2024-2025学年新教材高中数学第15章概率章末综合测评含解析苏教版必修第二册

PAGE章末综合测评(七)概率(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．1365石B[因为样品中米内夹谷的比例为eq\f(28,254)，所以这批米内夹谷为1534×eq\f(28,254)≈169(石)．]2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7B[某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事务，所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.]3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参与演讲竞赛，事务“至少有一名女生”与事务“全是男生”()A．是互斥事务，不是对立事务B．是对立事务，不是互斥事务C．既是互斥事务，也是对立事务D．既不是互斥事务也不是对立事务C[“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种状况，这两种状况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事务，也是对立事务．]4．抛掷一颗质地匀称的骰子，视察掷出的点数，设事务A为“出现奇数点”，事务B为“出现2点”，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，则“出现奇数点或2点”的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)D[∵“出现奇数点”与“出现2点”两事务互斥，∴P＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).]5．2024年暑假里，甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行巡游，每个景点参观1小时，则最终1小时他们同在一个景点的概率是()A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,9)C．eq\f(5,36) D．eq\f(1,6)D[最终一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以选D．]6．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为()A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65B[由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10,40)的频率为eq\f(9,20)＝0.45.]7．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)B[两名同学分3本不同的书，试验的样本空间为Ω＝{(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a)，(2,1b)，(2,1c)，(3,0)}，共8个样本点，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).]8．端午节放假，甲回老家过节的概率为eq\f(1,3)，乙、丙回老家过节的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为()A．eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,60)B[“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事务A，B，C，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,5)，所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,4)，P(eq\x\to(C))＝eq\f(4,5).由题知A，B，C为相互独立事务，所以三人都不回老家过节的概率P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(C))＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．甲、乙两人做嬉戏，下列嬉戏中公允的是()A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜ACD[对于A、C、D甲胜，乙胜的概率都是eq\f(1,2)，嬉戏是公允的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，嬉戏不公允．故选ACD．]10．在一次随机试验中，彼此互斥的事务A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法错误的是()A．A＋B与C是互斥事务，也是对立事务B．B＋C与D是互斥事务，也是对立事务C．A＋C与B＋D是互斥事务，但不是对立事务D．A与B＋C＋D是互斥事务，也是对立事务ABC[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必定事务，故其事务的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事务与其余3个事务的和事务必定是对立事务，任何两个事务的和事务与其余两个事务的和事务也是对立事务，故选ABC．]11.给出下列四个命题，其中属于假命题的是()A．有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是eq\f(3,7)C．某箱内有十张标有数字0到9的卡片，任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是eq\f(2,5)D．随机事务发生的频率就是这个随机事务发生的概率ABD[A错，不肯定是10件次品；B错，eq\f(3,7)是频率而非概率；对于C，数字不小于6有6,7,8,9共4个样本点，而试验空间中样本点的总数为10，故P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).所以C正确；D错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．]12．已知：随机事务A发生的概率为P(A)＝0.4，则下列说法正确的是()A．若P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝0.3B．若A，B为互斥事务，P(A＋B)＝0.7,P(B)＝0.3C．若P(A)＝0.4，P(AB)＝0.24，则P(B)＝0.6D．若A，B为相互独立事务，P(A)＝0.4，P(Aeq\x\to(B))＝0.24，则A、B中最多一个发生的概率为0.84BD[∵A，B为互斥事务，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，∴P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.所以A错误，B正确；对于C，只有A，B为相互独立事务，结论才成立，所以C错误；对于D，∵A，B为相互独立事务，∴A、eq\x\to(B)为相互独立事务，因为P(A)＝0.4，P(Aeq\x\to(B))＝0.24，所以P(Aeq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))，所以P(eq\x\to(B))＝0.6，由对立事务的概率公式得P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－0.6＝0.4，事务D“A、B中最多一个发生”的对立事务eq\x\to(D)为“A、B同时发生”，所以P(D)＝1－P(eq\x\to(D))＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.16＝0.84，所以D正确．故选BD]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为_______．eq\f(1,360)[当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不行能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种状况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P＝eq\f(4,24×60)＝eq\f(1,360).]14．设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个基本领件(a，b)．记“这些基本领件中，满意logba≥1”为事务E，则E发生的概率是________．eq\f(5,12)[试验发生包含的事务是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满意条件的事务是满意logba≥1，可以列举出全部的事务，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有3＋2＝5个，∴依据古典概型的概率公式得E发生的概率是eq\f(5,12).]15．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的状况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次．(1)估计从袋中随意摸出一个球，恰好是红球的概率是________；(2)请你估计袋中红球接近________个．eq\f(3,4)；15[(1)∵20×400＝8000，∴摸到红球的概率为：eq\f(6000,8000)＝0.75，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中随意摸出一个球，恰好是红球的概率是eq\f(3,4)；(2)设袋中红球有x个，依据题意得：eq\f(x,x＋5)＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．∴估计袋中红球接近15个．]16．将号码分别为1,2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中一次摸出两个球，其号码为x，y，则使不等式x＋y＞14成立的事务A发生的概率等于________．乙从今袋中先后摸出两只球，第一次摸出的球号码为a；放回后，再从今袋中再摸出一个球，号码为b，则使不等式a＋b＞14成立的事务B发生的概率等于________．eq\f(1,9)eq\f(10,81)[甲从袋中一次摸出两个球，其样本空间为Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(7,8)，(7,9)，(8,9)}；共有8＋7＋6＋…＋2＋1＝36个样本点，使不等式x＋y＞14成立的事务A＝{(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)}，所以该事务发生的概率为P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9)；乙从今袋中先后摸出两只球，其样本空间为Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(9,7)，(9,8)，(9,9)}，共81个样本点．使不等式a＋b＞14成立的事务B＝{(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,7)，(8,8)，(8,9)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)}，所以该事务发生的概率为P(B)＝eq\f(10,81).]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事务A为“只订甲报纸”，事务B为“至少订一种报纸”，事务C为“至多订一种报纸”，事务D为“不订甲报纸”，事务E为“一种报纸也不订”．推断下列每对事务是不是互斥事务；假如是，再推断它们是不是对立事务．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.[解](1)由于事务C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事务A与事务C有可能同时发生，故A与C不是互斥事务．(2)事务B“至少订一种报纸”与事务E“一种报纸也不订”是不行能同时发生的，故B与E是互斥事务．由于事务B不发生可导致事务E肯定发生，且事务E不发生会导致事务B肯定发生，故B与E还是对立事务．(3)事务B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事务C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事务可能同时发生，故B与C不是互斥事务．(4)由(3)的分析，事务E“一种报纸也不订”是事务C的一种可能，即事务C与事务E有可能同时发生，故C与E不是互斥事务．18．(本小题满分12分)某同学参与科普学问竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．[解]记“这名同学答对第i个问题”为事务Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P1＝P(A1eq\x\to(A)2A3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率为：P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.19．(本小题满分12分)随机抽取一个年份，对南京市该年4月份的天气状况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计南京市在该天不下雨的概率；(2)南京市某学校拟从4月份的一个晴天起先实行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．[解](1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，南京市不下雨的概率为P＝eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为eq\f(7,8)，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为eq\f(7,8).20．(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参与一场歌颂竞赛，由500名大众评委现场投票确定歌手名次，依据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干名大众评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．[解](1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的全部结果为由以上树状图知样本点共18个，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4个，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).21．(本小题满分12分)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成果抽样统计如下表：若抽取学生n人，成果分为A(优秀)，B(良好)，C(及格)三个等级，设x，y分别表示数学成果与物理成果，例如：表中物理成果为A等级的共有14＋40＋10＝64人，数学成果为B等级且物理成果为C等级的共有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07.(1)设在该样本中，数学成果的优秀率是30%，求a，b的值；(2)已知a≥7，b≥6，求数学成果为A等级的人数比C等级的人数多的概率．[解](1)由题意知eq\f(14,n)＝0.07，解得n＝200，∴eq\f(14＋a＋28,200)×100%＝30%，解得a＝18，易知a＋b＝30，所以b＝12.(2)由14＋a＋28>10＋b＋34得a>b＋2，又a＋b＝30且a≥7，b≥6，试验的样本空间为Ω＝{(7,23)，(8,22)，(9,21)，…，(24,6)}，共18个样本点，而a>b＋2包含