《圆》的教学案(全章)

第1课时圆如图是一个圆形靶的示意图，0为圆心，小明向上面投了A、B、C、D、E5枚飞镖，则

一、学习准备

1、探究活动

让我们大胆的设想一下，如果我们的自行车轮做成正方形，会若何

如图：E、B表示车轮边缘上的两点，它们到轴心0的距离大小若何

小结：(11点与圆的位置关系有，它们是.

这样会导致会导致什么后果

(2)点与圆的位置关系可以按以下方法判断

如果将车轮换成如图形状，是否保证车轮能够平稳地滚动

如图：A、B表示车轮边缘上任意两点，则它们到轴心0的距离：—

目标

一些同学做投圈游戏，大家均站在线外，欲用圈套住离他们2m远的

2m

有如图两种方案供选择，你的选择是,理由：。；

①®三、【达标检测】

二、解读教材

1、平面上有一个半径为5cm的。O和A、B、C三点，0A=4.5cm,OB=5cm,OC=5.5cm,则点A在

2、圆的概念OO，则点B在(DO，则点C在©0o

2、如以以下图，在aABC中，ZACB=90",AC=2cm,BC=4cm,CM是中线，

平面上：叫做圆，其中圆心，

以C点为圆心，J5为半径做圆，则A、B、C、M四点在圆外的是.

半径，以点0为圆心的圆记作,读作。

3、以下条件中，只能确定一个圆的是()

确定一个圆需要两个要素：一是位置，圆的确定圆的位置；二是大小，圆的确定圆

A、以点O为圆心B、以2cm长为半径C、以点O为圆心，5cm长为半径D、经过点A

的大小。*4、假设00所在平面内一点P到。O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的半径为

()

即时练习：

a+ba-ba+b„a-b

A、------B、------C>---------或------D

①以3cm为半径可以画个圆，以点0为圆心可以画个圆，只能画一个2222

第2课时垂径定理

圆。

学习准备I、圆的定义：在平面上，到的距离等于的所有点所组成的图形叫做圆。

2、圆轴对称图形，它的对称轴有条。

②我们所学的圆，就是我们日常所说的(填圆面或圆周)

二.解读教材

3、点与圆的位置关系3、认识弧马弦阅读教材96T7页并填空

(1)圆上任意两点间的局部叫做。大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫，弧AB记作，图中劣弧有例1,在直径650mm的圆柱形油槽中一些油后，截而如图。假设油而宽AB=6(X)mm,求油的最大深度。

(2)连接圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫图中弦有，其中直径是。解:过。。作OF_L于E,交OO于F,连接OA

(3)以下说法正确的有()

A,直径是圆的对称轴B.半圆是弧C.半圆既不是优弧也不是劣弧D,直径是弦

中两点间的局部为弦F.过圆上一点有无数条弦

4、垂径定理

如图，AB是。O的一条弦，作直径CD,使CD_LAB于点M

(1)右图是轴对称图形吗如果是，对称轴是，根据轴对称性质图中相等线段有，

在RtAAOE中，OA2=+

相等的劣弧有

(2)垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧

C

即“

AM=BM

(\解得Xl=,X2=

AC=_Iol)答：油槽的最大深度为

几何语言表示为：在。0中,CD1ABTM[=

XEI即时练习1.圆的半径为5,两平行弦长为6和8,则这两条弦的距离为

CD是直径JL

AD=2,AB是半圆的直径，。是圆心，C是半圆上一点，OE交AC于D,AC=8,DE=2,求OD的长。

D【达标检测】

1、以下命题正确的选项是()

5、垂径定理的推论

A.弦的垂线平分弦所对的弧B.平分弦的直径垂直于这条弦

如图：AB是OO的弦(不是直径)作•条平分AB的直径CD,交AB于点EC.过弦的中点的直线必过圆心D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

(1)图形是轴对称图形吗2、如图。。的半径为30mm，弦AB=36mm,点O到AB的距离是，Z.OAB的余弦值为

(2)发现的等量关系有：

3、如图在中，点C是舫的中点，NA=4(H则N80C等于()

垂径定理的推论：平分弦0的直径垂直平分

A.40°B.50°C.70°D.80°

几何语言表示：在。O中4,圆的直径为8cm,弦CD垂直平分半径OA,这弦CD的长为

第3课时圆的对称性(2)

三.挖掘教材'二条直线在①直线过圆心②垂直习准备

6、你也能得到下面的结论

弦③平分弦④平分弦所对的优弧

(1)平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分弦，并平分弦所对•的另一条弧.⑤平分弦所对的劣弧手画一圆

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧。五个条件中任意具备两个条件，则必具把。0沿着某一直径折叠，两旁局部互相重合观察得出：圆是对称图形；

有另外三个结论，简记“知二推三”

(3)还有其它结论吗事实上，垂径定理及推论是指假设把00沿着圆心0旋转180。时，两旁局部互相重合，这时可以发现圆又是一个对称图形。

(当①③为条件时,要对另一条弦增

加它不是的限制)3)假设一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的不变性。

二、解读教材

7、垂径定理的运用

1、认识圆心角、弦心距、弧的度数即时训练：：AB、CD是00的两条弦,0E、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空。

I）圆心角的定义：。

1）如果AB=CD,那么，，；

2）弦心距的定义：。

3）弧的度数：①把顶点在圆心的周角等分成份时，每一份的圆心角是1°的角。

2）如果OE=OG,那么，，：

②因为在同圆中相等的圆心角所对的相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的叫做

1°的弧。3）如果,那么，，：

③圆心角的度数和它们对的弧的相等。

4）如果/AOB=/COD,那么，，。

2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理

三、挖掘教材

自制两个圆形纸片（要求半径相等），并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在。O中，当圆心角

例1、如图，点O是/EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、

ZAOB=ZAZOB'时，它们所对的弧AB和AB,弦AB和A'B',弦心距OM和O'M'是否也相等

D,求证：AB=CD»

呢

例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢

定理总结：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对弦的也相等。

即时训练：从。0外一点P向。0引两条割线PAB、PCD交。。于A、B、C、D,且A3=CO,求证：圆心0必

即时训练：

在NBPD的平分线上

判断：

例2、如图，A、B、C、D是。0上的四个点，AB=DC,ZiABC与△DCB全等吗为什么

1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等；（）即时训练：

：如图，AD=BC,求证：AB=CD

2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等：（）0

【达标检测】

3）弦的弦心距相等，则弦相等；（）

1、判断题：

4）相等的圆心角所对的孤相等。（）

1）相等的圆心角所对弦相等。（）

问题2：在同圆或等圆中，假设圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗这个两个圆心角相等吗你是若何想2）相等的弦所对的弧相等。（）

3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等。（）

的如果弦相等呢你会得到什么结论

2、在。O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对的圆心角是度。

归纳推论：在中，如果两个、两条、两条或两条弦的中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相3、下面的说法正确吗为什么

等。（简记：“知一推三”）如图，因为/AOB=/COD,根据圆心角、弧、弦、弦心距关系定理可知R二小n

4、如图，O为两个同圆的圆心,

垂足为E,假设AC=2.5cm,ED=1.5cm,OA=5cm.则AB=cm。

1如图，A、B、C是。。上三点，ZA0C=100°

（4题图）（5题图）

5、：如图AB、DE是0O的直径，AC//DE,AC交G）O于C,求证：BE=EC。例1

O中，AB=BC,求证:

6、在。ZOAB=ZOCBo2如图，四边形ABCD是。0的内接正方形，点PCD上不同于点C

7、：AB是。O的直径，M、N分别是AO和BO的中点，CM1AB,DN1AB,

的任意一点，则/BPC的度数是

求证：AC=BDo

【学习课题】第4课时圆周角与圆心角的关系圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的，

【学习目标】1、圆周角的概念及圆周角定理2、了解分类讨论及转化的思想四、反思小结

【学习重点】圆周角的概念及圆周角定理I、圆周角的概念

【候课朗读】垂径定理，圆心角、弦、弦心距、弧之间的关系

C2、圆周角等于圆心角的一半吗

一、学习准备3、定理的证明用了分类讨论的思想。

1、叫圆心角。【达标测评】

2、等弧所对的圆心角______________一I、如图，在。。中ZB0C=150°,ZBAC=。

二、解读教材2、如图，在。中，NB0C=50°,则NBAC=,ZBDC=。3

3、圆周角的概念3、如图，A,B,C,D是00上的四点,且NBCD=100°,则NB0D=,ZBAD=。

顶点在，两边，像这样的角叫圆周角。4、如图，AB,CD是两条直径，连AC,那么/a/B的数量关系是。

4、及时练习①以下各图是圆周角的是（）5、如图，在世界杯足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴已经助攻冲到B点。

ABCDE有两种射门方式：第一种时甲直接射门：第二种是甲将球传给乙，由乙射门。仅从射门角度考虑，应选择种射

②指出以以以下图的圆周角门方式。

【学习课题】第5课时圆周角与圆心角的关系（2）

5、议一议

【学习目标】1、记住并能熟练使用圆周角与圆心角的关系定理

看图1、2、3猜一猜，圆心角NA0C与圆周角NABC之间的大小关2、通过推理证明得出圆周角与圆心角的关系定理的推/论

系O3、会熟练运用定理及推论解决相关问题

【学习重点】1、进一步熟悉圆周角与圆心角关系定理的使用

先讨论特殊情况：NABC的一边经过圆心，如图1

2、圆周角与圆心角关系定理推论的使用

三、挖掘教材【学习过程】

一、学习准备

例I量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180。、700x30°,则NPAQ是多少度

1、圆周角与圆心角关系定理：一条弧所对的等于它所对的的。

即时练习2、如图1,在。。中NABC中，ZABC=.NAEC=,NADC=。

二、解读教材

E

D

3、在图1中，由题2中可得，ZABC===

3、AABC是半径为2cm的圆的内接三角形，假设BC=2j§cm,则

推论1.所对的圆周角相等。

4、图2中，因为NACB与NADB共对弧，而弧所对的圆心角为，由圆周角与圆心角的关系定理可得NA的度数为图7

ZACB=°=ZADB4、在。O中，直径AB=10cm,弦AC=6cm,/ACB的平分线交。O于D,贝UBC=

推论2.直径所对的圆周角是直角：90°的圆周角所对的弦是直径。Cm,AD=cm,BD=cmo

例题1如图3,AB是。O直径，BD是。O的弦，延长BD到C,使5、如图8,点D在以AC为直径的。O上，如果/BDC=20°,那么NACB=°

AC=AB,BD与CD的大小有什么关系为什么6、如图9,AB为OO的直径，弦AC=3cm,BC=4cm,CD1AB,—--------

垂足为D,求AD、BD和CD的长。7K

解：BD=CD。理由是：

7、如图10,OA是OO的半径，以OA为直径的©C一与°(\\Pr/)O的弦AB

如图，连接AD

相交于点D,求证：D是AB中点。\\/X./)

TAB是。O的直径

:.ZADB=【资源链接】[/X\R

即ADBC根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我rDOJB们定义了圆心

角与圆周角，并探讨了圆周角、圆心角与它们所对\/的弧的度数的关系。

XVAC=AB

类似的，如图11”)，当角的顶点在圆外(或圆、—/内)，角的两边与圆相交，这样的角叫圆

/.BD=CD

即时练习外角(圆内角)。

5、如图4,等腰三角形ABC中，AB=AC,以腰AC为直径作半圆交AB于点E,交BC于点F,假设NA=50°,想一想

求弧EF、MAE、弧FC的度数(1)/APB与弧AB、弧CD的度数有若何的关系

三、挖掘教材(2)你能对比/APB与弧AB所对圆周角的大小吗根据上面的结论，请你解决以下问题：

5、例题2如图5,AABC中，D为AB中点，CD等于AB的一半，求证：△ABC为直角如图11(2),A、B是两座灯塔，在弓形AmB内有暗礁，游艇C在附近的海上游弋，问游艇上的导航员

三角形若何通过观测才能知道有没有触礁的不安全

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

6、例题3如图6,AD是aABC的高，AE是AABC的外接圆直径【学习课题】第6函「/I、课时：不在同一条直线函I”＞上的三点共圆

C

求证：

AB・AC=AE・AD【学习目标】：

不在同一直线上的三个点确定一个圆，过不在同一直线上的三个点作圆的方法

注意在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角,

【学习重点】

以便利用宜径所对的圆周角是直角的性质c

四、反思小结过在不同一直线上的三个点作圆的方法

【学习过程】

1、圆周角与圆心角的关系定理及推论的作用是什么

在平面上有A、点

2、根据定理及推论，设想一下，在解决圆的有关问题时，常用辅助线有哪一、学习准备0102.03

以Oi为圆心,OiA为半径画图

【达标测评】

1、经过一点有条直线。