高中数学 2.5.2 离散型随机变量的方差同步练习 北师大版选修2-3

第2课时离散型随机变量的方差eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．下面关于离散型随机变量的期望方差的叙述不正确的是 ()．A．期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值的集中与离散的程度B．离散型随机变量的期望和方差都是一个数值，它们不随试验结果而变化C．离散型随机变量的数学期望是区间[0,1]上的一个数D．离散型随机变量的方差是非负的答案C2．设随机变量X～B(n，p)，且EX＝1.6，DX＝1.28，则 ()．A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析∵X～B(n，p)∴EX＝np＝1.6，DX＝np(1－p)＝1.28∴1.6(1－p)＝1.28，∴p＝0.2，n＝eq\f(1.6,0.2)＝8.答案A3．已知随机变量X的分布列如表所示：X135P0.40.1x则X的方差为 ()．A．3.56 B.eq\r(3.56)C．3.2 D.eq\r(3.2)解析由分布列的性质，知0.4＋0.1＋x＝1，∴x＝0.5，∴EX＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴DX＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.故选A.答案A4．设随机变量ξ服从二项分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，则Dξ的值为________．解析Dξ＝4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,9).答案eq\f(8,9)5．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝eq\f(1,3)，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)＝________.解析Eξ＝(1＋2＋3)×eq\f(1,3)＝2，Dξ＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，所以D(3ξ＋5)＝9Dξ＝6.答案66．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,n)(k＝1,2，…，n)，求DX.解法一EX＝1×eq\f(1,n)＋2×eq\f(1,n)＋…＋n×eq\f(1,n)＝eq\f(nn＋1,2)×eq\f(1,n)＝eq\f(n＋1,2)，∴DX＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n＋1,2)))2·eq\f(1,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(n＋1,2)))2·eq\f(1,n)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(n＋1,2)))·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋22＋…＋n2－n＋11＋2＋…＋n＋\f(n＋12,4)·n))＝eq\f(n2－1,12).法二EX＝eq\f(1,n)(1＋2＋…＋n)＝eq\f(n＋1,2)，DX＝EX2－(EX)2＝eq\f(1,n)(12＋22＋…＋n2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)))2＝eq\f(n2－1,12).eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．已知随机变量X～B(10,0.2)，Y＝2X＋3，则EY，DY的值 ()．A．4,1.6 B．7,0.8C．7,6.4 D．4,0.8解析∵X～B(10,0.2)，∴EX＝10×0.2＝2，DX＝10×0.2×(1－0.2)＝1.6.∵Y＝2X＋3∴EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3＝2×2＋3＝7，DY＝D(2X＋3)＝4DX＝6.4.故选C.答案C8．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知EX＝eq\f(4,3)，DX＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为 ()．A.eq\f(5,3) B.eq\f(7,3)C．3 D.eq\f(11,3)解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1·\f(2,3)＋x2·\f(1,3)＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2·\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2·\f(1,3)＝\f(2,9)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＋x2＝4，,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2＝\f(2,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2.))又∵x1<x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))∴x1＋x2＝3.故选C.答案C9．随机变量X的分布列为X01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10)则EX＝1.1，则DX＝________.解析p＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋\f(3,10)))＝eq\f(1,2).EX＝1.1＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋eq\f(3,10)x，解得x＝2，∴DX＝(0－1.1)2×eq\f(1,5)＋(1－1.1)2×eq\f(1,2)＋(2－1.1)2×eq\f(3,10)＝0.49.答案0.4910．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________．解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则Eξ＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.答案211．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，用X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值．解(1)X的分布列为X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴EX＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5；DX＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(EY＝aEX＋b＝1，,DY＝a2DX＝11，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.5a＋b＝1，,2.75a2＝11，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2.))即所求值为a＝－2，b＝4或a＝2，b＝－2.12．(创新拓展)若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数．(1)求方差DX的最大值；(2)求eq\f(2DX－1,EX)的最大值．解随机变量X的所有可能的取值是0,1，并且有P(X＝1)＝p、P(X＝0)＝1－p.从而EX＝0×(1－p)＋1×p＝p，DX＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p－p2.(1)DX＝p－p2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4).∵0<p<1，∴当p＝eq\f(1,2)时，DX取最大值，最大值是eq\f(1,4).(2)eq\f(2DX－1