高中数学 5.1.2 类比规范训练 湘教版选修1-2

5.1.2类比eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适()．A．三角形 B．梯形C．平行四边形 D．矩形答案C2．给出下面四个类比结论①实数a，b，若ab＝0则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0②实数a，b，有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；类比向量a，b，有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2③实数a，有|a|2＝a2，类比向量a，有|a|2＝a2④实数a，b有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b有a2＋b2＝0，则a＝b＝0其中类比结论正确的命题个数为()．A．0 B．1C．2 D．3解析①错，②③④正确．答案D3．三角形的面积S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r，其中a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理；可以得出四面体的体积为()．A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)rD．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h答案C4．如图(1)有面积关系eq\f(S△PA1B1,S△PAB)＝eq\f(PA1·PB1,PA·PB)，则图(2)有体积关系eq\f(VP－A1B1C1,VP－ABC)＝________.答案eq\f(PA1·PB1·PC1,PA·PB·PC)5．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结论为________．解析平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论．答案三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积6．如图，在三棱锥SABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．解在△DEF中(如图)，由正弦定理得eq\f(d,sinD)＝eq\f(e,sinE)＝eq\f(f,sinF).于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体SABC中，我们猜想eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)成立．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d≠0，则有a4a6＞a3a在等比数列{bn}中，若bn＞0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是()．A．b5b7＞b4b8 B．b7b8＞b4b5C．b5＋b7＜b4＋b8 D．b7＋b8＜b4＋b5答案C8．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比得到的结论正确的个数是()．A．0 B．1C．2 D．3解析①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1>0，但复数a与b不能比较大小．答案C9．已知等差数列{an}中，有eq\f(a11＋a12＋…＋a20,10)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a30,30)，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论________．解析由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30).答案eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30)10．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B面体对应性质的猜想________．解如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1.于是把结论类比到四面体P­A′B′C′中，我们猜想，三棱锥P­A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PA′C′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α、β、γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.答案三棱锥P­A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PA′C′两两互相垂直，且分别与底面所成角为α、β、γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.11．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则有如下性质：①通项：an＝am＋(n－m)d；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N*)；③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m、n、p∈N*)；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假．解在等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以得到：①通项：bn＝bm·qn－m(真命题)；②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq(m，n，p，q∈N*)(真命题)；③若m＋n＝2p，则bm·bn＝beq\o\al(2,p)(m，n，p∈N*)(真命题)；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列(真命题)．12．(创新拓展)(·福建)设V为全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质p.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.分析映射①②③是否具有性质p.解a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)．对于①，f1(m)＝x－y∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)．而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．∴①具有性质p.对于②，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，而λf(a)＋(1－λ)b＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)．又λ∈R，∴f(λa＋(1－λ)b)≠λf(a)＋(1－λ)f(b)，故②不具有性质p.对于③，f3(m)＝x＋y＋1，f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋