《不同增长函数的差异》教学设计、导学案、同步练习

第四章指数函数与对数函数

《4.4.3不同增长函数的差异》教学设计

【教材分析】

本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章

第4.4.3节《不同增长函数的差异》是在学习了指数函数、对数函数和幕函数之

后的对函数学习的一次梳理和总结。本节提出函数增长快慢的问题，通过函数图

像及三个函数的性质，完成函数增长快慢的认识。既是对三种函数学习的总结，

也为后续导数的学习做了铺垫。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理

和数学建模的核心素养。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

1.了解指数函数、对数函数、基函数（一a.数学抽象：函数增长快慢的认识；

次函数）的增长差异.b.逻辑推理：由特殊到一般的推理；

2、经过探究对函数的图像观察，理解C.数学运算：运用指数和对数运算分析问

对数增长、直线上升、指数爆炸。培养题；

学生观察问题、分析问题和归纳问题的d.直观想象：指数、对数函数的图像；

思维能力以及数学交流能力；e.数学建模：运用函数增长差异解决实际

3、在认识函数增长差异的过程中，使问题；

学生学会认识事物的特殊性与一般性

之间的关系，培养数学应用的意识，探

索数学。

【教学重难点】

教学重点：函数增长快慢比较的常用方法;

教学难点：了解影响函数增长快慢的因素;

【教学过程】

教学过程设计意图

（一）、温故知新温故知

三种函数模型的性质新，通过对上

y=节指数、对数

y=H(a>l)y=x(/7>0)

log^(a>l)和幕函数问题

在(0，的回顾，提出

+0°)新的问题，提

增函数增函数增函数

上的增出研究函数增

减性长差异的问题

图象的随X增大逐渐随X增大逐及研究方法。

变化趋近似与y轴；渐近似与X随〃值而不同培养和发展逻

势平行轴工平行辑推理和数学

①y=H(a>l)：随着x的增大，y增长速度越来抽象的核心素

增长速越快，会远远大于y=x"(〃>0)的增长速度，y=养。

度log„x(a>l)的增长速度越来越慢

②存在一个荀，当x>xo时，有a”〉x">logax

(-)问题探究

我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差

异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规

律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么

就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其

变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长

方式的差异.

提出问题

虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差

异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.

我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.

下面就来研究一次函数/<(x)=M6,30,指数函数

g(x)=a'(a>l),对数函数在定义域内增长方式的差异.

问题探究

以函数尸2*与尸2x为例研究指数函数、一次函数增长方式

的差异.

分析：(1)在区间(-8,0)上，指数函数产2'值恒大于0,-

次函数尸2x值恒小于0,所以我们重点研究在区间(0,+8)上它

们的增长差异.

(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如

下：

X产2'y=2x

010

0.51.4141

122

1.52.8283

244

2.55.6575

386

••••••••・

(3)观察两个函数图象及其增长方式：

结论1：函数产2'与尸2x有两个交点(1,2)和(2,4)

结论2：在区间(0,1)上，函数尸2'的图象位于产2x之上

结论3：在区间(1,2)上，函数尸2'的图象位于尸2x之下

结论4：在区间⑵3)上，函数产2'的图象位于产2x之上

综上：虽然函数尸2'与产2x都是增函数，但是它们的增长

速度不同，函数产2x的增长速度不变，但是产2”的增长速度改

变，先慢后快.

通过画出

特殊的指数函

数和嘉函数的

图形，观察归

纳出两类函数

请大家想象一下，取更大的X值，在更大的范围内两个函增长的差异和

数图象的关系？特点，发展学

生逻辑推理，

数学抽象、数

思考：随着自变量取值越来越大，函数尸2'的图象几乎与X学运算等核心

轴垂直，函数值快速增长，函数产2x的增长速度保持不变，和素养；

尸2*的增长相比几乎微不足道.

归纳总结

总结一：函数尸2x与产2*在［0,+8)上增长快慢的不同如

下：

虽然函数尸2刀与尸2'在［0,+8)上都是单调递增，但它们

的增长速度不同.

随着x的增大，尸2*的增长速度越来越快，会超过并远远大

于尸2x的增长速度.通过对对

尽管在x的一定范围内，2'<2x,但由于产才的增长最终会数函数的图像

快于尸2x的增长，因止匕总会存在一个吊，当x>芯时，恒有2〉2工与塞函数图像

总结二：一般地指数函数产a*(a>l)与一次函数尸kx(k>0的观察分析归

的增长都与上述类似.纳总结出两类

即使A值远远大于a值，指数函数尸a*(a>l)虽然有一段区函增长性的差

间会小于尸Ax(A>0),但总会存在一个x0,当x>为时，尸a'(a>l)异和特点，发

的增长速度会大大超过产4x(冷0)的增长速度.展学生数学运

算、逻辑推理

跟踪训练的核心素养；

1.四个变量”，乃，%,必随变量x变化的数据如表:

X151015202530

226101226401626901

37761.053.361.07X

%2321024

8X106X107109

732102030405060

4.325.325.90

必26.3226.6446.907

227

关于x呈指数函数变化的变量是.

答案:y2

[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看

通过画出

出，四个变量y”y2,y”力均是从2开始变化，且都是越来越

特殊的指数函

大，但是增长速度不同，其中变量yz的增长速度最快，画出它

数和鼎函数的

们的图象(图略),可知变量yz关x呈指数型函数变化.故填y2.]

图形，观察归

分析：(1)在区间(-8,0)上，对数函数y=lgx没意义，一

纳出两类函数

次函数值恒小于0,

增长的差异和

所以研究在区间(0,+8)上它们的增长差异.

特点，发展学

(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如

生逻辑推理，

下:

数学抽象、数

XJ=lgx

学运算等核心

0不存在0素养；

1011

201.3012

301.4773

401.6024

501.6995

601.7786

•••••••••

1

以函数尸Igx与"6X为例研究对数函数、一次函数增长方

式的差异.

(3)观察两个函数图象及其增长方式：

总结一：虽然函数尸Igx与尸白”在(0,+8)上都是单调递

增，但它们的增长速度存在明显差异.在(0,+8)上增长速度不

变，片Igx在(0,+8)上的增长速度在变化.

随着X的增大*的图象离X轴越来越远，而函数尸Igx的

图象越来越平缓，就像与X轴平行一样

三、当堂达标通过练习

1.下列函数中随X的增大而增大且速度最快的是()巩固本节所学

xx

A.y=eB.y=lnAC.y=xY).y=e~知识，巩固对

【答案】A[结合指数函数，对数函数及一次函数的图象函数增长差异

变化趋势可知A正确.]性的认识，增

2.能使不等式1。82矛〈*<2”一定成立的工的取值区间是强学生的直观

()想象、数学抽

A.(0,+8)B.(2,+8)象、数学运算、

C.(一8,2)D.(4,+8)逻辑推理的核

【答案】D[当x>4时，logB<2，，故选D.]心素养。

3.某工厂8年来某种产品总产量C与时间乂年)的函数关

系如图所示.

of-

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的

速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产

量保持不变.

其中说法正确的序号是_______.

【答案】②④[结合图象可知②④正确，故填②④.]

4.某人投资X元，获利y元，有以下三种方案.甲：y=

0.2x,乙:y=log2jr+100,丙：y=l.005',则投资500元，1000

元，1500元时，应分别选择_______方案.

【答案】乙、甲、丙[将投资数分别代入甲、乙、丙的函

数关系式中比较y值的大小即可求出.]

四、小结学生根据

1.由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次函数课堂学习，自

f{x)-kx^-b,k>0,指数函数g(x)=a*(a>l)，对数函数主总结知识要

产log“在定义域上的不同增长方式.点，及运用的

思想方法。注

2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和基函数时，

意总结自己在

通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象

学习中的易错

最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.

五、作业/卢、、、，・

1.课时练2.预习下节课内容

《4.4.3不同增长函数的差异》导学案

【学习目标】

1.了解指数函数、对数函数、线性函数（一次函数）的增长差异.

2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。

【重点难点】

重点：函数增长快慢比较的常用方法；

难点：了解影响函数增长快慢的因素；

【知识梳理】

三种函数模型的性质

y=a\a>l)y=log^(a>l)y=炉(心0)

在（0,+oo）

增函数增函数增函数

上的增减性

图象的变化随X增大逐渐近似与随X增大逐渐近似

随n值而不同

趋势V轴----平行与X—轴平行

①y=优5>1）：随着x的增大，y增长速度包&来越快,会远远大

增长速度于y=L（〃>。）的增长速度，y=logd（。>1）的1曾长速度越来越慢

②存在一个X0,当x>xo时,有0rx---”>lo

增函数;增函数;增函数;y轴;龙轴;越来越快;越来越慢;">H>log«x

【学习过程】

【课堂小结】

我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差

异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数

增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻

画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.

提出问题

虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类

型现实问题具有不同增长规律的反映.

我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.

X

下面就来研究一次函数_/U)=Ax+A,A>0，指数函数g(x)=a3>1)，对数函

数在定义域内增长方式的差异.

问题探究

以函数产2、与产2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.

X

分析：(1)在区间(-8,0)上，指数函数产2值恒大于0,一次函数y=2x值恒

小于0,所以我们重点研究在区间(0,+8)上它们的增长差异.

(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：

X广2"y=2x

010

0.51.4141

122

1.52.8283

244

2.55.6575

386

・・・・・・・・・

(3)观察两个函数图象及其增长方式：

结论1：函数y=2*与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)

结论2：在区间(0,1)上，函数y=2的图象位于y=2x之上

结论3：在区间(1,2)上，函数y=2的图象位于y=2x之下

结论4：在区间(2,3)上，函数y=2的图象位于y=2x之上

X

综上：虽然函数产2与产2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数

y=2x的增长速度不变，但是y=2’的增长速度改变，先慢后快.

请大家想象一下，取更大的X值，在更大的范围内两个函数图象的关系？

思考：随着自变量取值越来越大，函数尸2”的图象几乎与x轴垂直，函数

值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2”的增长相比几乎微不足道.

归纳总结

总结一：函数y=2x与y=2在［0,+8)上增长快慢的不同如下:

X

虽然函数y=2x与产2在［0,+◎上都是单调递增，但它们的增长速度不同.

X

随着x的增大，y=2的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增

长速度.

XX

尽管在x的一定范围内，2<2x,但由于y=2的增长最终会快于y=2x的增

长，因此，总会存在一个x,当时，恒有2>2上

00

x

总结二：一般地指数函数y=a(。>1)与一次函数产Ax(A>0)的增长都与上述类

似.

即使上值远远大于Q值，指数函数y=a(4>1)虽然有一段区间会小于产Ax(A>0),

但总会存在一个当x>xfl时，y=a(a>l)的增长速度会大大超过y=Ax(A>0)的

增长速度.

跟踪训练

1.四个变量yi，竺，券，出随变量无变化的数据如表:

X151015202530

V226101226401626901

），22321024377681.05X1063.36X1071.07X109

2102030405060

*24.3225.3225.9076.3226.6446.907

关于x呈指数函数变化的变量是.

答案：y2

［以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量yi,

y2,y3,y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量

y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变

化.故填y2.］

分析：(1)在区间(-8,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数值恒小于0,

所以研究在区间(0,+8)上它们的增长差异

⑵借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下:

X产Igx

0不存在0

1011

201.3012

301.4773

401.6024

501.6995

601.7786

・・・・・・・・・

以函数y=lgx与、，一1*为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.

V-X

1()

(3)观察两个函数图象及其增长方式：

总结一：虽然函数y=lgx与尸白*在(0,+8)上都是单调递增，但它们的增长

速度存在明显差异.在(0,+8)上增长速度不变，y=lgx在(0,+8)上的增长速度在变

1

化y=­x

心10

随着x的增大，的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越

平缓，就像与x轴平行一样.

例如：lgl0=l,lgl00=2,lgl000=3,Igl0000=4；

—X10=1,—X1OO=1O,—X1000=100,—X10000=1000,

10101010

这表明，当x>10,即y>l,月gx比k而“相比增长得就很慢了.

思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=10001gx与比较，仍有上面规律吗？先

想象一下，仍然有.

总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数产履优>0)在(0,上都是单调递

增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数广匕优>0)保持固定的增长速

度，而对数函数J=bg〃x(a>l)的增长速度越来越慢.不论a值比比值大多少，

在一定范围内，可能会大于匕，但由于的增长会慢于Ax的增长，因此

总存在一个二当go时，恒有.

跟踪训练

1.函数人x)=lgx,g(x)=o.3x—l的图象如图所示.

(1)试根据函数的增长差异指出曲线G,C2分别对应的函数；

⑵比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对兀r),g(x)的

大小进行比较).

［解］(1)。1对应的函数为8。)=0.3%—1,C2对应的函数为穴幻=怆工

⑵当尤<X1时，g(x)次X);当尤1a<X2时，7(x)>g(x)；

当X>X2时，g(X)次X)；当X=X1或X=X2时，./U)=g(X).

【达标检测】

1.下列函数中随X的增大而增大且速度最快的是()

A.y=e'B.y=lnxc.y=^D.y=e

【答案】A［结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正

2.能使不等式10g2X<f<2x一定成立的x的取值区间是()

A.(0,+oo)B.(2,+oo)C.(-00,2)D.(4,+oo)

【答案】D［当x>4时，logMVc2。',故选D.］

3.某工厂8年来某种产品总产量C与时间/(年)的函数关系如图所示.

8t（年）

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③

第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变.

其中说法正确的序号是.

【答案】②④［结合图象可知②④正确，故填②④.］

4.某人投资x元，获利y元，有以下三种方案.甲：y=0.2x,乙：y=logu

+100,丙：y=1.005*则投资500元，1000元，1500元时，应分别选择

方案.

【答案】乙、甲、丙［将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y

值的大小即可求出.］

【课堂小结】

1.由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次函数/m)=h+4无>0,指数

函数g(x)=j(a>D，对数函数y=log“x(a>l)在定义域上的不同增长方式.

2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和基函数时，通常是观察函数

图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋

于平缓的函数是对数函数.

《4.4.3不同函数增长的差异》同步练习一

基础巩固

1.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均

增长率是（）

*B.VC.与TD.^-1

2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经

过y年，则函数y=f（x）的图象大致是（）

3.现有一组实验数据如下:

t1.993.004.005.106.12

V1.54.047.51218.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个

是（）

A.V=log2tB.V=logit

2

C.V山D.V=2t-2

2

4.在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强

度I（单位:安）与电线半径r（单位:毫米）的三次方成正比.若已知电流通过半径

为4毫米的电线时，电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时，电流

强度为（）

A.60安B.240安C.75安D.135安

5.若a>l,n>0,则当x足够大时,a",x",logax的大小关系是.

6.某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂1次（由1个分裂成2个），这种细菌由

1个分裂成4096个需经过小时.

7.画出函数f(x)=A&与函数g(x)=；x2-2的图象,并比较两者在［0,+8)上的大小

4

关系.

8.某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每支0.5元,该店推出两种

优惠办法：

(1)买一本软皮本赠送一支铅笔；

(2)按总价的92%付款.

现要买软皮本4本,铅笔若干支(不少于4支)，若购买x支铅笔，付款为y元,试分

别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合

算？

能力提升

9.若x£(0,1),则下列结论正确的是()

11

A.2x>xz>lgxB.2x>lgx>x2

ii

C.xz>2x>lgxD.1gX>X2>2X

10.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化

时间t(单位:月)的近似函数关系:y=a'(t20,a>0,且aW1).有以下叙述：

①第4个月时,剩留量会低于也②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为

所经过的时间分别是t„tt则t1+tkt3.

2482,3,

其中所有正确的叙述是.

1L每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模

的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,

有两种方案如下：

方案一:每年植树1万平方米；

方案二:每年树木面积比上年增加9%.

你觉得哪个方案较好?

素养达成

12.画出函数f(x)=正与函数g(x)=7X2~2的图象，并比较两者在［0,+8)上的大

4

小关系.

4.4.3不同函数增长的差异答案解析

基础巩固

1.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均

增长率是()

A.—B.—C.XV7-1D.'W-l

1112

【答案】D

【解析】设月平均增长率为x,l月份的产量为a,则有a(l+x)"=7a,则l+x=】V7,

故x=1V7-l.

2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经

过y年,则函数y=f(x)的图象大致是()

【答案】D

【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)1即

y=logi.i<MX(x^l),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.

3.现有一组实验数据如下：

t1.993.004.005.106.12

V1.54.047.51218.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个

是()

A.V=log2tB.V=logitC.V=^D.V=2t-2

22

【答案】c

【解析】当t=4时,选项A中的V=log24=2,

选项B中的V=logi4=-2,

2

选项C中的v=?=7.5,

选项D中的V=2X4-2=6,故选C.

4.在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强

度1(单位:安)与电线半径r(单位:毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径

为4毫米的电线时，电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时，电流

强度为()

A.60安B.240安C.75安D.135安

【答案】D

【解析】设比例系数为k,则电流强度I=kr\由已知可得当r=4时，1=320,故有

320=4%,解得k=—=5,所以1=5?,则当r=3时，I=5X3，=135(安).

64

5.若a>l,n>0,则当x足够大时,as,x",log„x的大小关系是.

【答案】log„x<xn<ax

【解析】由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有logax<x"<a.

6.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个)，这种细菌由

1个分裂成4096个需经过小时.

【答案】3

【解析】设1个细菌分裂x次后有y个细菌，则y=2s.

令2=4096=212,则x=12,即需分裂12次，需12X15=180(分钟)，即3小时.

7.画出函数f(x)=Vji与函数g(x)=-X2-2的图象，并比较两者在［0,+8)上的大小

4

关系.

【答案】函数f(x)与g(函的图象如右.根据图象可得:当0Wx<4时,f(x)>g(x);

当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).

【解析】

函数f(x)与g(x)的图象如右.根据图象可得：当0Wx<4[/?即骁-2

时,f(x)>g(x);

当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).op/4*

8.某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每支0.5元,该店推出两种

优惠办法：

(1)买一本软皮本赠送一支铅笔；

(2)按总价的92%付款.

现要买软皮本4本,铅笔若干支(不少于4支)，若购买x支铅笔,付款为y元,试分

别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合

算？

【答案】见解析

【解析】由优惠办法⑴得到y与x的函数关系式为y=2X4+0.5(x-4)=0.5x+6(x

“且xdN).

由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为y=(0.5x+2X4)X92%=0.46x+7.36(x

24,且x£N).

令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且当4Wx<34时，0.5x+6<0.46x+7.36,当x>34

时,0.5x+6>0.46x+7.36.即当购买铅笔少于34支(不少于4支)时,用优惠办法(1)

合算；当购买铅笔多于34支时,用优惠办法(2)合算；当购买铅笔34支时,两种优

惠办法支付的总钱数是相同的，即一样合算.

能力提升

9.若xC(0,1),则下列结论正确的是()

11

A.2x>X2>lgxB.2x>lgx>X2

C.xz>2x>lgxD.1gx>xz>2x

【答案】A

i

【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y=x5,y=lgx的图象,

1

如图所示.由图可知，当XG(O,1)时,2'〉x5>lgx.

10.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化

时间t（单位:月）的近似函数关系:y=al（t20,a>0,且a#1）.有以下叙述:

①第4个月时，剩留量会低于巳;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为

=所经过的时间分别是tbt2,t3,则t1+t2=t3.

248

其中所有正确的叙述是.

【答案】①③

【解析】由图象可得,当t=2时,y5即a胃

解得a=|.故y=（§.

所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=（|）4=^<1，所以①正确；

第一个月的减少量为1-g）1=|；

第二个月的减少量为|-停）=9,显然两者不同，所以②错误；

3\3/9

③由已知（I）：1,$=%（产”斤以（|广+卜=（|广x（ir

即（|广+t2=（|广，所以ti+t2=t；j）故③正确.

11.每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模

的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,

有两种方案如下：

方案一:每年植树1万平方米；

方案二:每年树木面积比上年增加9%.

你觉得哪个方案较好？

【答案】见解析

【解析】（方案一）5年后树木面积是10+1X5=15（万平方米）.

（方案二）5年后树木面积是10（1+9%）5-15.386（万平方米后5.386〉15,.,.方案

二较好.

素养达成

12.画出函数f(x)=点与函数g(x)=¥-2的图象，并比较两者在［0,+8)上的大

小关系.

【答案】见解析

【解析】函数f(x)与g(x)的图象如下.

根据图象易得：当0Wx<4时,f(x)>g(x);

当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).

《4.4.3不同增长函数的差异》同步练习二

一、选择题

1.有一组实验数据如下表所示：

X12345

y1.55.913.424.137

下列所给函数模型较适合的是()

A.y=logajr(a>l)B.y=ax+b{a>\}

C.y=a/+Z>(a>0)D.y=logax+Z?(a>l)

2.若xe((),l),则下列结论正确的是()

A・2X>>\gxB.2X>\gx>

I1

C・>2r>1gxD.\gx>>2X

3.三个变量弘，％，为随着变量x的变化情况如表：

X1357911

必5135625171536356655

必529245218919685177149

%56.106.616.957.207.40

则与“呈对数型函数、指数型函数、幕函数型函数变化的变量依次是()

A.%，%,必B.%wy3

C.%，％”D.%，“，y2

4.下面对函数f(x)=log]x,g(x)=—与力(x)=芯二在区间(0,十8)上的

衰减情况说法正确的是()

A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，/?(x)衰减速度越来越慢

B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，力(x)衰减速度越来越快

C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，力(x)衰减速度越来越慢

D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，力(x)衰减速度越来越快

5.四人赛跑,假设他们跑过的路程£5)(其中/G{1,2,3,4})和时间x(x>l)的

函数关系分别是£(x)=系，£(x)=4x,E(x)=log2X,£(x)=2",如果他们一直

跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()

A.fx(yr)=/B.f2{x}=4AC.4(A)=log2AD.£(x)=2"

6.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的y倍，

需经过x年，则函数>=/(力的图象大致为

二、填空题

7.函数y=*与函数y=xlnx在区间(0,+8)上增长较快的一个是

8.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显

示的图象如图所示.现给出下列说法:

小七)

f(min)

①前5min温度增加的速度越来越快;②前5min温度增加的速度越来越慢;③5min

以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变.

其中正确的说法是.（填序号）

9.据报道，青海湖水在最近50年内减少了10队如果按此规律，设2013年的

湖水量为例从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是.

10.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净

化时间寅月）的近似函数关系：y=a,（t》0,a>0且aWl）的图象.有以下叙述:

①第4个月时，剩留量就会低于，

②每月减少的有害物质量都相等；

③若剩留量为;，卜加，所经过的时间分别是。，…,则…气

其中所有正确叙述的序号是.

三、解答题

11.函数/■（x）=L-，g（x）=lnx+l,力（x）=g的图象如图所示，试分别指出

各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异（以1,a,b,c,d,e为分界点）.

12.每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活

动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种

方案如下：

方案一：每年植树1万平方米；

方案二：每年树木面积比上一年增加9%.

哪个方案较好？

4.4.3不同增长函数的差异答案解析

一、选择题

1.有一组实验数据如下表所示:

X12345

y1.55.913.424.137

下列所给函数模型较适合的是（）

A.y=loga%（a>l）B.y=ax+b（a>l）

C.y=+b{a>（S）D.log“x+8（a〉l）

【答案】C

【解析】通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而4〃中的函

数增长速度越来越慢，而8中的函数增长速度保持不变，故选C

2.若x€（0』），则下列结论正确的是（）

A-2、>R>lgxB-2'>lgx>/

II

C-->2*>lgxD-lgx>%2>2'

【答案】A

【解析】如图所示，结合y=2，，y=）及y=lgx的图象易知，当xe（O,l）时,

2，〉）>lgx，本题选择A选项•

3.三个变量必，y2,乃随着变量x的变化情况如表:

X1357911

%5135625171536356655

%529245218919685177149

%56.106.616.957.207.40

则与x呈对数型函数、指数型函数、基函数型函数变化的变量依次是()

A.%，%,%B.y2,%，先

C.必，如弘D.%，“，必

【答案】C

【解析】由指数函数、对数函数、基函数的增长速率比较，指数函数增长最快,

对数函数增长最慢，由题中表格可知，X是基函数，乂是指数函数，为是对数

函数，故选C。

4.下面对函数f(x)=log%,g(x)=[与力(x)=%程在区间(0,+8)上的

£L,

衰减情况说法正确的是(

A.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越快,h(公衰减速度越来越慢

B.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越慢,力(x)衰减速度越来越快

C.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢,力(x)衰减速度越来越慢

D.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越快,力(x)衰减速度越来越快

【答案】c

【解析】画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C.因为三个函数都是下凸

函数。选C.

【点睛】当图像是一条直线的减函数时，是匀减速函数。当图像为上凸的增函数

时减小速度是越来越快的。当图像为下凸的减函数时(如本题)减小速度是越来

越慢的。

5.四人赛跑，假设他们跑过的路程£(x)(其中fe{l,2,3,4})和时间x(x>l)的

函数关系分别是£(*)=/,△(x)=4x,£(x)=log2X,工(数=2",如果他们一直

跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()

A.£(x)=*B.£(x)=4xC.(%)=log2^D.£(x)=2*

【答案】D

【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具