2019-2020学年高考数学一轮复习-基本不等式及其应用1导学案-文

2019-2020学年高考数学一轮复习基本不等式及其应用（1）导学案文知识梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,bQUOTE,那么QUOTE+QUOTE2ab.当且仅当a=b时,等号成立.(2)基本不等式:如果a,b>0.那么QUOTE可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、重要结论：（1）a+QUOTE2（aQUOTE）QUOTE1QUOTE（2）a+QUOTE2（aQUOTE）QUOTE1QUOTE（3）、QUOTE（4）、QUOTE+QUOTEab+bc+caQUOTE（5）、QUOTE（a,b>0.）QUOTE（6）、QUOTE+QUOTE3、如果a,bQUOTE,那么QUOTE(不等式证明选讲内容)二、题型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,yQUOTE,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值QUOTE；（2）x,yQUOTE,xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2QUOTE即：和定，积最大；积定，和最小。应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。例1：解答下列问题已知xQUOTE，求x+QUOTE的最小值；已知0QUOTE，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；求函数y=QUOTE已知xQUOTE，且x+y=1，求QUOTE+QUOTE。探究二：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；（2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；（3）、在定义域内，求出函数的最值；（4）、正确写了答案。例2：某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。（1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域；（2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？三、方法提升基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。但是在具体问题中，往往所给的条件并非“标准”的“一正，二定，三相等”，（或隐藏在所给条件中），所以要对各项或各式作适应的变形，通过凑，拆，添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等。如果等号在变形的时候不成立，这时可以改用“对勾函数”来解决不能应用基本不等式求解的情形。四、反思感悟五、课时作业1．(2009年高考重庆卷)已知a>0，b>0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．4解析：选C.∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥eq\f(2,\r(ab))＋2eq\r(ab)≥2eq\r(2×2)＝4.当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b，,\r(ab)＝1))时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4.2．设点P(eq\f(t,2)＋eq\f(2,t)，1)(t>0)，则|eq\o(OP,\s\up6(→))|(O为坐标原点)的最小值是()A．3B．5C.eq\r(3)D.eq\r(5)解析：选D.由已知得|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r((\f(t,2)＋\f(2,t))2＋1)≥eq\r((2\r(\f(t,2)×\f(2,t)))2＋1)＝eq\r(5)，当t＝2时取得等号．3．(原创题)若a>0，b>0，a，b的等差中项是eq\f(1,2)，且α＝a＋eq\f(1,a)，β＝b＋eq\f(1,b)，则α＋β的最小值为()A．2B．3C．4解析：选D.因为a＋b＝1，所以α＋β＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1＋1＋eq\f(b,a)＋1＋eq\f(a,b)≥5，故选D.4．若a＋b＝2，则3a＋3bA．18B．6C．2eq\r(3)D．2eq\r(4,3)解析：选B.3a＋3b≥2eq\r(3a·3b)＝2eq\r(3a＋b)＝6.5．已知x<eq\f(1,2)，则函数y＝2x＋eq\f(1,2x－1)的最大值是()A．2B．1C．－1解析：选C.y＝2x＋eq\f(1,2x－1)＝－[(1－2x)＋eq\f(1,1－2x)]＋1，由x<eq\f(1,2)可得1－2x>0，根据基本不等式可得(1－2x)＋eq\f(1,1－2x)≥2，当且仅当1－2x＝eq\f(1,1－2x)即x＝0时取等号，则ymax＝－1.正确答案为C.6．(2009年高考天津卷)设a>0，b>0，若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．8B．4C．1D.eq\f(1,4)解析：选B.由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.因为a>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．7．在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ，r的值分别是()A．θ＝1，r＝eq\r(S)B．θ＝2，r＝eq\r(4,S)C．θ＝2，r＝eq\r(3,S)D．θ＝2，r＝eq\r(S)解析：选D.S＝eq\f(1,2)θr2⇒θ＝eq\f(2S,r2)，又∵扇形周长P＝2r＋θr＝2(r＋eq\f(S,r))≥4eq\r(S)，∴当P最小时，r＝eq\f(S,r)⇒r＝eq\r(S)，此时θ＝2.8．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)对称，则eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．4B．6C．8解析：选D.由圆的对称性可得，直线2ax－by＋2＝0必过圆心(－1,2)，所以a＋b＝1.所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(4(a＋b),a)＋eq\f(a＋b,b)＝eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)＋5≥2eq\r(\f(4b,a)·\f(a,b))＋5＝9，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b时取等号，故选D.9．已知0<x<eq\f(3,4)，则函数y＝5x(3－4x)的最大值为________．解析：因为0<x<eq\f(3,4)，所以eq\f(3,4)－x>0，所以y＝5x(3－4x)＝20x(eq\f(3,4)－x)≤20(eq\f(x＋\f(3,4)－x,2))2＝eq\f(45,16)，当且仅当x＝eq\f(3,4)－x，即x＝eq\f(3,8)时等号成立．答案：eq\f(45,16)10.如下图，某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个10克的砝码，一个患者想要买20克的中药，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘上，待平衡后交给患者；然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘上，待平衡后再交给患者．设患者一次实际购买的药量为m(克)，则m________20克．(请选择填“>”或“<”或“＝”)解析：设两次售货员分别在盘中放置m1、m2克药品，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a＝m1b，,10b＝m2a，,m＝m1＋m2，))前两个式子相乘，得100ab＝m1m2·ab，得m1m2＝100，因为m1≠m2，所以m＝m1＋m2>2eq\r(m1m2)＝20，所以填“>”．答案：>11．已知不等式(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))≥9对任意的正实数x、y恒成立，求正数a的最小值．解：∵(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))＝1＋eq\f(ax,y)＋eq\f(y,x)＋a≥a＋1＋2eq\r(a)(a>0)，∴要使原不等式恒成立，则只需a＋1＋2eq\r(a)≥9，即(eq\r(a)－2)(eq\r(a)＋4)≥0，故eq\r(a)≥2，即a≥4，∴正数a的最小值是4.12.已知M是△ABC内的一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\r(3)，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为eq\f(1,2)，x，y，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是()A．20B．18C．16解析：选B.由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccos∠BAC＝2eq\r(3)⇒bc＝4，故S△ABC＝x＋y＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)bcsinA＝1⇒x＋y＝eq\f(1,2)，而eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝2(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))×(x＋y)＝2(5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y))≥2(5＋2eq\r(\f(y,x)×\f(4x,y)))＝18，故选B.13．设x>1，y>1，且lg(xy)＝4，则lgx·lgy的最大值为________．解析：∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，∴lgx·lgy≤(eq\f(lgx＋lgy,2))2＝eq\f(lg2(xy),4)＝4(当且仅当lgx＝lgy＝2，即x＝y＝100时取等号)，∴当x＝y＝100时，lgx·lgy有最大值4.答案：414．设正数a，b满足条件a＋b＝3，则直线(a＋b)x＋aby＝0的斜率的取值范围是________．解析：由k＝－eq\f(a＋b,ab)＝－eq\f(3,ab)，3＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤(eq\f(3,2))2，∴k＝－eq\f(3,ab)≤－eq\f(4,3).答案：(－∞，－eq\f(4,3)]15．当a>0，a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n解析：A(2,1)，故2m＋n＝1.∴4m＋2n≥2eq\r(4m·2n)＝2eq\r(22m＋n)＝2eq\r(2).当且仅当4m＝2n，即2m＝n，即n＝eq