高中数学数列分类典型试题答案

精选高中数学数列分类典型试题及答案

【典型例题】

〔一〕研究等差等比数列的有关性质

1.研究通项的性质

例题1,数列｛“，，｝满足q=1，。"=3"'+an_t(M>2)

⑴求。2，。3；

3"-1

〔2〕证明：0"~2.

2

解：[1]*.*tZ]=l,.\a2=3+1=4,6^=3+4=13

⑵证明：由氏一4-1=3"T,故=（4一一/_2）+…+（/一卬）

.、3"-13H-1

+a=3"-,+3,,-2+---+3+l=-~-a

2,所以证得"2.

例题2.数列｛"J的前〃项和记为S”,q=l,a“+i=2S“+1(〃21)

〔I〕求｛4｝的通项公式；

〔D〕等差数列｛4｝的各项为正，其前〃项和为了"，且n=15,又q+々，4+62，%+4

成等比数列，求乙.

解：〔I〕由%M=2S“+1可得a,,=2S,T+1(〃N2),

两式相减得：4+|一%=2%,a,,”=3a„(〃22),

又叼=2S|+1=3...a2=3a,故｛%｝是首项为1,公比为3的等比数列

.•.%=卡

〔n〕设｛2｝的公比为人由nT5得，可得4+伪+4=15,可得仿=5

故可设=5-(1力3=5+d,又q=1,々2=3,q=9

由题意可得(5-1+D(5+d+9)=(5+3)2,解得4=2,4=10

..等差数列也｝的各项为正，,d>0=4=2

Tn=3〃+?(7)><2="+2〃

例题3.数列｛“"｝的前三项与数列｛"”｝的前三项对应一样，且4+2g+2%-*■­••

+2”&=8〃对任意的〃eN*都成立，数列h+i-4｝是等差数列.

(1)求数列｛4｝与也｝的通项公式；

⑵是否存在ZeN*,使得4一%€(0,1),请说明理由.

点拨：〔1〕4+24+2%3+“-+2'1。“=8〃左边相当于是数列｛2"%,,｝前〃项和的形式,

可以联想到S"求4"的方法，当“N2时，S“-S,I=4

〔2〕把打一4看作一个函数，利用函数的思想方法来研究外一出的取值情况.

解：⑴4+2%+2&+…+2"%"=8"("€N*〕①

〃N2时,%+2%+2~&+…+2"~a“_i=8(〃-1)(〃eN*)②

①-②得，2"飞=8,求得％=2j,

在①中令〃=1,可得得4=8=24\

所以q=2,“("€N*〕.

由题意4=8,4=4,4=2,所以打一⑥尸-4,瓦-瓦=-2,

:.数列｛b“+i-的公差为一2-(-4)=2,

二%一"=-4+(〃-1)x2=2n-6,

b»=瓦+(为一々)+(4一4)+…+(2-2-1)

=(-4)4-(—2)H--i-(2n-8)—7/1+14(〃£N*〕.

〔2〕4-4=7^+14-2j,

77

当上24时，’出一伏一万)+124-«单调递增，且/(4)=1,

24k

所以上24时，f(k)=k-Jk+l4-2->\y

又/⑴=/(2)=/(3)=。，

所以，不存在&wN*,使得%一4w(0,1).

例题4.设各项均为正数的数列㈤｝和佃｝满足：%、bn,an+1成等差数列，bn、5bn+i

成等比数列，且为=1,bj=2,a2=3,求通项An,bn，

解：依题意得：

=

2bn+ian+i+&+2①

a'+i二bnbn+i②

由②得“〃+1=也〃+1'々〃+2=也?+2

许、丁为正教,

J"〃+i得：24“什[=y[b^+」b〃+2

代人①并同除以

｛扬:｝为等差数列

Q

=结’,则"=—

Vb.=2,…,2,

M=及+(〃-1)(需一扬=*(〃+1),也=(〃；1)

V222

[7-7­〃(〃+1)

a“=«也1=-------

当n>2时,2

〃(〃+1)

=

又ai=l,当n=l时成立，/.2

2.研究前n项和的性质

例题5.等比数列｛"，，）的前〃项和为E，=a,2”+b,且4=3

〔1〕求。、。的值及数列伍"的通项公式；

b=—

⑵设n”,求数列的前〃项和I，.

解：⑴时,%=S“一S"_|=2"|而｛《,｝为等比数列，得卬=2一.。=。，

又％=3,得a=3,从而“，，=3.2"［又=2。+/?=3,."=-3.

b-n-n,1“23〃、

⑵"NF?,小^+万+/+…+广）

为2(、马+3+...+二+2为J1+LM…+占-勺

2"3222232"-'2"〕，得2”32222'-'2",

“J1〃)

下y-西)

2

1

例题6.数列,J是首项为1000,公比为10的等比数列，数列,"｝满足

%=%Qgq+lg%+…+'4)(kGN*)

⑴求数列｛'J的前〃项和的最大值;⑵求数列(也』｝的前八项和S“.

解：〔1〕由题意：%=1(产"，，电。"=4一”,二数列｛1g。,,｝是首项为3,公差为—1的等

差数列，

.,1..k(k-y),16〃(/1—I17-H

1g+怆4+…+怆%=3k-------bn=-[3n----^]=——

/.2,n22

2。21

<S=S—

由也+i<0,得6W〃W7,.•.数列｛b,J的前〃项和的最大值为6-7-2.

〔2〕由〔1〕当“W7时，”20,当〃>7时，勿<°,

27一〃

,J7—1913

_S'=〃+"+•••+〃,=(-------)n=——n2+—n

.,.当7时，~244

当〃〉7时，

1213

S,'=4+优+…+4—4—d-----b“=2S「(b\+b2+--+b„)=-n--—H+21

1213

——n~H----n(«<7)

44

sn'=

「13

—n~---鹿+21O15>7)

144

例题7.递增的等比数列｛a“｝满足％+%+4=28,且为+2是%,%的等差中项.

〔1〕求｛%｝的通项公式%；〔2〕假设S“=4+%+…+勿求使

5„+n-2"*i>30成立的n的最小值.

解：〔1〕设等比数列的公比为g”>1]，由

街q+团/+©,=28,团/团,二2〔©/+2〕，得:a=2,歹2或a=32,q=2〔舍〕

「.&二2-231]=2n

logI2"

〔2〕2,.-.S„=-〔1-2+2-22+3•23+---+n-2")

23n+123n+,n+,

：.2Sn=-[1•2+2•2+---+n-2),.•.S„=2+2+2+---+2-n-2"=-〔〃一1〕­2

—2,

假设£+〃〃川》？。成立，那么2小〉32,故”>4,二”的最小值为5.

例题8.数列他"｝的前〃项和为S,”且T，S“M”I成等差数列，〃eN*,q=l函数

/(x)=log3x

Cl)求数列伍，J的通项公式；

bn=-----------1-----------

[II]设数列仍，，｝满足"("+3)[/(a“)+2|,记数列也,｝的前n项和为筹,试比拟

Z与

12312的大小.

解：〔I〕,•,T，S"，a“+i成等差数列，①当〃22时，2s1小q一1②.

.•.久=3.

①一②得：2⑸一S,i)=a"+1—a“，；.3a,=a“+|,an

a,=3,.'.-—3,

当0=1时，由①得•,•2S|=2q=%-],又4=1，一4

•〔｛a”｝是以1为首项3为公比的等比数列，.

fx=lx",

[II]•.()°g3,.1./(a„)=log3a„=log33"=71-1,

,111,11、

b=-----------------------=-----------------=—(----------------)

5+3)[/(。“)+2]("+1)(〃+3)2〃+1〃+3

__1111111111111.

'224354657n〃+2n+1n+3

211__1______j_52〃+5

-22+3-n+2-n+3122(n+2)(n+3))

丁与2"±5

比拟”12312的大小，只需比拟25+2)5+3)与312的大小即可.

又2(〃+2)(〃+3)-312=2(/+5n+6-156)=2(/+5/7-150)=2(n+15)(〃-10)

Z—口廿2(“+2)(〃+3)<312,即

：.•.当且"wN时，12312

2(〃+2)(〃+3)=312,即7；=/蜉;

当胃=10时,

、/2(〃+2)(n+3)>312,即

当〃>10且A“eN时，"12312.

3.研究生成数列的性质

例题9.⑴数列匕｝,其中C，，=2"+3",且数列｛C“+I—Pg｝为等比数列，求常数P；

〔II〕设｛4｝、也，｝是公比不相等的两个等比数列，%=/+，，证明数列匕｝不是等

比数列.

解：〔I〕因为｛+L0是等比数列,故有

〔+1一。〕三Q一。+1〕〔一。_|〕，

将=2"+3"代入上式，得

[2n+,+3n+,-p〔2"+3"〕]2

=[2"+2+3n+2-p〔2-+3什1〕]•[2"+3"一p〔2"T+3”T〕],

即[〔2-p〕2"+〔3一0〕3'『

=[(,2-p)2n+1+〔3—p〕3"i][〔2-p〕2n-'+〔3—p〕3n-1],

整理得U〔2—0〕〔3一0〕■2"-3"=0,

解得片2或片3.

〔U〕设｛%｝、｛2｝的公比分别为0、q,p/q,=a“+b”.

为证｛｝不是等比数列只需证W力6・e

事实上,。2=[ap+biq〕2=a\/+仇/+2a、b\pq,

c\'c3=Oi+Aj〔幻(+瓦才〕="i/?+1/+4一〔尸+才J.

由于pKg,(^+(f>2pq,又均、力不为零，

2

因此,2Nq•C3,故｛｝不是等比数列.

例题10.r?〔n>4j个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等

以-1_a=3__

比数列，并且所有公比相等224=1,4~84316

求S=a”+Q2+的3+…+ann«

解：设数列｛%/｝的公差为d,数列｛〃法｝[i=l,2,3,…，nJ的公比为q.

那么％=知+[k-1]d,akk=[an+[k-1]d]qi.

'24=(«n+3d)q=1

〃42=(011+d)q3——■

o

3£

。43(即+21)/=k

1O

依题意得：I解得：aH=d=q=±2

又E个数都是正数,

r11

S=-F2x---F3x---F•••+nx

222232〃

1c1rle11

——S——r-4-2x--+3x——H-------1-nx——

22223242”

5=2-J---

两式相减得：2"T2n,

例题11.函数f(x)=l°g3(奴+b)的图象经过点42,1)和8(5,2),记a“=”,neN.

⑴求数列｛6J的通项公式;

⑵设2"_，假设＜，＜‘"(meZ),求加的最小值；

(1+—)(1+—)•••(1+—)＞py/2n+i

〔3〕求使不等式《生对一切"eN*均成立的最大

实数P.

log3(2a+b)=lJ,a=2

Jog3(5a+")=2,解得%

解：〔1〕由题意得b=-l

l0S3(2n1)

/./(x)=log3(2x-l)an=3-=2«-l,neAf*

,2n-l.1352n-32n-]

b—.・T—.+o++…++

⑵由⑴得〃T,w2'22232'i2〃①

132n-52H—32〃一l

-T-------|--------F••,H---------------+--------------d--------------

2"22232"T2"2rt+l②①一②得

122222n-l11111、

IT—+++***+[+I--i+Z(i+△+•,,+e+)

2n2122232n-12n2n+12121222n-22n-1

2n-1_312n—112n—12n+3

：----------------------/.J=3--------------=3-------

2什1

22门一]2门十]门2n-22n2n

/(〃)=^±2,”eN*

设2"，那么由

2〃+5

11

/(n+1)2〃+511<-+-<

--------=-------=----------=—।--------一25

f(n)2〃+32(2〃+3)22〃+3

2n

//、2〃+3…

f(n)-------£N

得2"随〃的增大而减小

.•.当〃f+8时，T"-3又7；</M(/"eZ)恒成立，...，%min=3

1

p<r—(1+—)(1+—)•••(1+上)对〃eN*

⑶由题意得，2〃+14a2an恒成立

F(")-/1(1+—)(1+--)■,,(1+—)

记A/2〃+1qa2an,那么

/1-(1+2)(1+—),,•(1+,)(1+

F(n+1)V2n+3a,a2anan+,

F(n)i1(1+-)(1+—)■•■(1+—)

J2n+1a,a2an

2n+2_2(n+l)>2(n+l)

J(2n+l)(2n+3)74(n+1)2-(n+1)2(n+0

F(n)>0,.-.F(n+1)>F(n),即f(〃)是随〃的增大而增大

;Pax=1V3

口,、/?(D=-V3n)

产(〃)的最小值为33,即3

〔二〕证明等差与等比数列

1.转化为等差等比数列.

例题12.数列｛4｝中，a\=8,%=2且满足a.=2a,+i-a”,HGN*.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵设S“=|。1|+|。2I+…+1。"।,求S";

]

，

(ne^),Tn^bl+b2+---+b„(neN),是否存在最大的整数加，使得

m

对任意〃eN",均有32成立？假设存在，求出团的值；假设不存在，请说明理由.

解：〔1〕由题意，%+2一氏+1=%+1一%，；•｛%｝为等差数列，设公差为

由题意得2=8+3d=Q=_2,•-an=8—2(/?-1)=10—2M

〔2〕假设1°-2〃N0贝瓦。5,〃<5时,S〃=|。/+|。21+…+1。〃I

8+10-2/1n2

=q+/+,••+4=---------x〃=9〃一〃,

n>6时，Sn=a\+a2+…+〃5_。6-a7---an

2

=55-(5-S5)=2S5-S=H-977+40

9n-n2

Sn=\5

故[n2-9n+40„>g

.b-_----1----—_■,1—_—1(J——，1、j

[3]〃n(12-an)2n(n+1)2n〃+l

_lLJ1、JL/I1、/1二〃

.T“=/-rzl5)+(5-§)+(1/+…+(有二)+(丁Q)]-2(〃+l).

Tmnm

*‘,〉

假设”32对任意〃eN’成立，即〃+116对任意"wN*成立，

..」L(〃eN*)-

«+1的最小值是2,162'•♦.小的最大整数值是7.

T>%

即存在最大整数加=7,使对任意〃wN*,均有"32

例题13.等比数列｛〃,｝与数列｛%｝满足“=3"",〃eN*.

〔1〕判断是何种数列，并给出证明；

⑵假设％+%=九求他2•

ana

解：〔1〕设｛2｝的公比为q,■-bn^r-,3'-q-'=3"=>an=a,+(n-l)log3qo

所以｛%｝是以log,夕为公差的等差数列.

[2]外+«,3所以由等差数列性质可得4+%)=%+«13=m,

_(«i+«,o)x2O_

a｝+a2+a3+...十%。一-15〃=4仇…“二变小七+…Q=3皿"

2.由简单递推关系证明等差等比数列

例题14.数列｛4J和｛"J满足：4=1,%=2,b”=J%%〔〃eN*〕,

且仍"｝是以4为公比的等比数列.

_2

[I]证明：q，+2=a,"；

〔II〕假设q，=“2,1+2a2",证明：数歹4｛，,｝是等比数列；

111111

----1-----1-----1-----1_...-J________I_____

〔III〕求和：a1a2a3a4^hn-la2n.

a2

解法1：[I]证：由a，有V",/.an+2=anq(n€N*)

[II]证：；an=an-2Q",

22n-220n-2

,•a2n-\=a2n-3^=…=%q,a2n=a2n-2q=，，，=a2Cl,

222

Cn=+2a2“=qq"-2+^a2q"~=(4+2a,对7=5/”

，｛C"｝是首项为5,公比为二的等比数列.

—=-2-2n1.1。2-2〃

?消一J，于是

〔III〕解：由［II］得。2时］%

"+―=」+—+(3+…+口

%。2a2n%。3%%a2n

」(1+与+[+...+i、i八i1■+六)

，〃一2)+-a+-r+-r+

%qqq/①q

—+—+…+—=-(1+—+—+•••+=-n

当4=1时，qa2a2n2qqq2

1113111、

—+—+…+—=+-+—+

当4工1时，4%a2n2qqq

=3工)=々qJ】

2\-q-

3

一〃，q=1,

1112

-----1-------F…H-------=

%a2q”.-1

[2X(.])],q手1.

故

解法2：口〕同解法ia〕.

%+i_4"+1+2%,+2==丁(〃6N")

〔II〕证：°“4”-1+2。2”出"-|+2。2",又q=4+24=5,

二｛c，J是首项为5,公比为二的等比数列.

[III]由解法1中〔II〕的类似方法得%"T+4”=(6=3q"2,

1.1.,1_4+4,%+4,—%

----1------1-…H----------------1-----------b…H--------------

4a2a2n4a2a3a4&21a2〃,

..42人]+a2k_3q_3g-2A+2

a2k-\a2k2q2,Z=L2,…，n,

—+—+•••+—!—=—(l+q-2+…+q-2n+2)

a

.3|a22n2

例题15.设数列｛〃”｝的前〃项和为s〃，且S〃=（1+丸）-布〃,其中4工-1,0

〔1〕证明：数列伍"是等比数列；

〔2〕设数列伍"的公比《=数列也｝满足伉=,bn=f[nGN*n>2),

求数列的通项公式；

⑶设2=1,6=勺(1-1),求数列｛C,J的前〃项和7,,

b„

〔1〕证明：由S“=(1+4)—=5〃_]=(1+几)一曲〃_](〃之2)

相减得：4=-而“+九*，，'=」7("22),.•.数列｛《,｝是等比数列

an-\।+“

⑵解：/⑷=与.鹏=吃=*=j

1+41+&-1匕"*

是首项为!=2,公差为1的等差数列，，；=2+(〃-1)="+1.

”,伉b„〃+1

⑶解：4=1时，见=C“=a"(：T)=(；)"T〃

••.一=1+2(1)+3(权+...+«(1)«-'①

.=；+25+3(；)3+...+心*②

①一②得:3=1+；+夕+夕+…+5》今

所以：?；,=4(1-(l)n)-2«(^)n.

例题16.AO3C的各个顶点分别为(0,0),(1,0),(0,2),设耳为线段BC的中点，鸟为线段

0c的中点，8为线段。《的中点.对每一个正整数”,《+3为线段E/,+i的中点.令心的坐标

为(匕，X,),y“+%+i+片+2•

⑴求4，々，%及4,(〃eN*)；

〔2〕证明：%M=1—.,(〃eN')

⑶记〉=%+4-%,伽"*),证明：电｝是等比数列.

13

⑴解：因为力二Z二%二1,为二二，75=-所以得^1=3=^=2.

242

1l

又由%+3=%~2yM,对任意的正整数〃有

y，"+

产;%+i+y„+2+%+3=gy»+\+%+2+"2''=g%+"+|+y‘+2="

恒成立，且a=2,所以｛冬｝为常数数列，品=2,〔〃为正整数〕

⑵证明：根据笫+4=2，及]“+加+%+2=a.=2,易证得％+4=1

〔3〕证明：因为6"尸y4n+8—y4n+4=〔1一乎〕一〔1一号〕=~\,

444

又由b=y_丫4=1一~~~y^=~~，

｝844

所以｛》｝是首项为4,公比为4的等比数列.

【模拟试题】

一、填空题

1.在等差数列｛a"｝中，a，=2,a2+a3=13,那么a4+a5+a6等于=.

2.数列的通项为=-5〃+2,那么其前〃项和S”=.

3.首项为一24的等差数列，从第10项开场为正，那么公差"的取值围是.

4.在等比数列也"｝中，的和。5是二次方程X?+丘+5=0的两个根，那么。2。4。6

的值为.

5.等差数列｛%｝中，a】=l,a3+a5=14,其前n项和S^lOO,那么n=.

6.等差数列｛狐｝的前m项和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和为

7n■+45%

7.两个等差数列｛《J和的前〃项和分别为A”和纥，且B“n+3,b]=

an

,假设1为正整数，n的取值个数为o

8,数列｛%｝对于任意P，4eN*,有4+假设"'一§,那么见6=.

9.记数列｛%｝所有项的和为Ai),第二项及以后各项的和为12),第三项及以后各项的

和为5⑶，…，第〃项及以后各项的和为S(%假设S。)=2,S⑵=1,⑶-5'…，

S=J-

<")一2"-2'…，那么明等于.

10.等差数列仅"｝共有2〃+1项，其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,那么其中间

项为.

11.等差数列｛《J中，7°,假设m>1且Ji一%+%,+1=°,$2吁|=38,那么小的

值为.

12.设S”为等差数列｛七｝的前〃项和.56=36,S„=324,S„_6=144（n>6）；那么〃等于

13.函数/（X）定义在正整数集上，且对于任意的正整数》,都有f（x+2）=2f（x+l）

一/。），且/⑴=2J（3）=6,那么/（2005）=.

14.三个数a*，。成等比数列，且a+"c=，"（，〃>0）,那么b的取值围是.

15.等差数列｛6,｝中，前〃项和为S“，首项4=4,Sg=O.

〔1〕假设。“+S〃=—1。，求力

〔2〕设2=2同，求使不等式4+么+…+2>2007的最小正整数〃的值.

点拨：在等差数列中a“，S”,〃,d知道其中三个就可以求出另外一个，由可以求出首项为

与公差d,把a“，S”分别用首项4与公差d,表示即可.对于求和公式"=,

Sn="4+”（<）”采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更

简单一些.例如：%>O,4o<O,a,+qo>°，判断S17,耳g,Sjo的正负.问题2在思考时要注意加

了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项.

16.等差数列｛%｝的前〃项和为5“，%=1+6,53=9+3应

⑴求数列｛""｝的通项凡与前〃项和为s“；

〔II〕设"n〔〃wN〕，求证：数列｛2｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

17.在直角坐标平面上有一点列1（飞，））修（打必）…，匕（x”,y”）…，对一切正整数〃，点4位

y_3工+_135--

于函数一4的图象上，且鸟的横坐标构成以2为首项，―1为公差的等差数列｛4｝.

⑴求点匕的坐标；

⑵设抛物线列。，°2，。3,…中的每一条的对称轴都垂直于刀轴，第〃条抛物线,”的

顶点为K,且过点。,（°，〃2+1）,设与抛物线以相切于。，的直线的斜率为左”，求：

111

---+----+…+------

⑶设S=｛x|x=2x“,MeNd｝,T=3y=4y“,〃21｝,等差数列｛4｝的任一项

“"eScT,其中4是ScT中的最大数，一265<演<一125,求｛%｝的通项公式.

18,数列｛4｝满足4=1，%+1=2%+1（〃eN）,

〔1〕求数列｛“"｝的通项公式；

⑵假设数列｛叫满足*'4……44T=（a“+l）"”（〃eN*）〔a必〕，证明：间是等

差数列.

【试题答案】

1.42

n（5n+1）

2.2-

3.（P3]

4.±575

5.10

6.210

7.8.5;5个

s=（4+4,）"

解法一：点拨利用等差数列的求和公式”-2及等差数列的性质

a=^L

"假设2"2=/7+4，机，。，＜7€1"'）*,那么2"

（q+演）力3

工―X13J

江（々*Jxl3一匹一万

解析：4=2

解法2:点拨利用“假设｛%｝为等差数列，那么这个结论，根据条件

找出a,t和"〃的通项.

解析：可设4=而(7〃+45),纥=-5+3),那么=以14〃+38),

%©14x7+38)17

btl=k(2n+2),那么e=k(2x7+2)2

%女(14〃+38)1212

―/•____

由上面的解法2可知“=乂2"+2)”+1,显然只需使〃+1为正整数即可，

故〃=1,2,3,5,11,共5个.

点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用.

反思：解法2中，假设是填空题，比例常数k可以直接设为1.

8.4

〃_q_q=j_____1___L

9解:”(n)(n+1)2"-22"T2"T

(n+l)a=319

*ll+l

10.M：依题意，中间项为%+1,于是有I叫,+1=290解得%=29

a

11.解：由题设得="-<+《"M=2am,而4“*°,=2,又S2m_}-38,

.38=(q+%"2吁1)=2a,"l)=

22"2=10.

12.解：S6+(S,「S,M)=6(4+%)=36+(324—144)=216,q+a“=36

片幽—24

n=180

13.解：由/(x+2)+/(x)=2/(x+l)知函薮f(x)(xeN)当％从小到大依次取值时对应

的一系列函数值组成一个等差数列，ADJ©)，…"(2005)形成一个首项为2,公差为4的

等差数列，7(2005)=2+(1003-1)x4=4010

bb.,，八1,m

a=—,c=bq—+力+。9=小,,.・力w0,「.一+夕+1=一

14.解：设q，那么有qqb.

ml„

-=-+q+\>3:.0<