2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-2 .3 两条直线的位置关系

2.3两条直线的位置关系

2.3.1两条直线平行与垂直的判定

基础过关练

题组一两直线平行

1.(2022福建厦门一中期末)已知直线h：x+my+7=0和L：(m-2)x+3y+2m=0互相平行,

则实数m=()

A.-3B.-1

C.-1或3D.1或-3

2.(2022天津静海一中月考)已知人5,3)](2111,111+4),。＞+1,2)。(1,0),且直线人8与

CD平行，则m的值为()

A.-lB.0

C.lD.0或1

3.(2022河北张家口期末)关于x,y的方程组乃:族,*6没有实数解，则

a=.

4.(2022湖南沅陵一中月考)与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为

I的直线的方程为

题组二两直线垂直

5.(2022湖南临澧一中期中)已知直线(a+2)x+y+8=0与直线(2a-l)x-(a+2)y-7=0垂直,

则a=()

A.-3+V6B.0或-2

1

C.1或-2D4或-2

6.(2022湖南邵东一中月考)已知直线h：y=Jx-l,12：y=k2x-2,则“k=2”是

4

的(》

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.(2022湖南益阳箴言中学期末)已知直线1经过点(2,-3),且与直线2x-y-5=0垂直，

则直线1在y轴上的截距为()

A.-4B.-2C.2D.4

8.直线1］过点A(m,l)和点B(-l,m),直线L过点C(m+n,n+l)和点D(n+l,n-m),则直线

h与b的位置关系是.

题组三两直线平行与垂直的应用

9.在平面直角坐标系中，以0(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各项中

不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是()

A.(-3,l)B.(4,l)

C.(-2,l)D.(2,-l)

10.已知AABC的三个顶点分别是A(2,2+2V2),B(0,2-2V2),C(4,2),pliJAABC

是.(填”直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”)

11.已知在平行四边形ABCD中,A(l,2),B(5,0),C(3,4).

⑴求点D的坐标；

(2)试判断平行四边形ABCD是不是菱形.

能力提升练

题组两直线平行与垂直的应用

1.(2022湖南双峰一中月考)已知A(l,2),B(-l,0),C(2,-l),若存在一点D满足CD，AB,

且CB〃AD,则点D的坐标为()

A.(-2,-3)B.(2,-3)

C.(2,3)D.(-2,3)

2.(多选)(2022湖南长郡中学期中)若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面结论中正

确的是()

A.AB〃CDB.AB1AD

C.|AC|=|BD|D.AC/7BD

3.(多选)(2021山东新泰中学月考)已知直线l:(a2+a+l)x-y+l=0,其中a£R,下列说法

正确的是()

A.当a=-l时，直线1与直线x+y=0垂直

B.若直线1与直线x-y=0平行，则a=0

C.直线I过定点(0,1)

D.当a=0时，直线1在两坐标轴上的截距相等

4.(2022河南洛阳期末)已知点A(2,0)与点B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称，则a,b的

值分别为()

13

A.1,3

C.-2,0D.1然5

5.(2022湖南邵东一中月考)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、

垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条

直线被后人称为三角形的欧拉线，已知4ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则

△ABC的欧拉线方程为()

A.x-2y+3=0B.2x+y-3=0

C.x-2y-3=0D.2x-y-3=0

6.已知四边形MNPQ的顶点M(l,l),N(3,-l),P(4,0),Q(2,2),则四边形MNPQ的形状

为.

7.已知直线li：x+3y-5=0,L：3kx-y+l=0.若h上与两坐标轴围成的四边形有一个外接

圆，则k=.

8.(2021重庆八中月考)一条光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反

射后与y轴交于点H.

(1)求反射光线QH所在直线的方程；

(2)求点P关于直线QH的对称点P的坐标.

9.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD为5m,

宽AB为3m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问能否在BC上找到一点

M,使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直？

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.C由题意，直线li：x+my+7=0和L:(m-2)x+3y+2m=0互相平行，可得

lx3-m(m-2)=0且2m2-7x3W0,即m2-2m-3=0且nr2#未解得m=-l或m=3.故选C.

2.D当直线AB与CD的斜率不存在，即m=0时，直线AB的方程为x=0,直线CD

的方程为x=l,显然AB〃CD,满足题意；

当直线AB与CD的斜率存在，即m#0时，直线AB的斜率直线D

2m-mmC

的斜率因为直线AB与CD平行，所以k尸k2,即竺解得m=l或

l-(m+l)-mmmm

m=0(舍)，当m=l时，直线AB的方程为y=2x+l,直线CD的方程为y=2x-2,显然

AB〃CD,满足题意.

综上所述,m=0或m=l.故选D.

3.答案-4

解析依题意，得直线2x-ay+l=0与直线x+2y-l=0平行，且aWO,所以解得a=-4.

a2

4.答案2x+3y-l=0

解析设所求直线方程为2x+3y+c=0(c#5).令x=0,得y三;令y=0,得x=-j,

,.所求直线的方程为2x+3y-l=0.

5.C由题意得(a+2)(2a-l)-(a+2)=0,整理得(a+2)(a-l)=0,解得a=-2或a=l.故选C.

6.A当k=2时，直线b:y=4x-2,因为(1)x4=1,所以h_1_卜,充分性成立;当hJ_L时，

因为直线11的斜率存在,且不为0,所以(1)xk2=-l,解得k=±2,必要性不成立，所以

“k=2”是“1山2”的充分不必要条件.故选A.

7.B易知2x-y-5=0的斜率为2,故直线1的斜率为。根据点斜式可得直线1的方程

为y-(-3)=*x-2),整理得y=-；x-2,故直线1在y轴上的截距为-2,故选B.

8.答案垂直

解析①当m=l时，直线h过点A(l,l)和点直线L过点C(l+n,n+l)和点

D(n+l,n-l).此时直线11的斜率ki=O,直线12的斜率不存在，因此11±12；

②当m=-l时，直线11过点A(-l,l)和点直线L过点C(-l+n,n+l)和点

D(n+l,n+l).

此时直线11的斜率不存在，直线12的斜率k2=0,因此h_L12；

③当mW±l时，直线h的斜率k尸晅，直线12的斜率卜2=史.此时ki-k2=-l,.\li±12.

-1-m1-m

综上可知，直线11与12的位置关系是垂直.

9.A由题意得,koA=l,kAB=」,koB=0.

2

设第四个顶点为C,当点C的坐标为(-3,1)时,koc=T"kAB,所以四边形OBAC不是

平行四边形;当点C的坐标为(4,1)时,kAC=0=k0B,kBc=l=koA,所以四边形OBCA是平

行四边形,同理可验证点C的坐标为(2D或(2,-1)时，满足题意.故选A.

10.答案直角三角形

解析因为AB边所在直线的斜率kAB=2-2,：：\二2廖CB边所在直线的斜率

皿上空竺:±AC边所在直线的斜率kAc=3至=-VX所以kcB-kAC=l,所以

0-424-2

CB_LAC,所以4ABC是直角三角形.

11.解析⑴设D(a,b),V四边形ABCD为平行四边形,，kAB=kcD,kAD=kBC,

/0-2_b-4

•••巨〔塞'解得1,6).

9・13-5’

(2)VkAc=—=l,kBD=—=-l,/.kAc-kBD=-l,，ACJ_BD,...平行四边形ABCD为菱

形.

能力提升练

1.D设D(x,y),由CD_LAB,且CB〃AD,知kCD•kAB=-1,kCB=kAD,

'y-(-i).0-2二]

则王，解得i二/

、2-(-l)-x-1'

所以D(-2,3).故选D.

2.ABCk=—=--,k=—C不在直线AB上,AB〃CD,故A正确；

AB6+45CD2-125

XVkD=—=-,/.kAB-B正确；

A2+43

•.•前=(16,4),丽=(-4,16),

...|AC|=4g,|BD|=4g,.\|AC|=|BD|,故C正确;

XVkc=—=£,kD=—=-4,.,.kc•kBD=-l,，AC_LBD,故D错误.故选ABC.

A12+44B2-6A

3.AC对于A,当a=-l时，直线1的方程为x-y+l=0,显然与直线x+y=0垂直，所以A

正确；

对于B,若直线1与直线x-y=0平行，则(a?+a+l)•(-l)=lx(-l),解得a=0或a=-l,所以

B不正确；

对于C,当x=0时，,y=l,所以直线过定点(0,1),所以C正确；

对于D,当a=0时直线1的方程为x-y+l=0,在x轴、y轴上的截距分别是-1,1,所以

D不正确.故选AC.

4.B若点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则直线AB与直线

0—2

ax+y+b=0垂直，直线ax+y+b=0的斜率是-a,所以(-a)•(-2)=-1,解得a=-；.线段AB的

中点(1,2)在直线ax+y+b=0上，则a+2+b=0,解得b=-：,故选B.

5.D根据题意,得线段AB的中点为M(2,l),kAB=-；,...线段AB的垂直平分线方程

为y-l=2(x-2),即2x-y-3=0.V|AC|=|BC|,/.AABC的外心、重心、垂心都位于线段

AB的垂直平分线上,.'.△ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0,故选D.

6.答案矩形

解析•.•kMN=H3=-l,kpQ=匕b-l,且P不在直线MN上,...MN〃PQ.

1—32—4

又kMQ=—=1,kNP上S=1,

2—14—3

且N不在直线MQ上,...MQ〃NP,

四边形MNPQ为平行四边形.

又；kMN・kMQ=-l,，MN_LMQ,

平行四边形MNPQ为矩形.

7.答案±1

解析如图所示，直线h：x+3y-5=0分别交x轴、y轴于A,B两点，直线L：3kx-y+l=0

过定点C(O,1).

由点C在线段OB上知h±li或b与x轴交于D点，且NBCD+NBAD=180。.

①由h_LL知,lx3k+3x(-l)=0,解得k=l.

②由NBCD+NBAD=180。得,NBAD=NOCD.

设直线h的倾斜角为ai,L的倾斜角为a2,则ai=180°-ZBAD,a2=90°+ZOCD,

ooooo

.,.ai=180-ZBAD=180-ZOCD=180-(a2-90)^ai=270-a2=>tan

(q

ai=tan(270°-a2)=t