2024秋高中数学第二章平面解析几何测评试题一新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE3其次章测评(一)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+yA.相交 B.相切C.相离 D.不确定2.假如方程x2a2+y2a+6A.(3,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(3,+∞)D.(-6,-2)∪(3,+∞)3.(2024贵州贵阳模拟)已知椭圆C:x2m+y24=1(m>4)的离心率为A.6 B.6 C.26 D.124.已知点M(3,y0)是抛物线y2=2px(0<p<6)上一点,且M到抛物线焦点的距离是M到直线x=p2的距离的2倍,则p等于(A.1 B.2 C.32 D.5.(2024山西运城一模)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为A.52 B.2或C.5 D.56.(2024吉林长春月考)已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,N是x轴上点F右侧一点,若以FN为始边,FM为终边的角∠NFM=60°,则|FM|等于()A.2 B.433 C.23 D7.(2024安徽合肥期中)19世纪法国闻名数学家加斯帕尔·蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发展.提出了闻名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线相互垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根.若圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在椭圆x23+y2=1的蒙日圆上,则b的值为(A.±1 B.±5C.±21 D.±258.(2024河南郑州模拟)已知双曲线D:x2-y2=1,点M在双曲线D上,点N在直线l:y=kx上,l的倾斜角θ∈π4,π2,O为坐标原点,且|ON|2=cos2θ1+cos2θ,双曲线A.3-54 C.3−2 D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2024湖南长沙期中)已知椭圆C的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆C的标准方程可能为()A.x24+B.x29C.x29+D.x2510.(2024广东广州模拟)已知方程x2sinθ-y2sin2θ=1,则()A.存在实数θ,使该方程对应的图形是圆,且圆的面积为4πB.存在实数θ,使该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线C.存在实数θ,使该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线,且双曲线的离心率为2D.存在实数θ,使该方程对应的图形是焦点在x轴上的椭圆,且椭圆的离心率为311.(2024山东滨州一模)已知椭圆M:x225+y220=1的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,AA.|PF1|+|PF2|=5B.直线PA1与直线PA2的斜率之积为-4C.存在点P满意∠F1PF2=90°D.若△F1PF2的面积为45,则点P的横坐标为±512.(2024江苏南通模拟)设A,B是抛物线x2=y上的两点,O是坐标原点,下列结论正确的是()A.若OA⊥OB,则|OA||OB|≥2B.若OA⊥OB,直线AB过定点(1,0)C.若OA⊥OB,点O到直线AB的距离不大于1D.若直线AB过抛物线的焦点F,且|AF|=13,则|BF|=三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知椭圆C:x23+y2=1,过C上一点P(第一象限)的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B.若|PA|=1,则|PB|的值为14.(2024海南三亚三模)双曲线x24−y2b2=1(b>0)的离心率为52,则b=,过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为15.(2024上海徐汇期末)设椭圆x225+y29=1上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为s,则当s16.(2024上海徐汇检测)如图,P为椭圆E1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一动点,过点P作椭圆E2:x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)的两条切线PA,PB,斜率分别为四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的半长轴长与双曲线的半实轴长之差为4,离心率之比为3∶7,求这两条曲线的标准方程.18.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.(1)求p,t的值;(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且OA·OB=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB19.(12分)(2024广东东莞模拟)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF2⊥F1F2,OH⊥PF1,垂足为点H,OH=(1)当λ=13(2)求双曲线的离心率e的取值范围.20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.21.(12分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程;(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.22.(12分)(2024安徽黄山期中)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满意RT=2TQ,记T点的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点A(0,3)斜率为k的直线l与曲线Γ交于M,N两点,摸索究:①设O为坐标原点,若OM·ON=26,这样的直线l是否存在?若存在,求出|MN|②求线段MN的中点D的轨迹方程.其次章测评(一)1.A直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.2.D3.C由题意可知m-4m=33,解得所以椭圆长轴长为26.4.B由抛物线的定义及已知条件可得3+p2=23-p2,又0<p<6,5.A∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为α,且tanα则2tanα21-tan2α2=43,解得tanα2=12或tanα2=-2(6.D如图所示,由题意得焦点坐标F(1,0),准线方程为x=-1,设M的坐标为y24,y,∠NFM=60°,∴y24∴|y|=3y24-1,整理得3y2-4|y|-43解得|y|=23,又∠NFM=60°,∴|FM|=23sin60°7.C由椭圆的定义知,x23+y2=1的蒙日圆r1=3+1所以蒙日圆为x2+y2=4,因为圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在蒙日圆上,所以两圆相切,由已知r2=3,所以22+b2=r1解得b=±21.8.D由题意,不妨设M(x0,y0)在第一象限,则双曲线D在M处的切线方程为x0x-y0y=1,所以k=x0y0,又因为联立k=x0y0,x02-因为|ON|2=cos2θ1+cos2θ,所以|ON|=cos2θ1+cos令t=k2-1,则k2=t+1,因为θ∈π4,π2所以t>0,S△OMN=12tt2+5t+6=121t+9.AC由题可得2a=6,2b=4,则a2=9,b2=4,故椭圆的标准方程可能为x29+y24=10.CD对于A,若存在,只需sinθ=-sin2θ>0,即sinθ=-2sinθcosθ>0,得cosθ=-12,所以sinθ=32,方程即为x2+y2=233,圆的半径满意r2=233,故圆面积为πr2=π×对于B,令sinθ=0,则有sin2θ=2sinθcosθ=0,方程化为0=1,明显不成立,故B错误;对于C,取sinθ=sin2θ>0,由题可知,sinθ≠0,所以cosθ=12,取θ=π3,则方程为x2233−y223对于D,将方程化为标准形式为x21sinθ+y2-1sin2θ=1,故a2=1sinθ>0,b2=-1sin2整理得1+2cosθ2sinθcosθ2cosθ2sinθcosθ=1+12cosθ=13,解得cosθ=-34,又由上述三个不等式知sinθ>11.BD由椭圆方程可得:a=5,c=5,则F1(-5,0),F2(5,0),A1(-5,0),A2(5,0),由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,故A错误;设点P的坐标为(m,n),则m225+n220=1,即n2=则kP所以kPA1kPA2PF1=(-5-m,-n),PF2=(5若∠F1PF2=90°,则PF1·PF2=m2又n2=45(25-m2),联立可得15m2+15=0,方程无解,故CS△PF1F2=12|F1F2||yP|=12解得yP=±4,代入椭圆方程可得xP=±5,故D正确.12.ACD对于A,设A(x1,x12),B(x2,x∵OA⊥OB,∴OA·OB=0,∴x1x2+(x1x2)2∴x1x2(1+x1x2)=0,∴x2=-1x∴|OA||OB|=x12(1+x12)1x121+对于B,若OA⊥OB,明显直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,联立方程y=kx+m,y=设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=k,x1x2=-m,∴y1y2=x12x22=(x1x2∵OA⊥OB,∴OA·OB=0,∴x1x2+y1y2∴-m+m2=0,∴m=0或m=1,易知直线AB不过原点,∴m=1,∴直线AB的方程为y=kx+1,恒过定点(0,1),故B错误;∴点O到直线AB的距离d=11+∵k2≥0,∴k2+1≥1,∴d≤1,故C正确;对于D,直线AB过抛物线的焦点F0,14,设直线AB的方程为联立方程y=kx+14,x2=设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点A在y轴右侧,∴x1+x2=k,x1x2=-14∴|AF|=y1+14=13,∴y1=112,∴∴x2=-14x1=-32,∴∴|BF|=y2+14=1,故D正确13.3过点P作y轴的垂线,垂足为点Q,如图,设P(3cosθ,sinθ),A(a,0),∵|PA|=1,∴sin2θ+(3cosθ-a)2=1,得a=(3+1)cosθ或a=(3-1)cosθ,∵3cosθ<a,∴当a=(3-1)cosθ时,不符合题意,舍去.∵△PQB∽△AOB,∴|PQ设|PB|=m,则|AB|=m+1,又|PQ∴mm+1=3-14.12因为双曲线x24−y2b2=1(b>0)的离心率为5所以双曲线x24-y2=1的右焦点F(其中一条渐近线方程为x-2y=0,所以|AF|=51+(-所以|OA|=(5)215.(0,3)或(0,-3)设椭圆x225+y29=1的焦点为由椭圆定义可得,|PF1|+|PF2|=2a=10,则s=|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|P当且仅当|PF1|=|PF2|=a=5,即P(0,3)或(0,-3),s取得最大值25.16.12设点P(x0,y0),由题可知切线PA,PB斜率存在,则过点P的直线方程为y-y0=k(x-x0),联立化简得(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-λa2b2=0,因为直线与椭圆相切,所以Δ=[2a2k(y0-kx0)]2-4(b2+a2k2)[a2(y0-kx0)2-λa2b2]=0,绽开得4a4k2(y0-kx0)2-4a2(b2+a2k2)(y0-kx0)2+4a2λb2(b2+a2k2)=0,即-b2(y0-kx0)2+λb2(b2+a2k2)=0,即(y0-kx0)2-λb2-λa2k2=0,整理为关于k的方程可得(x02-λa2)k2-2x0y0k+y02-λ因为有两条切线,所以此方程有两个不等的实数根.因为k1k2为定值,可设k1k2=t,由根与系数的关系得k1k2=y02化简得y02-λb2=tx02-t因为P(x0,y0)在椭圆E1上,代入可得x02a2+y02b2=1(a>b>0),化简可得b则y02-λb17.解设椭圆的方程为x2a12+y2b双曲线的方程为x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0),c=13,由已知,得a解得a1=7,a2=3,所以b12=36,b所以两条曲线的标准方程分别为x249+y23618.(1)解由抛物线的定义,得3+p2=4,解得p=所以抛物线的方程为y2=4x,将点T(3,t)代入,得t2=12,解得t=±23.(2)证明设直线AB的方程为x=my+n,Ay124,联立y2=4x,x=my+n,消去则y1+y2=4m,y1y2=-4n.由OA·OB=5,得(y1y2所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),即-4n=-20,n=5,所以直线AB的方程为x=my+5,所以直线AB过定点(5,0).19.解如图,当x=c时,代入双曲线方程可得y=±b2由相像三角形可知,|OH||PF2∴2a2λ+b2λ=b2,整理得b2(1)当λ=13时,b2a2=1,则a=b(2)∵|PF2|=b2a,∴e2=c2a2=1+b2a2=1+2λ令y=-1-2λ-1,则函数y在∴λ=12时,e2的最大值为3,当λ=19时,e2的最小值为54,∴54≤即52≤e≤3.故离心率e的取值范围为520.(1)解由题意,得a2-b又点(2,2)在C上,所以4a2+2联立①②,可解得a2=8,b2=4.所以C的方程为x28+(2)证明由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l:y=kx+n(k≠0,n≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+n代入x28整理得(2k2+1)x2+4knx+2n2-8=0.故xM=x1+x22=-2所以直线OM的斜率kOM=yMxM所以kOMk=-12故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.21.解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.判别式Δ=(-8