中考数学一轮复习考点过关练习专题24 与圆有关的位置关系的核心知识点精讲（讲义）（原卷版）

专题24与圆有关的位置关系的核心知识点精讲1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．2．知道三角形的内心和外心．3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.考点1：点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<rSKIPIF1<0点P在⊙O内；d=rSKIPIF1<0点P在⊙O上；d>rSKIPIF1<0点P在⊙O外。考点2：直线与圆的位置关系1、直线与圆相离SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0无交点；2、直线与圆相切SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0有一个交点；3、直线与圆相交SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0有两个交点；考点3：切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0过半径SKIPIF1<0外端∴SKIPIF1<0是⊙SKIPIF1<0的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。考点4：切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是的两条切线∴SKIPIF1<0；SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0考点5：三角形的内切圆和内心（1）三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。（2）三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=SKIPIF1<0。BOAD（3）S△ABC=SKIPIF1<0，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。BOAD（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。【题型1：点、直线与圆位置关系的判定】【典例1】（2023•宿迁）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（）A．2 B．5 C．6 D．81．（2022•六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．平行2．（2021•浙江）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【题型2：切线的判定与性质】【典例2】（2023•盐城）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．1．（2023•河南）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为．2．（2023•武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若，则sinC的值是（）A． B． C． D．3．（2023•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长．4．（2023•东营）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．【题型3：三角形的外接圆和内切圆】【典例3】（2021•毕节市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．（1）求证：DB＝DE；（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．1．（2023•攀枝花）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（）A．rl B．πrl C．rl D．πrl2．（2020•济宁）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（）A．4 B．2 C．2 D．43．（2023•镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于步（注：“步”为长度单位）．4．（2023•湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．（1）求证：BD＝BC．（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．一．选择题（共8小题）1．平面内，已知⊙O的半径是8cm，线段OP＝7cm，则点P（）A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定2．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（）A．4 B．3 C．2 D．13．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB＝40°，则∠COD的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．75°4．已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定5．已知⊙O和直线l相交，圆心到直线l的距离为10cm，则⊙O的半径可能为（）A．11cm B．10cm C．9cm D．8cm6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（）A．40° B．70° C．110° D．140°7．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C的度数为（）A．18° B．27° C．36° D．54°8．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（）A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°二．填空题（共4小题）9．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝cm时，⊙M与OA相切．10．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是度．11．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝．12．如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形木料，则可裁圆形木料的最大半径为．三．解答题（共3小题）13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）若AD＝4，AC＝5，求⊙O的半径．14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．（1）求证：EA与⊙O相切；（2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径．15．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．一．选择题（共6小题）1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面积为（）A． B． C．16 D．322．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（）A． B．1 C． D．3．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（）A．a B．b C．a+b D．a﹣b4．在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（）A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜55．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠C＝55°，则∠P等于（）A．110° B．70° C．140° D．55°二．填空题（共4小题）7．在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝60°，PA＝6，则⊙O的半径为．9．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．10．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，请写出所有符合条件的点P的坐标为．三．解答题（共3小题）11．如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC＝，AC＝6，求⊙O的直径．12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）连接OC交DE于点F，若⊙O的半径为3，DE＝4，求的值．13．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若cosC＝，AC＝6，求BF的长．1．（2020•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定2．（2023•湘西州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝10，PC＝12，则sin∠CAD等于（）A． B． C． D．3．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为．4．（2021•青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是．5．（2023•黑龙江）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝°．6．（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）7．（2023•鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．8．（2023•辽宁）如图，AB是⊙O的