2023苏教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-强化练3 椭圆与双曲线的综合应用

专题强化练3椭圆与双曲线的综合应用

一、选择题

1.（2022江苏盐城五校期中联考）若椭圆马4-*1（a>b>0）和双曲线m-*1（m,n>0）有相同的

焦点FbF2,P是两条曲线的一个交点,则PR•PF2的值是（）

A.y/a—y/mB.1（a2-m）

C・a2-mDn.a2-m2

2.（2021江苏南京田家炳高级中学月考）在平面直角坐标系中，已知A（-l,0）,B（l,0）,以及动点

C是4ABC的三个顶点,且sinA-sinB+cosC=0,则动点C的轨迹r的离心率是（）

A.V3B.V2

C.叵D,它

22

2

3.（2020江苏上冈高级中学期中）已知双曲线C：Vy-l（a>0）的右焦点为F,点P为C的一条渐

近线上的点,0为坐标原点,若PO=PF,则SMPF的最小值为（）

A.-B.-C.1D.2

42

22

4.（多选）（2021江苏南通如东高级中学、泰州高级中学联考）已知双曲线3-3=l（a>0,b>0）的

a2b2

左、右焦点分别为FbF2.P为双曲线上一点,且PF,=2PF2,若sinNFFR=乎,则下列结论正确的

4

是（）

A.e=V6B.e=4

C.b=V5aD.b=V3a

22

5.（2021江苏扬州宝应中学期中）已知FbF2分别是椭圆C京+31（a〉b>0）的左、右焦点，过F,

22

的直线1交椭圆于D,E两点,DF产5RE,DF2=V2,KDF2±x轴.若点P是圆0:x+y=l上的一个动

点，则PR・PFz的取值范围是（）

A.[3,5]B.[2,5]

C.[2,4]D.[3,4]

6.（2021江苏南通如皋期中）已知双曲线C:弓-（a>0,b>0）的右焦点为F,关于原点对称的

a2b2

两点A,B分别在双曲线的左、右两支上,AF-FB=0,3前=正且点C在双曲线上,则双曲线的

离心率为（）

A.V2C.V3D.2

・2

7.（2021江苏常州北郊高级中学期中）我们通常称离心率是怨的椭圆为“黄金椭圆”.如图，

22

已知椭圆5号+3=1色功＞0）4,人2,8/2分别为左、右、上、下顶点,分别为左、右焦点,P

Mbz

为椭圆上一点，则下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是（）

2

A.A1F）,A2F2=FIF2

B.NFIBA2=90°

C.PF-x轴，且PO〃AB

D.四边形ABABi的一个内角为60°

二、填空题

8.（2022江苏南通如皋、盐城射阳联考）椭圆与双曲线有相同的焦点R（-C,0）,F2（C,0）,椭圆短

轴的一个端点为B,直线F,B与双曲线的一条渐近线平行,若椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2（

则ee=;3肾+赍的最小值为.

9.（2021江苏南通海安期中）日,F2分别是椭圆C:二+\=1的左、右焦点，点P在椭圆C上,PFklO,

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过K作NKPF2的平分线的垂线，垂足为M,则OM的长为.

三、解答题

10.（2022河南重点高中联考）已知椭圆C=+瞑l（a＞b〉0）的离心率为经，双曲线乂守=1的渐

近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为日.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若点A是椭圆C的右顶点，直线y=k（x-l）与椭圆C交于不同的两点M,N,当4AMN的面积为产

时，求k的值.

11.（2021江苏镇江期中）已知椭圆G附+（a〉b＞。）的长轴长为8,定直线x=9的方程为

x年,与椭圆G共焦点的双曲线G的离心率是椭圆C.的离心率的2倍.

(1)求椭圆C和双曲线C2的标准方程；

⑵过点M(4,1)的直线1与双曲线C2交于P,Q两点,且M为线段PQ的中点,求直线1的方程.

答案全解全析

一、选择题

1.D由题意，得PF!+PF2=2a,|PF-PF2|=2m,

22

两式平方并相减,得4PFi•PF2=4a-4m,所以PFt•PFz=a—/.故选D.

2.D由sinAsinB+cosC=0可得sinAsinB-cos(A+B)=0,

即sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB=0,

即2sinAsinB=cosAcosB,

所以tanAtanB=1,所以鼠・kw：二-*

设C(x,y),XW±1,所以三•三=一即X，七1(xW±1),所以1=1,b=,则c2=a2-b24则轨迹「的离心率e=£=

x+1x-12-22a

2

当故选D.

2

3.B由题意知,双曲线C:--y=l(a>0)的渐近线方程为y二土工x,设F(c,0),P(xP,yp)在渐近线y)x上，

azaa

因为P0=PF,所以点P的横坐标x《,代入渐近线方程可得打焉所以点P的坐标为传,盘),所以SA尾XCX5=

-=—=-+工》2l-x-=当且仅当士=工口寸，即a=l时,等号成立,所以S△咻的最小值为士故选B.

4Q4a44aq44a244a2

4.ACDVPFI=2PF2,A由双曲线的定义可知PF-PF2=PF2=2a,.\PFl=4a.

由sinNFFFz组,得cosZF>PF2=±i在△PFE中，

44

由余弦定理可得cosNFFE芈警纪=±~,

2x2ax4a4

解得斤4或,6,・建=22或c=V6a,.*.b=V3a或b=V5a,e=2或e=V6,故选ACD.

(先+=1

5.A由题意可知D(c,鱼),E([c,-日)，将D,E的坐标代入椭圆方程得]]〃记]，

1-25-a27H25b772=L

解得a2=8,b?=4,

所以椭圆方程为三+匕1,

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所以椭圆的焦点为品(-2,0),邑(2,0).因为P在圆(+y2=l上，所以可设P(cos0,sin。),

所以PR•PF2=J(COS6»+2)2+siM。•V(cos0-2)2+sin20=V25-16cos20e[3,5],所以PR•PF?的取值范围为

[3,5].故选A.

6.B设B(x,y),则A(-x,-y),

设F(c,0),C(m,n),

则丽=(c-x,-y),FC=(m-c,n).

V35F=FC,

.(3(c-x)=m-c,(m=4c-3x,„,,

••l-3y=n叱=-3y,C(4c-3x,-3y).

易得Q二(c+x,y),

,\AF•FS=(c+x,y)•(x-c,y)=0,即c2=x2+y2©.

又点B,C均在双曲线上，...马一[=1②，如孚一誓=1③.

a2b2a2bz

由①②③结合c'a'+bZ可得a2+2c2=3aV2c2-a2,

两边同时除以占可得1+2偿=3的工，

两边同时平方，得(1+2，)2=9(21-1),

即2/-7/+5=0,二(2,-5)(e?T)=0,

又双曲线的离心率e>l,.,.e24即e=』=苧故选B.

7.B易知AGa,0),4(a,0),B1(0,b),B2(0,-b),Fi(-c,0),F2(c,0).

对于A,若AE•A^F.^2,则(a-c)2=(2c)；\e=：,不满足题意,故A不符合条件；

对于B,若NFB也=90°,则AFj=B/J+^2^

(a+c)2=a2+aJ+bJ,c2+ac-a2=0,e+e-l=0,

解得e=?或6=与（舍去），故B符合条件；

2好

222

对于C,若PFilx轴，且P0/7A2Bb贝I」P（・c，3），且km二心2%，・••亳=士解得b=c,Va=b+c,

.*.a=V2c,=^=y,不满足题意，故C不符合条件；

对于D,若四边形ABA2B1的一个内角为60°,则三角形AiBB是等边三角形，・・.a=V5b,

•*-e2=l-^=1-f=I，e=：Y，故D不符合条件.故选B.

a”333

二、填空题

8.答案1;2国

解析由题意可知,双曲线的焦点在x轴上，设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,双曲线的实轴长为2a',虚轴长为

2b',B为椭圆的上顶点，因为直线F,B与双曲线的一条渐近线平行,所以k&B=，即*=p平方得，=捺,化简得

答=嘤所蟾f所吗建,

即ez=A所以ee=l.

e-i

因为e”e?均为正数,所以3督+e/》2j3e"&=2V3ele2=2V3,当且仅当3ef=el，eiez=l,即登=y,ef=V3

时取等号,所以3e£+多的最小值为2Vs.

9.答案2

解析延长FM交PF?的延长线于点N,如图所示：

由椭圆C：E+《=1可得a=8,

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由椭圆的定义可得PR+PFz=2a=16,

又PF曰0,所以PFz=6.

易得ARNM当△PFM所以PN=PFl=10,

所以NF2=PN-PFZ=10-6=4,易得0M为aFiEzN的中位线，所以0M-|NF2=2.

三、解答题

10.解析⑴因为椭圆C的离心率为鼻所以e=£=g

2a2

即c2=^a2,又c2=a2-b2,所以b2=ia2,即a2=2b2.

双曲线x2-y2=l的渐近线方程为厂土x,

将y=±x代入椭圆C的方程,消去y,得捺+含1,即系+5=茅口，所以x2=|b2,解得x=±争,

则双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点的坐标为件b,乎b)

所以以这四个交点为顶点的四边形的面积为4X曰bx处=渺=热解得b2=2,则a2=4.

所以椭圆C的标准方程为1+q=1.

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y=k(x-l),

(2)由/2消去y,可得(1+21?)*2-4居(+21-4=0,则A=16k4-4(l+2k2)(2k--4)=16+24k2>0.

匕+3=1'

设点M,N的坐标分别为(x】，yi),(x2,y2),则x1+x?二三，,xlx2=当白

l+2hl+2kz

所以MN=AT/•忌丁密=VTT^•倚・

又点A(2,0)到直线y=k(xT)的距离dJ=,