2022年广西河池市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2022年广西河池市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求。请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）

1.如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（）

A.+20元B.-20元C.+30元D.-30元

2.下列几何体中，三视图三个视图完全相同的几何体是（）

。所截，若Nl=142。,

A.142°B.132°C.58°D.38°

4.下列运算中，正确的是（）

A.B.3〃・2。2=6。6

C.6>,6-J-2y2=3^3D.(-尻)3=-b6

5.希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100,其中体育课外活动占20%,期中考试成绩占30%,期末考试成

绩占50%.若小强的三项成绩（百分制）依次是95,90,91.则小强这学期的体育成绩是（）

A.92B.91.5C.91D.90

6.多项式％2-4元+4因式分解的结果是（）

A.x(x-4)+4B.(x+2)(x-2)C.(x+2)2D.(x-2)2

7.东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止.用r表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示

y与，的对应关系的是（）

8.如图，在菱形48CZ）中，对角线AC,8。相交于点0,下列结论中错误的是（

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDNDAC=NBAC

9.如果点P（m,1+2加）在第三象限内，那么机的取值范围是（）

11

A.——<m<0B.m>——C.m<0m<——

222

10.如图，AB是。。的直径，方与。。相切于点4,NABC=25。，OC的延长线交次于点P,则NP的度数是

A.25°B.350C.40°D.50°

11.某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产

量的月平均增长率为x.则所列方程为()

A.30(1+x)2=50B.30(1-%)2=50

C.30(1+9)=50D.30(1-x2)=50

12.如图，在R/ZVIBC中，ZACB=9Q0,AC=6,3c=8,将绕点8顺时针旋转90。得到

RtA'B'C.在此旋转过程中向ABC所扫过的面积为()

A.257r+24B.5%+24C,25%D.5乃

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分。请把答案写在答题卡上对应的答题区域

内。)

13.—2022的相反数是.

14.若二次根式J二斤有意义，则a的取值范围是.

15.如图，点P(x,y)在双曲线y=K的图象上，布，x轴，垂足为A,若S“OP=2,则该反比例函数的解析式

为

16.如图，把边长为1：2的矩形ABC。沿长边8C,AO的中点E,尸对折，得到四边形A8E孔点G,H

2

分别在BE,EF±,且BG=EH=?BE=2,AG与BH交于点O,N为AF的中点，连接ON,作OMJ_ON交A8

于点M,连接MN,则lanNAMN=.

三、解答题(本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤。请将解答写

在答题卡上对应的答题区域内。)

17计算：|一2行|一3一|一4x夜+()一5)°.

18.先化简再求值‘一士”•一(24一1),其中。=3.

1ci~

19.如图、在平面直角坐标系中，4ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(2,3),C(1,2).

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△48iG；

(2)以原点。为位似中心，在第三象限内画一个△482C2,使它与AABC的相似比为2:1,并写出点反的坐标.

20.如图，点A,F,C,。在同一直线上，AB=DE,AF=CD,BC=EF.

(1)求证：NACB=NDFE；

(2)连接8尸，CE,直接判断四边形8FEC的形状.

21.如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼A3的高度进行测量，从小敏家阳台C测得

点4的仰角为33。，测得点8的俯角为45。，已知观测点到地面的高度CO=36m,求居民楼A8

的高度(结果保留整数.参考数据：sin3330.55,cos3330.84,tan33%0.65).

22.为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛.团委随机抽取了部分学生的成

绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计

图.

竞骞成绩条形统计图竞赛成绩扇形统计图

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查的样本容量是,圆心角力=度；

(2)补全条形统计图；

(3)已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？

(4)若在这次竞赛中有A,B,C,。四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛.请用列表或画

树状图的方法求出恰好抽到A,C两人同时参赛的概率.

23.为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树.已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3

棵桂花树和2棵芒果树共需370元.

(1)桂花树和芒果树的单价各是多少元？

(2)若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵.设购买桂花树棵数为〃，总费用为卬元，求

w关于〃的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？

24.如图，AB是00的直径，E为。。上的一点，NA8E的平分线交。。于点C,过点C的直线交84的延长线于

点、P,交BE的延长线于点D且=

D

(1)求证：PC为。。的切线;

(2)若PC=2框BO,PB=12,求的半径及BE的长.

25.在平面直角坐标系中，抛物线L：y=or2+2x+6与x轴交于两点A,B(3,0),与y轴交于点C(0,3).

备用图

(1)求抛物线小函数解析式，并直接写出顶点。的坐标;

(2)如图，连接BD,若点E在线段BO上运动(不与B,。重合)，过点E作EFLx轴于点F,设EF=机，问:

当m为何值时，△BFE与△£)£(7的面积之和最小；

(3)若将抛物线L绕点8旋转180。得抛物线上，其中C,。两点的对称点分别记作M,N.问：在抛物线上的

对称轴上是否存在点P,使得以8,M,P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点尸

的坐标；若不存在，请说明理由.

2022年广西河池市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求。请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）

1.如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（）

A.+20元B.-20元C.+30元D.-30元

【答案】B

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【详解】解：“正”和“负”相对,

所以如果+50元表示收入50元，

那么支出20元表示为-20元.

故选：B.

【点睛】此题考查的是正数和负数的定义，解题关键是理解"正''和"负”的相对性，确定一对具有相反意义的量.

2.下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（）

【答案】D

【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可.

【详解】解：A.三棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误;

B.圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；

C.圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误;

D.球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体.

3.如图，平行线4,b被直线c所截，若Nl=142。，则N2的度数是（）

A.142°B.132°C.58°D,38°

【答案】A

【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解.

【详解】解：

N2=N1=142。，

故选A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键.

4.下列运算中，正确的是（）

A.x2+x2—^B.3a3,2a2=6a6

C.6y6-^2）>2—3y3D.（-Z>2）-hb

【答案】D

【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解.

【详解】解：故该选项不正确，不符合题意；

B.3a3・2/=6/,故该选项不正确，不符合题意；

C.6/-2/=3/,故该选项不正确，不符合题意；

D（-序）3=-a，故该选项正确，符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键.

5.希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100,其中体育课外活动占20%,期中考试成绩占30%

,期末考试成绩占50%.若小强的三项成绩(百分制)依次是95,90,91.则小强这学期的体育成绩是()

A.92B.91.5C.91D.90

【答案】B

【分析】根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，91分别乘以它们的百分比，再求和即可.

【详解】解：根据题意得95x20%+9()x30%+91x50%=915

即小强这学期的体育成绩是91.5.

故选：B.

【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题关键.

6.多项式d-4x+4因式分解的结果是()

A.x(%-4)+4B.(x+2)(x-2)C.(x+2)2D.(x-2)2

【答案】D

【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】解：f_4x+4=(x—2「

故选：D.

【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键.

7.东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止.用r表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示

y与r的对应关系的是()

【分析】根据题目中图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而

可以解答本题.

【详解】因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上

升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，

故适合表示y与r的对应关系的是选项C.

故选：C.

【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

8.如图，在菱形ABCC中，对角线AC,相交于点。，下列结论中错误的是（）

A.AB^ADB.ACLBDC.AC=BDD.ZDAC^ZBAC

【答案】C

【分析】根据菱形的性质逐项分析判断即可求解.

【详解】解：•••四边形ABCQ是菱形，

：.AB=AD,ACLBD,ZDAC^ZBAC,故A、B、D选项正确，

不能得出AC=BD,故C选项不正确，

故选：c.

【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键.

9.如果点P（机，1+2/〃）在第三象限内，那么机的取值范围是（）

11八1

A.——<m<0B.m>——C.m<0D.m<——

222

【答案】D

【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解.

【详解】解：•••点产（办1+2W在第三象限内，

m<0①

1+2m<0②

解不等式①得：加<0,

解不等式②得：m<--,

2

...不等式组的解集为：机<一一，

2

故选D.

【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关

键.

10.如图，A8是。。的直径，%与。。相切于点A,/ABC=25。，OC的延长线交出于点尸，则/P的度数是

（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】根据圆周角定理可得NAOC=5（）。，根据切线的性质可得NP4O=90°,根据直角三角形两个锐角互余

即可求解.

【详解】AC=AC-ZABC=25°,

:.ZAOC=2ZABC=50°,

AB是。。的直径，

ZPAO=90°,

ZP=90°-ZAOC=40°.

故选c.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键.

11.某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产

量的月平均增长率为x.则所列方程为()

A.30(1+x)2=50B.30(1-x)2=50

C.30(1+x2)=50D.30(1-/)=50

【答案】A

【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到30(1+X)2=50,从而可以判断哪个选项是符合题意的.

【详解】解：由题意可得，

30(1+x)2=50,

故选：A.

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的

增长率问题.

12.如图，在中，NACB=90°,AC=6,3C=8,将ABC绕点8顺时针旋转90。得到

RtA'B'C.在此旋转过程中RfABC所扫过的面积为()

C.257rD.57r

【答案】A

【分析】根据勾股定理定理求出AB,然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解.

【详解】解：•；NAC片90°,AC=6,BC=S,

,AB=VAC2+BC2=«2+82=10»

90.万.1()2i

...RtABC所扫过的面积为+±—6+8=25万+24.

3602

故选：A.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键.

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分。请把答案写在答题卡上对应的答题区域

内。)

13.—2022的相反数是.

【答案】2022

【详解】解：-2022的相反数是2022.

【点睛】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握该知识点是解题关键.

14.若二次根式JR有意义，则。的取值范围是.

【答案】a>\

【分析】要根据二次根式有意义的条件列式计算即可求解.

【详解】解：由题意得，

a—1>0,

解得,a>l,

故答案为：a>\

【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数是解题的关键.

15.如图，点P(x,y)在双曲线>=人的图象上，fiALx轴，垂足为A,若SAAOP=2,则该反比例函数的解析式

为

4

【答案】y=—

x

【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解.

【详解】解：根据题意得：SAOP=^\k\=2,

：.|^|=4,

・・•图象位于第二象限内，

；♦k=—4>

4

该反比例函数解析式为旷=--.

x

4

故答案为：y=-一

x

【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关

键.

16.如图，把边长为1：2的矩形ABC。沿长边BC,的中点E,尸对折，得到四边形4BEE点G,，分别在

2

BE,E尸上，且BG=EH=^BE=2,AG与交于点O,N为A尸的中点，连接OM作交48于点

M,连接MN,贝I]tan/AMN=

【答案】-##0.625

8

【分析】先判断出四边形A3EF是正方形，进而判断出AABG四△BE”，得出

/BAG=NEBH,进而求出NAOB=90。，再判断出△AOB~z\ABG,求出QA=率=,。3=,再判断出

,29V29

△OBM〜△OAN,求出BM=1,即可求出答案.

【详解】解：••,点E,F分别是BC,A。的中点,

AF^-AD,BE^-BC,

22

•••四边形A8C。是矩形,

AZA=90°,AD//BC,AD=BCf

AF=BE=—AD,

2

・・・四边形ABEb是矩形，

由题意知，AD=2AB9

：.AF=ABf

・・・矩形A8所是正方形，

：.AB=BE9ZABE=ZBEF=90°f

•；BG=EH,

:•△ABG"BEH(SAS),

・・・NBAG=/EBH,

：.ZBAG+ZABO=ZEBH+ZABO=ZABG=90°,

・・・NAOB=90。，

2

•:BG=EH=-BE=2,

5

.♦.BE=5,

：.AF=5f

・♦・AG£AB?+BG2=屈'

9

：ZOAB=ZBAG,ZAOB=ZABGf

：.RAOBSRABG,

OAOBABOAOB5

**.----=-----=-----,即an-j---r~=I—,

ABBGAG52V29

：.0A=

♦：OM_LON,

：.ZMON=90°=ZAOBf

：./BOM=/AON,

VZBAG+ZMG=90°,NABO+NEBH=90。,NBAG=NEBH,

：./OBM=/OAN,

・•・△OBM〜AOAN,

.OB_BM

・・演一俞’

•.,点N是AF的中点,

A/W=-AF=-,

22

10

?29BM”,

.•.姿=可，解得：BM=1,

V292

：.AM=AB-BM=4,

5

：./…2AN25.

tanZAMN=-----=-=-

AM48

故答案为：—

8

【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,

勾股定理，求出是解本题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤。请将解答写

在答题卡上对应的答题区域内。）

17.计算：|一20|—3-i-"x0+（万一5）°.

【答案】|2

【分析】根据化简绝对值，负整数指数累，二次根式的乘法，零次幕进行计算即可求解.

【详解】解：原式=20」-20+1

3

_2

-3

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数暴，二次根式的乘法，零次辕是解题的关

键.

18.先化简,再求值一〈+-^±1—（2”一1）,其中。=3.

a-\a-1

【答案】

【分析】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够

约分的要约分，将结果化为最简，再把。的值代入进行计算.

【详解】,+字L—(2a—1)

a-\a-1

aa+1小，、

=-----------r;----r-(24Z—1)

a-\(a+l)(a-l)

a1

=----+------2a+1

ci—1ci—1

=――(«-l)-2«+l

a-\

=-a+1；

当a=3时，原式=-3+l=-2.

【点睛】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.如图、在平面直角坐标系中，AA8C的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(2,3),C(1,2).

(1)画出与aABC关于y轴对称的

(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个282c2,使它与AABC的相似比为2:1,并写出点B2的坐标.

【答案】(1)作图见解析

(2)作图见解析

【分析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标得到4.BL。的坐标，然后描点连线得到

(2)把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、&、C2的坐标，然后描点连线即可.

【小问1详解】

如图，A4,4G为所作.

【小问2详解】

如图，为所作，点&的坐标为(-4,-6).

【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴.

20.如图，点A,F,C,。在同一直线上，AB=DE,AF^CD,BC=EF.

(1)求证：ZACB=ZDFE；

(2)连接BF,CE,直接判断四边形BFEC的形状.

【答案】(1)见解析(2)四边形BFEC是平行四边形

【分析】(1)证尸(SSS),再由全等三角形的性质即可得出结论；

(2)由(1)可知，ZACB=ZDFE,则BC〃EF,再由平行四边形的判定即可得出结论.

【小问1详解】

证明：-：AF=CD,

：.AF+CF^CD+CF,

即AC=DF,

在△ABC和△Z)EF中，

AB=DE

<BC=EF

AC=DF

/XABC^ADEF(SSS)

:.ZACB=ZDFE

【小问2详解】

如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下:

由（1）可知，NACB=NDFE,

：：.BC//EF,

又：BC=EF,

，四边形8FEC是平行四边形.

【点睛】本题考查了平行网边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形

的判定方法，证明三角形全等是解题的关键.

21.如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得

点A的仰角为33。，测得点8的俯角为45。，已知观测点到地面的高度CO=36m,求居民楼AB的高度（结果保留

整数.参考数据：sin33°~0.55,cos33cM).84,tan33°~0.65).

【分析】过点C作CELA3于点E,则NAEC=/8EC=90。，先证明四边形BEC。是矩形，BE=CD=36m,在

R3BCE中，ZBCE=45°,BE=CE=CD=36m,在RsACE中，N4CE=33°,CE=36m,求得AE723.4m,进而

得到居民楼AB的高度.

【详解】解：如图，过点C作CEL4B于点E,则/AEC=NBEC=90。，

A

由题意可知NCQ5=ND3E=90。，

・・.四边形BECQ是矩形，

/.BE=CD=36m,

由题意得，C£>=36m,N8CE=45。，ZACE=33°,

在RS3CE中，ZBCE=45°,

・•・NEBC=90°—NBCE=45。,

：.ZEBC=ZBCE,

：.BE=CE=CD=36m9

在HtZXACE中，ZACE=33°,CE=36m,

.\AE=CE•tan33°-23.4m,

：.AB=AE+BE=234+36=59.4-59(m).

答：居民楼AB的高度约为59m.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键.

22.为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛.团委随机抽取了部分学生的成

绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计

图.

竞骞成绩条形统计图竟赛成绩扇形统计图

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量是，圆心角力=度；

（2）补全条形统计图；

（3）己知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？

（4）若在这次竞赛中有A,B,C,。四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛.请用列表或画

树状图的方法求出恰好抽到A,C两人同时参赛的概率.

【答案】（1）50,144；

（2）见解析（3）480

6

【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；

（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；

（3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；

（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A,C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即

可.

【小问1详解】

（1）本次调查的样本容量是：

10+20%=50,

20

则圆心角夕=360°X—=144°,

故答案为：50,144；

【小问2详解】

成绩优秀的人数为：

50-2-10-20=18(人)，

补全条形统计图如下:

竟募成绩条形统计图

【小问3详解】

答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人;

【小问4详解】

画树状图如下，

开始

ABCD

小木/N/K

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A,C两人同时参赛的结果有2种，恰好抽到A,C两人同时参赛的概率

为工」

126

【点睛】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识.正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点

为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树.已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3

棵桂花树和2棵芒果树共需370元.

(1)桂花树和芒果树的单价各是多少元？

(2)若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵.设购买桂花树的棵数为〃，总费用为w元，求

w关于〃的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？

【答案】(1)桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵；

(2)W=4O71+3(XX)(35</1<6())；当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元.

【分析】（1）设桂花树单价X元/棵，芒果树的单价y元/棵，根据桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵

桂花树和2棵芒果树共需370元，列出二元一次方程组解出即可；

（2）设购买挂花树”棵，则芒果树为（60-〃）棵，根据题意求出w关于〃的函数关系式，然后根据桂花树不少于

35棵求出n的取值范围，再根据n是正整数确定出购买方案及最低费用.

【小问1详解】

解：设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵,

x=y+40

根据题意得:

3x+2y=370

x=90

解得：

y=50'

答：桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵;

【小问2详解】

设购买桂花树的棵数为n,则购买芒果树的棵数为（60-〃）棵,

根据题意得圾=90〃+50（60）=40〃+3000（35W〃W60）,

40>0,

随”的增大而增大，

...当〃=35时，卬最小=4()X35+3000=440()元,

此时（60—九）=60—35=25,

・・・当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂

题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系.

24.如图，AB是。。的直径，石为。。上的一点，NA8E的平分线交。。于点C,过点C的直线交BA的延长线于

点P,交BE的延长线于点D且NPC4=NC3D

D

E

PB

AO

(1)求证：PC为。。的切线；

(2)若PC=2及80,PB=12,求。。的半径及BE的长.

【答案】(1)见解析(2)。。的半径为3,BE的长为2

【分析】(1)连接0C,根据角平分线求得NABC=NCBQ,由等边对等角可得/PCA=/0C8,由AB是直径和

等量代换可得/PC0=90°,即可得证；

(2)设OB=OC=r,证明OP=3r,可得4『12,推出『3,利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定

理求出BO,BE即可求解.

【小问1详解】

证明：连接OC,

•.•8C平分NABE,

，NABC=NCBD,

•：OC=OB,

：.ZABC=ZOCB,

,：ZPCA=NCBD,

：.NPC4=NOCB,

是直径，

AZACB=90°,

AZACO+ZOCB=90°,

：.ZPCA+ZACO=90°,

AZPCO=90°,

：.OC1PC,

;oc是半径，

PC是00的切线；

【小问2详解】

连接AE，设OB=OC=r,

PC=2尬OB，

PC=272r，

:.OP=y/oC2+PC2=M+(2&r)2=3r,

PB=12,

；.4r=12,

r=3,

由(1)可知，NOCB=/CBD,

:.OC//BD,

PCO^_PDB

ocOP

：.—=——，ND=NPCO=90,

BDPB

,39

,5D-12'

；.BD=4,

■-AB是直径，

：.ZAEB=9Q，

；./AEB=ND=90，

：.AE//PD,

.BEBA

BE6

----=—,

4---12

:.BE=2.

D

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比

例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题.

25.在平面直角坐标系中，抛物线Li：y=ar2+2x+〃与x轴交于两点A,B(3,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线心的函数解析式，并直接写出顶点。的坐标；

(2)如图，连接BC,若点E在线段8。上运动(不与8,。重合)，过点E作防，x轴于点尸，设，问：

当m为何值时，ABFE与△OEC的面积之和最小；

(3)若将抛物