2023-2024学年青海省西宁市大通县高一下学期期末联考数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年青海省西宁市大通县高一下学期期末联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.化简AB−AD−A.AD B.AC C.DB D.CB2.已知集合A=x12x<A.x∣x≥2 B.x∣x≤2 C.{x∣x>1} D.R3.下列说法中错误的是(

)A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形

B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台

C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥

D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线4.一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的85%分位数是(

)A.3 B.4 C.4.5 D.55.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y=g(x)的图象，则g(x)=A.−3cos2x B.3cos2x C.6.用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为(

)A.13 B.12 C.237.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AB的中点，在▵CMD1中，A.1 B.2 C.3 D.48.在三棱锥A−BCD中，▵ABD和▵BCD均为边长为2的等边三角形，AC=3，则该三棱锥的外接球的表面积是(

)A.82π9 B.83π9 C.28π3二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=2+3i，则A.z的虚部为3 B.z是纯虚数

C.z的模是7 D.10.下列化简正确的是(

)A.sin2023π−α=sinα B.tanα−2023π=−11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知E,F是线段BA.△BEF的面积为定值 B.EF⊥AC

C.点A到直线EF的距离为定值 D.二面角E−BD−C的大小为60三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知x、y∈R，若(x−2)+yi=−1+i，则x+y=

．13.已知e1,e2是两个不共线的向量，a=e1−2e2,14.定义在R上的奇函数fx满足fx+2=−fx，当0<x≤1时，fx=x，则函数四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”．16.(本小题12分)

(1)已知cos(α+β)=15，cos(α−β)=35，求tanα⋅tanβ的值

(2)已知cosα+17.(本小题12分)已知a,b,c为ΔABC三个内角A,B,C的对边，且acos(1)求A；(2)若a=2，ΔABC的面积为3，求b,c．18.(本小题12分)如图，四棱柱ABCD−A1B1C(1)证明：平面A1BD//平面(2)证明：平面A1BD⊥平面AC19.(本小题12分)为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品．

(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；(3)已知落在50,60的平均综合评分是54，方差是3，落在60,70的平均综合评分为63，方差是3，求落在50,70的总平均综合评分z和总方差s2．

答案解析1.D

【解析】AB−故选：D．2.B

【解析】解：由题意可得A=x|则∁R所以B∪∁故选：B3.C

【解析】解：由棱台的结构特征可知，A选项说法正确；由圆台的结构特征可知，B选项说法正确；直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体不是圆锥，是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项说法错误；在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项说法正确．故选：C．4.D

【解析】将数据从小到大排序为1，1，2，2，2，2，3，3，5，5，因为10×85%=8.5,8.5不是整数，故取第9个数，第9个数为5，故这组数据的第85百分位数为5．故选：D．5.B

【解析】解：将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π4个单位，可得y=sin2故选：B．6.C

【解析】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有234,243,324,342,423,432，共6种，其中偶数有234,324,342,432，共4种，所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为46故选：C．7.B

【解析】如图，连接DM，由M为AB的中点得CM=DM，设AD=aa>0则CM=a2MD因为CM⊥MD1，所以即a2+4+a2+13=25故选：B8.C

【解析】解：由题意如图所示：设E为BD的中点，连接AE,CE，设P，G分别为▵ABD，▵BCD的外接圆的圆心，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，则可得O为该三棱锥的外接球的球心，连接OC，OE，则OC为外接球的半径，由▵ABD与▵BCD均为边长为2的等边三角形，则AE=CE=又AC=3，则由余弦定理可得cos∠AEC=AE2+C因为P，G分别为▵ABD，▵BCD的外接圆的圆心，

所以CG=23CE=可得▵OPE≅▵OGE，可得∠OEC=60∘，而∠OGE=90在▵OGC中：R2所以外接球的表面积S=4πR故选：C．9.AC

【解析】解：对A：由虚部定义知z的虚部为3，故A对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；对C：z=2对D：z在复平面内对应的点为2,3，位于第一象限，故故选：AC．10.AC

【解析】sin2023π−α=sintanα−2023π=tansin11π2+αcos7π2−α故选：AC．11.ABC

【解析】对于A，因为在△BEF中，高为B到EF的距离，即BB1的长度，为定值，底边为EF的长度，也为定值，所以△BEF的面积为定值，故对于B，因为EF在B1D1上，B1D1//BD,BD⊥AC对于C，A到直线EF的距离等于A到D1B1的距离，由于▵A故A到D1B1的距离为32×2=对于D，易知在该正方体中，D1D⊥平面ABCD，又D1D⊂平面D1DBB1，所以平面故二面角E−BD−C的大小为90∘，故D故选：ABC．12.2

【解析】由题意，得x−2=−1所以x+y=2．故答案为：2．13.−4

【解析】因为a与b是共线向量，所以存在实数λ，使得a=λ所以e1−2e又因为e1,解得λ=故答案为：−4．14.5

【解析】因为fx+2所以fx+4=−fx+2=fx因为fx+2=−fx=f−x当0<x≤1时，fx=x，又易知f0=0，所以由对称性可先画出函数y=fx在区间1,3上图象，根据函数y=fx为奇函数且周期为4，可以画出函数y=fx在由y=fx−log分别画出函数y=fx和y=lo

由f5=f1=1，又log可以得到函数y=fx和y=log5x的图象有5个交点，所以函数故答案为：5．15.解：(1)设试验的样本空间为Ω，

则依题意可得Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9}；

(2)由事件A=“摸到球的号码小于5”，

则A={1,2,3,4}，

由事件B=“摸到球的号码大于4”，

则B={5,6,7,8,9}，

由事件C=“摸到球的号码是偶数”．

则C={2,4,6,8}．

【解析】(1)设试验的样本空间为Ω，即可写出对应的样本空间；

(2)分别由事件A、B、C的定义写出对应的所有样本点，用集合表示即可．16.解：(1)∵cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=15①；

cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=35②.

由①、②联立可得cosαcosβ=25，sinαsinβ=15，

∴tanα⋅tanβ=sinα⋅sinβ【解析】(1)利用两角和与差的余弦函数公式把题设的cos(α+β)和cos(α−β)展开，两式联立可得sinαsinβ=15，cosαcosβ=2517.解：(1)∵在△ABC中，acosC+3asinC−b−c=0，

利用正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入上式并约去2R得：

sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

而sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，

∴sinAcosC+3sinAsinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，

∴3sinAsinC=sinCcosA+sinC，

∵C为三角形内角，∴0°<C<180°，∴sinC≠0，

∴3sinA=cosA+1，即3sinA−cosA=1【解析】(1)用正弦定理将已知式子中的边转化成角的正弦，利用两角和与差的正弦公式化简整理，并结合辅助角公式求解，注意角的范围；

(2)先通过三角形的面积公式求出bc，再借助余弦定理求得b+c，进而求解．18.(1)由题意可知：BB1//DD1则BD//B1D1，且BD⊄平面CD1B1，又因为A1B1//CD，则A1D//B1C，且A1D⊄平面CD1且BD∩A1D=D，BD,A1D⊂平面(2)因为ABCD为正方形，则AC⊥BD，因为∠A1AB=∠可得A1设AC∩BD=O，可知O为BD的中点，则A1且AC∩A1O=O，AC,A1O⊂平面由BD⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥【解析】(1)根据题意可证BD//B1D(2)根据题意可证BD⊥平面ACC19.(1)由频率和为1，得0.005+0.010+0.025+a+0.020×10=1，解得a=0.040设综合评分的平均数为x，则x=10×所以综合评分的平均数为81．(2)由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E；从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间Ω=ab