2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第4章 计数原理复习提升

本章复习提升

易混易错练

易错点1计数时重复或遗漏致错

1.直线1的方程为Ax+By=O,若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作

为A,B的值，则可表示条不同的直线.

易错点2对特殊元素或特殊位置考虑不周致错

2.（2022福建福州永泰一中期中）某班进行演讲比赛，共有6位选手参加，其中2位女

生,4位男生，如果2位女生不能连续出场，且女生不能排在第一个和最后一个出场,

则出场顺序的排法种数为（）

A.120B.144C.480D.90

3.（2022湖南长沙明德中学期中）有0,1,2,345六个数字.

（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？

⑶能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？

易错点3不能正确区分排列与组合问题致错

4.将大小、形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，不同的排列方法有

种.

5.（2022湖南长沙麓山国际实验学校月考）某校要从甲、乙、丙、丁等10人中挑选

3人参加马拉松比赛，其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲、乙不同时

参加，丙、丁也不同时参加,则不同的报名方案有种.

易错点4混淆展开式中项的系数与二项式系数致错

6.（多选）（2022广东华南师大附中期中）对于［21）6的展开式，下列说法正确的是

（）

A.所有项的二项式系数和为64

B.所有项的系数和为64

C常数项为1215

D.系数最大的项为第3项

7.（2022河南名校联盟期中）已知+的展开式中第三项的二项式系数比第

二项的二项式系数大35,前三项的系数和为201.

（1）求正实数a,n的值；

（2）求展开式中系数最大的项.

思想方法练

一'分类讨论思想在排列'组合中的应用

1.（2022湖南永州四中期中）甲、乙、丙3位志愿者被安排在星期一至星期五参加

某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两

位前面，则不同的安排方法共有（）

A.20种B.30种

C.40种D.60种

2.（2022北京丰台期中）若从0,2,4中任取2个数字，从1,3中任取1个数字，则可以

组成没有重复数字的三位数的个数为（）

A.18B.24C.28D.32

二、转化与化归思想在排列'组合中的应用

3.某教师一天上3个班级的课,每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节,

并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的

所有不同排法有（）

A.474种B.77种

C.462种D.79种

4.（2022吉林长春十一高期中）现有红色、黄色小球各两个,蓝色小球一个，所有小球

彼此不同，现将五个小球排成一行，颜色相同者不相邻，则不同的排法种数为（）

A.48B.72C.78D.84

三、整体思想在排列、组合中的应用

5.（2020山东济宁期末）武汉封城期间，某医院抽调5名医生，分赴三所“方舱医院”

支援抗疫，要求每名医生只去一所“方舱医院”，每所“方舱医院”至少安排一名

医生,由于工作需要，医生甲和乙必须安排在同一所“方舱医院”，则所有的不同安

排方案有（）

A.18种B.24种

C.36种D.48种

6.（2021湖南长沙雅礼中学月考）中国古代儒家要求学生掌握六种技能:礼、乐、射、

御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节,每艺一

节，要求“礼”和“数”不能相邻，“射”和“乐”必须相邻，则“六艺”课程讲座

不同的排课顺序共有（）

A.24种B.72种

C.96种D.144种

四、函数与方程思想在二项式定理中的应用

7.在（2x-3y+l）5的展开式中，不含y的所有项的系数和为（用数字作答）.

8.（2022山东潍坊月考）已知（l+mx）（l+x）5=ao+aix+a2x2+…+a6x6,若a2=5,则

m=;a]+a3+a5=.

9.(2021浙江宁波镇海中学期末)在(石-土)的展开式中，前三项系数的绝对值成

等差数列.

⑴求n;

(2)求展开式中二项式系数最大的项；

(3)求展开式中所有项的系数的绝对值之和.

答案与分层梯度式解析

易混易错练

1.答案22

解析当A或B中有一个为0时，有2条不同的直线;当A•BWO时，有5x4=20

条不同的直线.故共有20+2=22条不同的直线.

易错警示

本题的易错点是认为只要选取两个不同的数作为A,B就可得到不同的直线，

从而出现怨=30条不同直线的错误答案.实际上，这种想法导致了重复计数，所以计

数时,不但要懂得计数方法，还要考虑实际情况，在本题中应注意直线方程的特征.

2.B分两步完成:第一步，排4位男生，有A3种;第二步，在4位男生形成的中间间隔

中插入2位女生，有A2种.由分步乘法计数原理知，共有A3A专=24x6=144（种）.故选B.

3.解析（1）分为三类：

第一类:0在个位时，有Ag个；

第二类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个，有A%种,十位和百位从余下的数字中

选，有A%种，共有A：-AN个；

第三类：4在个位时,与第二类同理，也有A%-A：个.

由分类加法计数原理知，共有Ag+A%-Ai+Ai-A拄156个无重复数字的四位偶数.

（2）分为两类:个位上的数字是0时,满足条件的四位数有Ag个;个位数上的数字是5

时,满足条件的四位数有A；-AM个.故满足条件的四位数有Ag+A%・A%108（个）.

⑶分为四类：

第一类:形如2口口口,3口口口,4口口口,5口口口,共人々•Ag个；

第二类:形如13口口,14口口,15口口，共有A4•Aj个;

第三类:形如124口,125口洪有・Ag个；

第四类:形如123口，共有A3个.

由分类加法计数原理知，共有A2•Ag+Ag-A：+A2-AHA3=284(个).

易错警示

在与数字有关的排列问题中，易忽略“0”对特殊位置的要求，造成错解.

4.答案56

解析8个小球排好后对应着8个位置，相当于在8个位置中选出3个位置给红球,

剩下的位置给白球，这3个红球完全相同,所以没有顺序，是组合问题，这样共有

a=56种排法.

易错警示

本题是相同元素的排列问题，可以看成一个组合问题,要注意3个红球是无差

别的.

5.答案84

解析分3种情况讨论:①只从甲、乙中选出1人参加，有©第=30种报名方案;②

只从丙、丁中选出1人参加，有最髭=30种报名方案;③从甲和乙、丙和丁中各选1

人参加，有禺禺禺=24种报名方案.故共有30+30+24=84种不同的报名方案.

6.ABC(%2一)6的展开式中所有项的二项式系数和为26=64,A正确;(―一?中，

令x=1,得(1-3)6=64,B正确;展开式的通项为

Tk+尸C*(x2)6-k-(jy=(-3)ax⑵3k(0WkW6,k£N),令12-3k=0,得k=4,所以常数项

为(-3)4第=1215,C正确;易得第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1,第3项系数为

(-3)2髭=135,第5项系数为(-3尸尊=1215,第7项系数为(-3)6废=729,则系数最大的

项为第5项,D不正确.故选ABC.

7.解析⑴+3的通项为Tr+i=C算伪n-r.Q=奠袅方(0WrWn,r£N).

根据题意得鬣©=35,即声-311-70=0,解得n=10或n=-7(舍去).

又前三项的系数和为201,所以l+a%+a2第=201,即9a2+2a-40=0,解得a=2或

a=-拿舍去).

故a=2,n=10.

(2)由⑴得(正+3n=(«+岁，其通项为Tr+i=2qo/?(OWrWlO,r£N).

设第(r+1)项的系数最大，则已梦；(:即］

I，5oN15o，

‘2X1°!>is

QUJ(10-r)!r!-(10-r+l)!(r-l)!1

即'10'10'

皿>2X______—______

式10寸)!「！一(10-r-l)!(r+l)!9

->

即匕1°一十解得上WrW噌

_33

^10-r-r+1f

因为r£{0,1,2,3,…,9,10},所以r=7.

1111

当r=7时,78=15360%下,则展开式中系数最大的项为T8=15360X~.

易错警示

(a+b)11的展开式中，第(r+1)项的二项式系数是g(r=0,l,2，…,n),仅与n,r有关;第

(r+1)项的系数为该项字母前的数连同符号,不一定是二项式系数注意二项式系

数&一定为正，而对应项的系数可能为负，解题时不要将两者混淆.

思想方法练

1.A甲是特殊元素，甲安排在另外两位前面，即只能在星期一、二、三参加，分情况

讨论并求解.

分3种情况讨论:甲在星期一参加，有A：=12种安排方法;甲在星期二参加，有A,=6

种安排方法;甲在星期三参加，有A知2种安排方法.故共有12+6+2=20种安排方法.

故选A.

2.C三位数中0不能在百位，因此需分所组成的三位数中含0和不含0两种情况

讨论.

zwwwwww\

分2种情况讨论:①从0,2,4中取2个数不含0,有1种取法，从1,3中取1个数，有2

种取法，取出的三个数全排列，有Ag=6种情况，故共有2x6=12个没有重复数字的三

位数;②从0,2,4中取2个数含0,有2种取法，从1,3中取1个数，有2种取法，取出的

三个数全排列再减去0在百位的情况，有Ag-2=4种情况，故共有2x2x4=16个没有

重复数字的三位数.所以共有12+16=28个符合题意的三位数.

思想方法

分类讨论思想是本章最基本的数学思想，在分析较复杂的计数问题时,对问题

分类讨论是基本的策略.分类时要确定恰当的分类标准，要做到不重不漏.

3.A根据题意，该教师所有的上课方法有A5种,连着上3节课的情况有5Ag种，

将所求问题转化为求问题的反面，即求连着上3节课的情况种数，利用总的排列数

减去连上3节课的排列数即可,体现了转化的思想.

则所求的排法种数为A；-5A卜474,故选A.

4.A将所求问题转化为求问题的反面,即求颜色相同的小球相邻的排列数，再用

总的排列数减去该排列数即为所求，体现了转化的思想.

五个小球全排列，共有Ag=120种排法.当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时,

共有A5A刍A424种排法;当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有

AiA^Ai=24种排法;当两个红色小球不相邻,两个黄色小球相邻时，共有AgA捐专=24

种排法.，颜色相同的小球不相邻的排法共有120-24-24-24=48（种），故选A.

思想方法

转化与化归思想在排列、组合中的应用主要体现在当直接求解分类情形较多,

计算较复杂时，可以采用逆向思维，转化为求问题的反面，利用间接法求解.注意当

题目出现的限制条件较多时，可以考虑只对其中一个较复杂的条件利用间接法.

5.C甲、乙两人必须安排在一起，其本质上是元素相邻问题，把相邻元素看成一个

整体，体现了整体思想.

将甲、乙看成一个整体，即相当于只有4名医生，则4名医生中有2名去同一所“方

舱医院”，故所有的不同安排方案种数为此­Ag=36.故选C.

6.D因为“射”“乐”相邻，所以将“射”“乐”看成一个整体,体现了整体的

思想,

将“射”和“乐”看成一个整体，与“御”和“书”全排列，有A弓A4种排法，因为

“礼”和“数”不能相邻,所以将“礼”“数”插在前边产生的4个空中，有第A5

种情况，所以不同的排课顺序有AgAKS知144（种），故选D.

思想方法

整体思想在排列、组合中的应用主要体现在有特殊元素、特殊位置的题目中,

可以把要求相邻的元素看成一个整体，再和其他元素进行排列或组合.此外还应注

意看成一个整体的元素内部是否还有顺序的要求.

7.答案243

解析要求(2x-3y+l>的展开式中不含y的项的系数和，只需令y=0,所以(2x-3y+l>

的展开式中不含y的所有项的系数和为(2x+l)5的展开式中各项的系数和，令x=l,

得35=243.故答案为243.

8.答案-1;0

解析(l+x)5的展开式的通项为「+尸C/(0WrW5,r£N),令k