-BM2=3,

可得R(0,、疗,3)

故5C=(-2百,-2石,0),3R=(0,-73,3).

设m=(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.

,\m-BC=Q

由《，

m-BF=0

-2&-2岛=0

可得〈l,

3y+3z—0

可得平面BCF的一个法向量m=(-1,1,—)

因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),

所以cos<m,n>=二n=.

|m||?z|7

所以二面角尸—3C—A的余弦值为正.

7

解法二：

连接00,过点R作月0,03于点V,

则有RW//00',

又00,平面A3C,

所以平面ABC,

可得FM=>JFB--BM2=3,

过点M作MN垂直3c于点N,连接FN,

可得FNL3C,

从而NEM为二面角尸—6C—A的平面角.

又A5=5CAC是圆。的直径，

所以MN=3Msin45=—,

2

J42s

从而FN='—,可得cosNFNM=J.

27

所以二面角尸—3C—A的余弦值为五.

7

考点：1.平行关系；2.异面直线所成角的计算.

【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平

面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以

利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、

逻辑推理能力'转化与化归思想及基本运算能力等.

17.[2016高考江苏卷】（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱A8C-A18C1中，D,E分别为A8,BC的中点，点F在侧棱8田上，且用。，人/，

求证：（1）直线DE〃平面4GB

(2)平面BiQE_L平面AiCiF.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平几知识，如中位线性

质（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用

线面垂直性质与判定定理,如将线线垂直，4片先转化到线面垂直4G，平面，从而得到线线

垂直再结合旦转化到线面垂直4。，平面AGF

试题解析：证明：（1）在直三棱柱ABC—A4cl中，AC//AG

在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.

所以DE//AC,于是DE//AG

又因为DE①平面AGb,u平面A。/

所以直线DE//平面

（2）在直三棱柱ABC—A4cl中，明工平面人四6

因为ACu平面AgG，所以AAi-AG

又因为例u平面AB4A，Agu平面AA=A

所以AC_L平面ABBjA,

因为耳。＜=平面A33]A，所以AG，go

又因为4OJ_AF,AGu平面4弓旦4尸匚平面46旦4。1=A

所以40,平面AGF

因为直线gDu平面gDE,所以平面4OE_L平面AGF

考点：直线与直线、平面与平面位置关系

【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

⑴证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

⑵证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

⑷证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.

18.12016高考天津理数】(本小题满分13分)

如图，正方形A8CZ)的中心为O,四边形。8所为矩形，平面O8E/U平面ABC。，点G为A8的中

点,AB-BE=2.

(I)求证：EG〃平面AOR

(II)求二面角O-EF-C的正弦值；

2

(III)设H为线段A尸上的点，S.AH=-HF,求直线8反和平面CE尸所成角的正弦值.

3

【答案】(I)详见解析(II)—(III)—

321

【解析】

试题分析：(I)利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进

行论证(口)利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后

根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值(HI)利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向

量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值

试题解析：依题意，。尸，平面A5CD,如图，以。为点，分别以A。,3Aop的方向为x轴，y轴、z轴

的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得0(0,0,0),

A(-l,l,0),B(-l,-l,0),C(l,-l,0),r>(l,l,0),E(-l,-l,2),F(0,0,2),G(-l,0,0).

rL-AD=0

⑴证明：依题意，4。=（2,0,0）,村=（1,一1,2）.设曾=（九,丁*）为平面4/加的法向量，贝叫，

•AF=0

即〈.不妨设z=l,可得々=（0,2,1）,又石G=（O,l,—2）,可得£GF=0,又因为直线

x-y+2z=0

EG<Z平面A£>/，所以EG//平面ADb.

（II）解：易证，。4=（一1,1,0）为平面OER的一个法向量.依题意，EE=（l,l,q,CE=（—1,1）.设

为平面CEF的法向量，则I?,即4"一.不妨设兀=1,可得

%-CF=0[f+y+2z=0

%=（1，-1，）1

因此有cos<OA,2〉=盟告=一逅，于是sin<Q4,%〉=走，所以，二面角O—印―C的正弦值

同㈣33

222(224)

(III)解:由AH二一HZ"^AH=-AF.因为A尸=(1,—1,2),所以AH=—Ab=—,——，—,进而

355I555，

-,-L从而3"=偿,±勺，因此cos<5",%〉==—且.所以,直线和平

有

55J{555J-3”•周21

面CEF所成角的正弦值为—.

21

考点：利用空间向量解决立体几何问题

19.【2016年高考北京理数】（本小题14分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD,PALPD,PA=PD,AB1AD,

AB=1,AD=2,AC=CDM.

(1)求证：平面B钻；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱24上是否存在点使得5M//平面PCD?若存在，求4”的值；若不存在，说明理由.

AP

【答案】(1)见解析；(2)；(3)存在，----=—

3AP4

【解析】

试题分析：(D由面面垂直性质定理知AB1平面根据线面垂直性质定理可知再由线

面垂直判定定理可知尸曾平面(2)取血的中点。，连结PO,CO,以。为坐标原点建立空间

直角坐标系。-斗，利用向量法可求出直线门?与平面PCD所成角的正弦值；(3)假设存在，根据A,P,

M三点共线，设而=奇，根据5M〃平面PCD,即而G=0,求4的值，即可求出4竺的值.

AP

试题解析：(1)因为平面平面ABCD,ABA,AD,

所以ABL平面PAD,所以AB_LP£),

又因为PALP。，所以平面PAB；

(2)取4。的中点。，连结尸。，CO,

因为=所以POLAD.

又因为尸Ou平面尸AD,平面PAD,平面ABCD,

所以尸O1.平面ABCD

因为COu平面A3CD,所以POLCO.

因为AC=CD,所以COLAO.

如图建立空间直角坐标系。-孙z,由题意得，

A(0,l,0),B(l,l,0),C(2,0,0),D(0,-l,0),P(0,0,l),

设平面PCD的法向量为〃=（无,y,z）,则

«.PD=O,l3n\-y-z=Q,

<———►即<

n-PC=O,[2x-z=0,

令z=2,则尤=1,y=—2.

所以「=（1,一2,2）.

—»——,■n•PB-\/3

又PB=（1,L—1），所以cos<n,PB>=e—>|=----.

M3

(3)设M是棱P4上一点，则存在2e[0,1]使得AM=4AP.

因此点M(0,l-2,2),BM=(-1-2,2).

因为平面PCD,所以〃平面PCD当且仅当前7=0,

即(一1,一尢2>(1,-2,2)=0,解得2=工.

4

所以在棱PA上存在点M使得BM//平面PCD,此时A”=-.

AP4

考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.

【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线

的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关

系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.

20.12016高考新课标3理数】如图，四棱锥P—A5C中，地面ABC/,ADBC,

AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.

c

(I)证明脑V平面B43；

(II)求直线AN与平面PAW所成角的正弦值.

O尺

【答案】(I)见解析；(II)工.

25

【解析】

试题分析：(I)取。8的中点T,然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到

MNAT,由此结合线面平行的判断定理可证；(II)以A为坐标原点，以A£>,AP所在直线分别为y,z

轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN的方向向量与平面PAW法向量的夹角来处理AN与平面

所成角.

2

试题解析：(I)由已知得AM=§A£>=2,取5P的中点T,连接AT,力V,由N为PC中点知7N〃BC,

TN=-BC=2.

2

又ADIIBC,故力VAM,四边形AMNT为平行四边形，于是"N〃AT.

因为ATu平面PAB,平面PAB,所以MN〃平面PAB.

(II)取BC的中点E,连结AE,由A5=AC得AEL3C,从而且

AE=^AB2-BE-=不AB。-(与7=V5.

以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

由题意知，P(0,0,4),M(0,2,0),C(V5,2,0),N号［2),

PM=(0,2,-4),丽=(字2),丽=(*,1,2).

2x-4z=0

n-PM=0

设〃=(x,y,z)为平面PA/N的法向量,则一一即行可取”=(0,2,1),

nPN=Q"x+y—2z=0

I2-

工曰।m।\n-AN\875

于是|cos<n,AN>|=--------~25~

\n\\AN\

考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积.

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形

的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐

标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理.

21.[2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面3CFE，平面

ABC,ZACB=9Q,BE=EF=FC=LBC=2,AC=3.

(I)求证：Eb_L平面ACFD；

(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【解析】

试题分析：（I）先证BFLAC,再证BFLCK,进而可证BF,平面ACFD；（II）方法一：先找二面角

B—AD—F的平面角，再在RtABQF中计算，即可得二面角B—AD—F的平面角的余弦值；方法二：先

建立空间直角坐标系，再计算平面ACK和平面ABK的法向量，进而可得二面角B-AD-F的平面角的

余弦值.

试题解析：(I)延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.

因为平面BCFEJ"平面ABC,目ACJ.BC,所以，

ACJ■平面BCK,因此，

BF±AC.

又因为EF/ZBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以

ABCK为等边三角形，目F为CK的中点，则

BF±CK.

所以BFL平面ACFD.

(II)方法一：

过点F作FQLAK,连结BQ.

因为BFL平面ACK,所以BF_LAK,则AK_L平面BQF,所以BQLAK.

所以，NBQF是二面角B—AD—F的平面角.

在RtAACK中，AC=3,CK=2,得FQ=^^.

在RtABQF中，FQ=^^,BF=G，得cos/BQF=乎.

所以，二面角B—AD—F的平面角的余弦值为立.

4

方法二：

如图，延长AD,BE,CF相交于一点K,则ABCK为等边三角形.

取BC的中点0,则KO_LBC,又平面BCFE_L平面ABC,所以，KO,平面ABC.

以点0为原点，分别以射线0B,OK的方向为x,z的正方向，

建立空间直角坐标系0盯z.

由题意得

B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,(),G),

A(—1,—3,0),E—,0,-^-^,

122j

因此,

AC=（0,3,0）,AK=（1,3,@,AB=（2,3,0）.

设平面ACK的法向量为m=（%,%,zj,平面ABK的法向量为n=（x2,y2,z2）.

3%=0

,取冽二（百,0,-1卜

AK-m=0x1+3X+y/3zi=0

AB•几=02%+3%=

由《，,取几=（3,—2,6）.

AK・〃二0x2+3%+^z2=0

m-n百

于是，cos（m,ny=

|〃小同4

所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为中

考点：1、线面垂直；2、二面角.

【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误.证明线面垂直的

关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方

形的对角线.

22.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD/7BC,ZADC=ZPAB=90°，BC=CD=-AD,E为边AD的中点，

2

异面直线PA与CD所成的角为90。.

（I）在平面PAB内找一点M,使得直线CM〃平面PBE,并说明理由；

（II）若二面角P-CDA的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】（I）详见解析；（II）

3

【解析】

试题分析：（I）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，而这可以

利用已知的平行，易得CDHEB｝从而知M为DC和AB的交点；（II）求线面角，可以先找到这个角，即

作出直线在平面内的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知图形中的垂直建立空间直角坐标系，用向

量法求出线面角（通过平面的法向量与直线的方向向量的夹角来求得）.

试题解析：（I）在梯形A2CD中，A2与8不平行.

延长AB,DC,相交于点M（MG平面E4B）,点M即为所求的一个点.理由如下：

由已知，BC//ED,且BC=ED

所以四边形8CDE是平行四边形.，所以CD〃EB

从而CM//EB.

又EBu平面PBE,CM.平面PBE,

所以CM〃平面PBE.

（说明：延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（II）方法一：

由己知，CD±PA,CD_LAD,PAnAD=A,

所以CD_L平面PAD.

从而CD±PD.

所以NPDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以NPDA=45°.

设BC=1,则在RtAPAD中,PA=AD=2.

过点A作AHLCE,交CE的延长线于点H,连接PH.

易知PA_L平面ABCD,

从而PA±CE.

于是CE_L平面PAH.

所以平面PCE_L平面PAH.

过A作AQXPH于Q,则AQ_L平面PCE.

所以NAPH是PA与平面PCE所成的角.

在RtZXAEH中，ZAEH=45°,AE=1,

所以AH=正.

2

在RtAPAH中，PH=y/P^+AH-=当@

所以sin/APH=——=-

PH3

方法二：

由己知，CD±PA,CD±AD,PAnAD=A,

所以CD_L平面PAD.

于是CD±PD.

从而NPDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以NPDA=45°.

由PA_LAB,可得PA_L平面ABCD.

设BC=1,贝ij在RtaPAD中，PA=AD=2.

作AyLAD,以A为原点，以AD,AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,l,0),E(1,0,0),

所以PE=(1,0,-2),EC=(1,1,0),AP=(0,0,2)

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),

\n\-\AP\2X722