【青松雪】中考数学几何模型【模型01】截长补短

初中数学（北师大版）中考数学几何模型模型01：截长补短主讲人：王建林【模型介绍】【引例】如图，在△ABC

中，AD

平分∠BAC

交

BC

于

D，∠B=2∠C．

求证：AC=AB+BD．【思考1】如何在图中出现

AB+BD的线段呢？【思路1】延长

AB到点

E，使

BE=BD，并说明

AE=AC；【思路2】延长

AB到点

E，使

AE=AC，并说明

BE=BD．【思路3】延长

DB到点

E，使

BE=AB，并说明

DE=AC．“补短”【模型介绍】【引例】如图，在△ABC

中，AD

平分∠BAC

交

BC

于

D，∠B=2∠C．

求证：AC=AB+BD．【思考2】将结论转化为

AC-AB=BD，图中如何

出现

AC-AB的线段呢？【思路4】在

AC

上截取

AE=AB，并说明

EC=BD．这类几何题目主要是证明三条线段长度的“和、差、倍、分”的数量关系．我们一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解，即“截长补短”法．“截长”【方法小结】“截长补短”，主要应用于研究线段的和、差、倍、分关系。“补短”法

目的：构造线段的和，将分散线段集中到一条线段上。

思路：短中延长，构造全等，转化线段。“截长”法

目的：构造线段的差，将分散线段集中到一条线段上。

思路：长中截短，构造全等，转化线段。【典型例题】【例1】如图，在△ABC

中，∠ABC=60°，AD、CE

平分∠BAC、∠ACB．(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC=AE+CD．【典型例题】【例2】如图，在四边形

ABCD中，AB//

CD，AE平分∠BAD，DE平分

∠ADC，且点

E在

BC边上．求证：(1)AE⊥DE；(2)AD=AB+CD．【例3】如图，正方形

ABCD

中，点

E

在

BC

上移动，FA

平分∠DAE，

AF

交

CD

于

F，连接

EF．(1)求证：BE+DF=AE；(2)当

DF=CF时，探究AE、AD、EC

的数量关系．【典型例题】【例4】四边形

ABCD

是正方形，且∠EAF=45°．(1)如图1，当

E、F分

别在边

BC、CD

上时，连接

EF，

请说明：EF=BE+DF；(2)如图2，当

E、F分别在

CB、DC

的延长线上时，连接

EF，试探究

线段

EF、BE、DF

之间的数量关系，并说明理由．【典型例题】【半角旋转模型】【典型例题】【例5】如图，已知

BN平分∠ABC，P为

BN上一点，且

PD⊥BC于点

D，

∠BAP+∠BCP=180°，请说明：AB+BC=2BD．【邻等对补模型】【例6】如图，在

Rt△ABC

中，AC=BC，AD

平分∠BAC

交

BC

于点

D，

CE⊥AD

交

AD

于点

F，交

AB

于点

E，求证：AD=2DF+CE．【典型例题】【课堂小结】“截长补短”，主要应用于研究线段的和、差、倍、分关系。“补短”法

目的：构造线段的和，将分散线段集中到一条线段上。

思路：短中延长，构造全等，转化线段。“截长”法

目的：构造线段的差，将分散线段集中到一条线段上。

思路：长中截短，构造全等，转化线段。【变式练习】【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且

AC=AB+BD，

求∠ABC的度数．【变式2】

如图，在四边形

ABCD中，AB//DC，E为

BC边的中点，∠BAE=∠EAF，

AF与

DC的延长线相交于点

F，试探究线段

AB与AF，CF之间的数量关系，并证明

你的结论．【变式练习】【变式3】如图，已知△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，

以

D为顶点作∠NDM，使∠NDM=60°，其两边分别交

AB、AC边于

M、N两点，

连接

MN，试探究

BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．【变式4】

如图，在▱ABCD中，E是

BC边的中点，连接

AE，F为

CD边上一点，

且满足∠DFA=2∠BAE．(1)若∠D=105°，∠DAF=35°，求∠FAE的度数；(2)求证：AF=CD+CF．【变式练习】【变式5】如图，在四边形

ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，

BD交于点

E．(1)若BC=CD=2，M为线段

AC上一点，且AM:CM=1

:2，连接

BM，求点

C到

BM

的距离．(2)证明：BC+CD=AC．【变式6】如图，在正方形

ABCD中，点

P是

AB的中点，连接

DP，过点

B作BE⊥DP

交

DP的延长线于点

E，连接

AE，过点

A作

AF⊥AE交

DP于点

F，连接BF．