2025高考数学一轮复习-第54讲-正态分布-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-第54讲-正态分布-专项训练基础巩固练1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),且P(ξ<1)=0.6,则P(ξ>-1)=()A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.22.(2023盐城调研)已知三个正态分布密度函数φi(x)=12πσie-(x-A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ33.若随机变量X满足正态分布N(μ,σ2),则有P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545.现有20000人参加数学测试,成绩大致服从正态分布N(100,102),则可估计本次数学测试成绩在120分以上的学生人数为()A.1587 B.228C.455 D.31744.在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(110,σ2)(σ>0),若ξ在(90,130)内的概率为0.6,任意选取五名学生的成绩,用X表示其中成绩低于90的人数,则()A.E(X)=1.5 B.E(X)=1.2C.D(X)=0.04 D.D(X)=0.85.(多选题)若随机变量X~N(1,σ2),且正态分布N(1,σ2)的正态曲线如图所示,则下列选项中,可以表示图中阴影部分面积的有()A.12-P(X≤B.12-P(X≥C.12P(X≤2)-12P(XD.12-P(1≤X≤6.(多选题)某妇产科医院对该院历年来的新生儿体重情况进行统计,发现新生儿体重X~N(3.4,σ2),且P(X<2)=0.031,则()A.P(2<X<3.4)=0.5B.P(2<X<4.8)=0.938C.P(X<4.8)=0.969D.P(X>5)<0.0317.(2023常州质检)已知随机变量X~N(80,σ2),若P(X>100)=a,P(60<X<100)=b,则2a+1b8.(2023宿迁调研)若某种水果的果实横径X(单位:mm)服从正态分布N(70,52),则果实横径在(65,80)内的概率为.(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.955)

9.(2023盐城月考)某市教育主管部门为了解近期举行的一场数学竞赛的情况,随机抽取500名考生的数学竞赛成绩进行分析,并制成如下的频率分布直方图:(1)求这500名考生在本次数学竞赛中的平均成绩x(精确到整数).(2)由频率分布直方图可认为这次竞赛成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似等于样本的平均数x,σ近似等于样本的标准差s,并已求得s≈18.用该样本的频率估计总体的概率,现从该市所有考生中随机抽取10名学生,记这次数学竞赛成绩在(86,140]之外的人数为Y,求P(Y=2)的值(精确到0.001).附:(1)当X~N(μ,σ2)时,P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545.(2)0.81868×0.18142≈0.0066.综合提升练10.山东烟台苹果因果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁而享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:mm)服从正态分布N(80,52),则直径在(75,90]内的概率为[附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545]()A.0.6826 B.0.8413C.0.8186 D.0.954411.某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测,其某项质量测试指标值X服从正态分布N(18,4),且X落在区间[20,22]内的无人机配件个数为2718,则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值X低于14的个数为[附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973]()A.228 B.455 C.27 D.4012.(多选题)记考试成绩Z的均值为μ,方差为σ2,若Z满足0.66<P(μ-σ<Z<μ+σ)<0.70,则认为考试试卷设置合理.在某次考试后,从20000名考生中随机抽取1000名考生的成绩进行统计,得到成绩的均值为66,方差为196,将样本数据分成7组,得到如下所示的频率分布直方图.用样本估计总体,下列说法正确的有()A.本次考试成绩不低于80分的考生约为4000人B.本次考试成绩的第25百分位数约为47.5C.a=0.030D.本次考试试卷设置合理13.某照明单元按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则照明单元正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(2000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为.

14.正态分布是最重要的一种概率分布,它由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出,但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究,故正态分布又称为高斯分布,记作Y~N(μ,σ2),当μ=0,σ=1时,该正态分布称为标准正态分布.如果令X=Y-μσ,那么可以证明X~N(0,1),即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布.如果X~N(0,1),那么对任意的a,通常记Φ(a)=P(X<a),也就是说,Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(-∞,a)内所围的面积.某校高三年级800名学生期中考试的数学成绩近似服从正态分布,高三年级数学成绩的平均分为100,方差为36,Φ(2)=0.9772,那么成绩落在(88,112]内的人数大约为15.我国是全球制造业大国,制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一,主要产品产量稳居世界前列,为深入推进传统制造业改造提升,全面提高传统制造业核心竞争力,某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为X(单位:nm).(1)现有旧设备生产的零件共7个,其中直径大于10nm的有4个,现从这7个零件中随机抽取3个.记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为23,每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测,若合格的零件数η超过半数,则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及η的方差(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N(9,0.04),从生产的零件中随机取出10个,求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.6827,P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545,P(|X-μ|≤3σ)≈0.9973,0.9772510≈0.7944,0.954510≈0.6277.创新应用练16.(多选题)老张每天17:00下班回家,通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家,公交车有A,B两条线路可以选择.乘坐线路A所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(44,4),下车后步行到家要5分钟;乘坐线路B所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(33,16),下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为合理的有(参考数据:Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.9973)()A.若乘坐线路B,则18:00前一定能到家B.乘坐线路A和乘坐线路B在17:58前到家的可能性一样C.乘坐线路B比乘坐线路A在17:54前到家的可能性更大D.若乘坐线路A,则在17:48前到家的可能性不超过1%参考答案1.A2.D3.C4.D5.ABC6.BCD7.98.0.8199.解(1)x=10×(65×0.0028+75×0.01+85×0.01+95×0.018+105×0.02+115×0.018+125×0.012+135×0.008+145×0.0012)=10×10.416=104.16≈104.(2)由题意知X~N(μ,σ2),且μ=104,σ=18,∴86=104-18=μ-σ,140=104+18×2=μ+2σ,∴P(86<X≤140)=P(μ-σ<X≤μ+2σ)≈0.6827+0.则P(X≤μ-σ或X>μ+2σ)≈1-0.8186=0.1814,可得Y~B(10,0.1814),∴P(Y=2)=C102×0.18142×0.81868≈45×0.0066≈010.C11.B12.AC13.381415.解(1)由题意,可知ξ的可能取值为0,1,2,3,则P(ξ=0)=C4P(ξ=1)=C4P(ξ=2)=C4P(ξ=3)=C4故ξ的分布列为ξ0123P112184所以ξ的数学期望E(ξ)=0×135+1×1235+2(2)由题意知,η可取的值为0,1,2,3,4,5,6,则P(η=4)=C64·234·132=80243;P(η所以技术攻坚成功的概率P(η≥4)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=496因为η~B6,23,所以η的方差D(η)(3)由X~N(9,0.04),可知σ=0.2.因为P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545,所以P(8.6≤X≤9.4)≈0.9545,所以P(9≤