北京市东城区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

北京市东城区2016届九年级上期末数学试卷含

答案解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.若关于的x方程x2+3x+a=0有一个根为-1,则a的值为（）

A.-4B.-2C.2D.-4

2.二次函数y=-x2+2x+4的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.一只不透亮的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都

相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必定事件的是（）

A.至少有1个球是黑球B.至少有1个球是白球

C.至少有2个球是黑球D.至少有2个球是白球

5.在RtaABC中，ZC=90°,若BC=1,AC=2,则cosA的值为（

近275_1

A.TB.C.2D.2

6.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是通过点（2,0）且平行于y

轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）

A.xl=0,x2=4B.xl=l,x2=5C.xl=l,x2=-5D.xl=-1,x2

=5

S/kADE

AI^ABC中，DE〃BC,AD=6,DB=3,则S4ABC的值为（

_12^44

A.2B.3C.5D.9

（O\的半径为3,点P是弦AB延长线上的一点，连接OP,

若（［，则弦AB的长为（）

A.2辰B.273C.V5D.2

kA,B,C在。O上,CO的延长线交AB于点D,ZA=5

则NADC的度数为（）

A.70°B.90°C.110°D.120°

10.如图1,在AABC中，AB=AC,NBAC=120°,点O是BC的中

殳点D通过的路径长为x,图1

三系的图象大致如图2所示，则

A.BDB.ODC.ADD.CD

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11.请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1;②方

程有两个相等的实数根，此方程能够是.

12.抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位

长度后，得到的抛物线的解析式为.

OO的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC,C

D坛若CD=百，则。O半径的长为

14.如图，某校数学爱好小组利用自制的直角三角形小硬纸板DEF来

周整测量位置，使斜边DF与地面保持

一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25

米，到旗杆的水平距离DC=20米，则

A弧,2),B(2、巧，1),将AAOB绕着点O逆时

%»BZ,则图中阴影部分的面积为

---->

16.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下咨询题:

尺规作图，过圆外一点作圆的切线.

已知：。。和点P

求过点P的OO的切线

小涵的要紧作法如下;________________________________

如图，(1)连结OP,作线段OP的中点A；

(2)以A为圆心，OA长为半径作圆，交。O于点B,C；

(3)作直线PB和PC.

因此PB和PC确实是所求的切线

:法正确的

・P到依据是—

三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分,

第28题7分，第29题8分)

17.运算：4cos45°+tan60°-泥-(-1)2.

18.解方程：x2-6x-1=0.

卜，D为BC上一点，ZBAD=ZC,AB=6,BD=4,

C

20.已知：抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1通过坐标原点，且当x<

0时，y随x的增大而减小.

(1)求抛物线的解析式；

(2)结合图象写出y<0时，对应的x的取值范畴；

(3)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴

的平行线交抛物线于另一点D,再作AB±x轴于点B,DC±x轴于点C.当

BC=1时，直截了当写出矩形ABCD的周长.

21.列方程或方程组解应用题：

某公司在2013年的盈利额为200万元，估量2015年的盈利额达到24

2万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额

的年平均增长率是多少？

22.如图，在方格网中已知格点AABC和点O.

(1)画AA'B'C/和AABC关于点O成中心对称；

(2)请在方格网中标出所有使以点A、O、C'、D为顶点的四边形是

平行四边形的D点.

23.石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳

游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中

的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”.两

人游戏时，若显现相同手势，则不分胜负游戏连续，直到分出胜负，游戏

终止，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏连续,

若显现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，现在,

参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获

胜，假定甲、乙、丙三人每次差不多上随机地做这三种手势，那么：

(1)直截了当写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负

的概率；

(2)请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时,

不分胜负的概率.

24.如图，^ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O与BC相交于点

25.如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他

们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45。，再

向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分不是60。和30。，

这/c事曲疝?八。的长度就能通过运算求出电线杆PQ的高度，你同意他

们白/彳同意，画出运算时的图形，简要写出运算的思路，不

,*

用4响意，提出你的测量方案，并简要写出运算思路.

A

26.请阅读下面材料，并回答所提出的咨询题.

三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段

和那个角的两勃对应成比例.

ABBD

已知：AC=DC

证明：过C作CE〃DA,交BA的延长线于E.

Z1=ZE,N2=N3.----------①

TAD是角平分线，

AZ1=Z2.

N3=NE.----------②

又…AD〃CE,

ABBD

/.AE=DC-----

ABBD

AAQ=DC.

(1)上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？(写出两条即可)

(2)用三角形内角平分线定明白得答，已知，AABC中，AD是角平

分线，AB=7cm,AC=4cm,BC=6cm,求BD的长;

E它们面积的比就等于底

的E证明三角形内角平分线

定田

B

27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-8mx+16m-1(m>0)

与x轴的交点分不为A(xl,0),B(x2,0).

(1)求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；

(2)若AB=2,求此抛物线的解析式.

(3)已知x轴上两点C(2,0),D(5,0),若抛物线y=mx2-8mx+

16m-1(m>0)与线段CD有交点，请写出m的取值范畴.

28.已知，在等边AABC中，AB=2盯，D,E分不是AB,BC的中点

(如图1).若将ABDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1,设旋转角为a

(0°<a<180°),记射线CE1与AD1的交点为P.

(1)判定4BDE的形状；

(2)在图2中补全图形,

29.已知两个函数，如果关于任意的自变量x,这两个函数对应的函数

值记为yl,y2,都有点(x,yl)、(x,y2)善于点(x§x)对称，则称这

两个函数为关于y=x的对称函数，例如，yl=2c和y2=2x为关于y=x的对

称函数.

(1)判定：①yl=3x和y2=-x；②yl=x+l和y2=x-1；③yl=x2+l和

y2=x2-l,其中为关于y=x的对称函数的是(填序号)

(2)若yl=3x+2和y2=kx+b(kWO)为关于y=x的对称函数.

①求k、b的值.

②关于任意的实数x,满足x>m时，yl>y2恒成立，则m满足的条

件为.

(3)若yl=ax2+bx+c(a/0)和y2=x2+n为关于y=x的对称函数，且

关于任意的实数x,都有yl〈y2,请结合函数的图象，求n的取值范畴.

2015-2016学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.若关于的x方程x2+3x+a=0有一个根为-1,则a的值为（）

A.-4B.-2C.2D.-4

【考点】一元二次方程的解.

【分析】按照一元二次方程的解的定义，把x=-l代入方程得到关于a

的一次方程，然后解此一次方程即可.

【解答】解：把x=-1代入方程x2+3x+a=0得1-3+a=0,

解得a=2.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边

相等的未知数的值是一元二次方程的解.

2.二次函数y=-x2+2x+4的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】二次函数的最值.

【专题】运算题.

【分析】先利用配方法得到y=-（x-1）2+5,然后按照二次函数的最

值咨询题求解.

【解答】解：y=-（x-1）2+5,

Va=-KO,

.,.当x=l时，y有最大值，最大值为5.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的最值：当a>0时，抛物线在对称轴左

侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧by随x蓝二;2而增大，因为图象

有最低点，因此函数有最小值，当x=-2a时，y=4a；当a<0时，抛

物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧：y随x广：2而

减少，因为图象有最高点，因此函数有最大值，当x=-2a时，y=4a；

确定一个二次函数的最值，第一看自变量的取值范畴，当自变量取全体实

数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范畴时，要分

不求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】中心对称图形.

【分析】按照中心对称图形的概念求解.

【解答】解：第1个、3个图形是中心对称图形，共2个.

故选B.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要查找对

称中心，旋转180度后与原图重合.

4.一只不透亮的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都

相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必定事件的是（）

A.至少有1个球是黑球B.至少有1个球是白球

C.至少有2个球是黑球D.至少有2个球是白球

【考点】随机事件.

【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球

是黑球，因此按照必定事件的定义可判定A选项正确.

【解答】解：一只不透亮的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除

颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必定事件；

至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球差不多

上随机事件.

故选A.

【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发

生的事件，称为随机事件.事件分为确定事件和不确定事件（随机事件）,

确定事件又分为必定事件和不可能事件，

5.在RtZkABC中，ZC=90°,若BC=1,AC=2,则cosA的值为（

）近275_1

A.TB."VC.2D.2

【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】按照题意画出图形，进而利用勾股定理求出斜边长，再利用

锐角三角函数关系得出答案.

【解答】解：如图所示：...NC=90°,BC=1,AC=2,

【点评】此题要紧考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确把握

锐角三角函数关系是解题关键.

6.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是通过点（2,0）且平行于y

轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）

A.xl=0,x2=4B.xl=l,x2=5C.xl=l,x2=-5D.xl=-1,x2

=5

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】按照对称轴方程-冬2,得b=-4,解x2-4x=5即可.

【解答】解：.••对称轴是通过点（2,0）且平行于y轴的直线，

b

,2=2,

解得：b=-4,

解方程x2-4x=5,

解得xl=-l,x2=5,

故选：D.

【点评】本题要紧考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程

的关系，难度不大.

/S/kADE

AI^ABC中，DE〃BC,AD=6,DB=3,则S4ABC的值为(

_12^44

A.2B.3C.5D.9

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】条件能够求出AD：AB=2；3,再由条件能够得出aADEs4

ABC,最后由相似三角形的性质就能够得出结论.

【解答】解:VAD=6,DB=3,

，AB=9,

•「DE〃BC,

,•S^ADE'ES式ABC,24

...SAABC=(AB)2=(3)2=9.

故选D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练把握相似三角形

的面积比是相似比的平方是解题的关键.

的半径为3,点P是弦AB延长线上的一点，连接OP,

,则弦AB的长为()

QA.2yB.273C.V5D.2

【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【分析】连接OA,作OCLAB于C,按照垂直定理得到AC=BC,按

照直角三角形的性质得到OC=2,按照勾股定理求出AC的长即可得到答案.

【解答】解：连接OA,作OCLAB于C,

贝|]AC=BC,

VOP=4,NP=30°,

【点评】本题考查的是垂直定理和直角三角形的性质，把握垂直弦的

直径平分这条弦，同时平分弦所对的两条弧、在直角三角形中，30°角所

对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

kA,B,C在。O上，CO的延长线交AB于点D,ZA=5

则NADC的度数为（）

A.70°B.90°C.110°D.120°

【考点】圆周角定理.

【分析】按照圆周角定理求得NBOC=100°,进而按照三角形的外角

的性质求得NBDC=70。，然后按照邻补角求得NADC的度数.

【解答】解：...NA=50°,

NBOC=2NA=100°,

VZB=30°,NBOC=NB+uBDC,

二.NBDC=NBOC-NB=100°-30°=70°,

ZADC=180°-ZBDC=110°,

故选C.

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等

弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关

键.

10.如图1,在AABC中，AB=AC,NBAC=120。，点O是BC的中

点，点D沿B-A-C方向从B运动到C.设点D通过的路径长为x,图1

之系的图象大致如图2所示，则

X

【考点】动点咨询题的函数图象.

【分析】按照图象，结合等腰三角形的性质，分点当点D在AB上，

当点D在AC上以及勾股定理分析得出答案即可.

【解答】解：当点D在AB上，则线段BD表示为y=x,线段AD表示

为y=AB-x为一次函数，不符合图象；

不符合图象;

作OE±AB,

,点OfBC骑，设A掂AC=a,3ZBAC=120°.

.\AO=2,BO=Ta,OE=Ta,BE=4a,

设BD=x,OD=y,AB=AC=a,

3

/.DE=4a-x,

在RtAODE中，

DE2+OE1-OD2,0

.♦.y2=(4a-x)2+(4a)2

33

整理得：y2=x2-2ax+4a9,

33

当OVxWa时，y2=x2-2ax+4a2,函数的图象呈抛物线并开口向上，

由此得出这条线段可能是图1中的OD.

故选：B.

【点评】本题考查了动点咨询题的函数图象，按照图形运用数形结合

列出函数表达式是解决咨询题的关键.

二、填空题(本题共18分，每小题3分)

11.请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1;②方

程有两个相等的实数根，此方程能够是x2+2x+l=0.

【考点】根的判不式.

【专题】开放型.

【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，判不式等于0.答案不唯

独.

【解答】解：..•一元二次方程ax2+bx+c=0(ar0)有两个相等的实数

根，

b2-4ac=0,

符合条件的一元二次方程能够为x2+2x+l=0(答案不唯独).

故答案是：x2+2x+l=0.

【点评】此题考查了根的判不式.一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)

的根与△=b2-4ac的关系为：

①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当AVO时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

12.抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位

长度后，得到的抛物线的解析式为y=x2-8x+20.

【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】按照题意易得新抛物线的顶点，按照顶点式及平移前后二次

项的系数不变可得新抛物线的解析式.

【解答】解：y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其顶点坐标为(1,2).

向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4,

4),得到的抛物线的解析式是y=(x-4)2+4=x2-8x+20,

故答案为：y=x2-8x+20.

【点评】此题要紧考查了次函数图象与几何变换，要求熟练把握平移

的规律：左加右减，上加下减.

,OO的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC,C

D上*―j---若CD=V3,则（DO半径的长为1.

【考点】切线的性质.

【分析】如图，连接DO,第一按照切线的性质能够得到NODC=90。，

又AC=3BC,O为符的中点，由此能够得到NC=30°,利用锐角三角函

数的定义可得OD=》CD,可得结果.

【解答】解：如图，连接DO,

.「CD是。O切线，

AODICD,

二.NODC=90°,

•「AB是。O的一条直径，AC=3BC,

二.AB=2BC=OC=2OD,

•••/c遛,

.'.OD=3CD,

【点评】本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识，常通过作

辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关咨询题是解答

本题的关键.

14.如图，某校数学爱好小组利用自制的直角三角形小硬纸板DEF来

测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持

平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25

米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则

旗杆的高度为11.5米.

、、、铲、、、、、、、、、、、、、、

【考点】相似三角形的应用.

【分析】按照题意证出△DEFS^DCA,进而利用相似三角形的性质

得出AC的长，即可得出答案.

【解答】解：由题意得：ZDEF=ZDCA=90°,NEDF=NCDA,

ADPFC^ADCA.

DE_EF0.5=0.25

则由化即20=AC,

解得：AC=1O,

故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m),

即旗杆的高度为11.5m；

故答案为：11.5.

【点评】此题要紧考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应

边成卬物星好颖关辘

V3,2),B(2遮，1),将△AOR绕着点O逆时

过九

>B',则图中阴影部分的面积为4.

0X

【考点】扇形面积的运算；坐标与图形变化-旋转.

【分析】按照旋转的性质可知胃段部分的面积=5扇形A'OA-S扇形

n兀R

B'OB,按照扇形的面积公式S="^^运算即可.

【解答】解：...点A的坐标为(273,2),

，OA=4,

•.•点B的坐标为(2遥，1),

.*.OB=V13,

由旋转的性质可知，SAAZOB'=SAAOB,

.•一阳当都分的面和=S扇形A'OA-S扇形B，OB

90—X1690冗义13

=-360--360-

4冗

二4'3

—JT

故答案为：4.

【点髭题考查的是扇形的面积运算和旋转的性质，把握扇形的面

n兀R

积公式s=短"、正确按照旋转的性质表示出阴影部分的面积是解题的关

键.

16.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下咨询题：

尺规作图，过圆外一点作圆的切线.

己知：。。和点P

求过点P的。o的切线

_小涵的要紧作法如下：________________________________________

如图，(1)连结0P,作线段0P的中点A；

(2)以A为圆心，0A长为半径作圆，交。O于点B,C；

(3)作直线PB和PC.

因此PB和PC确实是所求的切纸.

:法正确的

•图依据是直径所对的圆周角是直角.

O【考点】切线的判定；作图一复杂作图.

【分析】按照圆周角定理得出NPBO=NPCO=90°,即OBJ_PB,OC

1PC,即可证得PB、PC是。。的切线.

【解答】解：TOP是。A的直径，

AZPBO=ZPCO=90°,

.;OB±PB,OC±PC,

VOB,OC是。O的半径，

/.PB,PC是。。的切线；

则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角.

故答案为：直径所对的圆周角是直角.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种差不多作图

的基础上进行作图，一样是结合了几何图形的性质和差不多作图方法.解

决此类题目的关键是熟悉差不多几何图形的性质，结合几何图形的差不多

性质把复杂作图拆解成差不多作图，逐步操作.也考查了切线的判定.

三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，

第28题7分，第29题8分)

17.运算：4cos45°+tan60°一圾-(-1)2.

【考点】实数的运算；专门角的三角函数值.

【分析】分不进行专门角的三角函数值、二次根式的化简、乘方等运

算，然后合并.

【解答】解：原式=2&+正-2&-1

=Vs-1.

【点评】本题考查了实数的运算，涉及了专门角的三角函数值、二次

根式的化简、乘方等知识，属于基础题.

18.解方程：x2-6x-1=0.

【考点】解一元二次方程-配方法.

【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9,左边化为完全

平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即

可得到原方程的解.

【解答】解:x2-6x-1=0,

移项得：x2-6x=l,

配方得：x2-6x+9=10,即(x-3)2=10,

开方得：x-3=±V10,

贝(Jxl=3+VIo,X2=3-VTo.

【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时,

第一将二次项系数化为1,常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系

数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一

次方程来求解.

A

卜，D为BC上一点，ZBAD=ZC,AB=6,BD=4,

求(

B，----------D---------------4c

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】易证△BADs^BCA,然后运用相似三角形的性质可求出B

C,从而可得到CD的值.

【解答】解：VZBAD=ZC,NB=NB,

...ABAD^ABCA,

BABD

ABC=BC.

VAB=6,BD=4,

64

，BC=9,

，CD=BC-BD=9-4=5.

【点评】本题要紧考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到

三角形相似是解决本题的关键.

20.已知：抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1通过坐标原点，且当x<

0时，y随x的增大而减小.

(1)求抛物线的解析式；

(2)结合图象写出y<0时，对应的x的取值范畴；

(3)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴

的平行线交抛物线于另一点D,再作AB±x轴于点B,DC±x轴于点C.当

BC=1时，直截了当写出矩形ABCD的周长.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)按照图象过原点，可得关于m的方程，按照解方程，可

得答案；

(2)按照函数与不等式的关系：图象位于x轴下方部分是不等式的解

集，可得答案；

(3)按照平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得A、

D点关于对称轴对称，按照AB_Lx轴于点B,DC_Lx轴于点C,可得B点

坐标，按照自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，按照矩形的周长

公式，可得答案.

【解答】解：一'一■'x+m2-1通过坐标原点，得

m2-1=0,解彳；\I

当xvo时，y,

得m=_1.\/

抛物线的解)\/

(2)由图象_______—(L____>得

位于x轴下;。\/x

y<0时，对D；

(3)如图2图2,

由AD〃x轴，得

A、D关于对称轴x=1.5对称，

B、C关于对称轴x=1.5对称，且BC=1,得

1.5-0.5=1,即B(1,0).

当x=l时，y=l-3=-2,

即A(1,-2).

矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2X(2+1)=6.

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式,

利用函数与不等式的关系：图象位于x轴下方部分是不等式的解集；利用

平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出A、D关于对称轴

对称是解题关键.

21.列方程或方程组解应用题：

某公司在2013年的盈利额为200万元，估量2015年的盈利额达到24

2万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额

的年平均增长率是多少？

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】增长率咨询题.

【分析】设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x,按照题意可得,

2013年的盈利额X(1+增长率)2=2015年的盈利额，据此列方程求解.

【解答】解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x,

由题意得，200X(1+x)2=242,

解得：x=0.1.

答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是0.1.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读明白

【考点】作图-旋转变换；平行四边形的判定.

即可画出图形，

C'、D为顶点的四

D

【点评】此题考查了作图-旋转变换，用到的知识点是旋转、中心对

称、平行四边形的判定，关键是把握中心对称的作法，作平行四边形时注

意画出所有符合要求的图形.

23.石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳

游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中

的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头两

人游戏时，若显现相同手势，则不分胜负游戏连续，直到分出胜负，游戏

终止，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏连续,

若显现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，现在,

参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获

胜，假定甲、乙、丙三人每次差不多上随机地做这三种手势，那么：

(1)直截了当写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负

的概率；

(2)请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时,

不分胜负的概率.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】运算题.

【分析】(1)甲、乙两人出第一次手势时，共有9种等可能的结果数,

其中显现相同手势的结果数为3,因此按照概率公式可运算出不分胜负的概

率；

(2)画树状图展现所有27种等可能的结果数，再找出三种手势都相

同或都不相同的结果数，然后按照概率公式求解.

—两人出第一次手势时，不分胜负

献一4^

石头布剪刀

石头畲

a头m剪刀石头布剪刀石头布剪刀

共有27种等可能的结果数，其中三种手势都相同或都不相同的结果数

因此甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率=旗至

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展现

所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然

后按照概率公式求出事件A或B的概率.

24.如图，AABC中，AB=AC,以AB为直径的。O与BC相交于点

【考点】切线的判定.

【分析】（1）连接OD,按照等边对等角得出NB=NODB,ZB=ZC,

得出NODB=NC,证得OD〃AC,证得OD_LDF,从而证得DF是OO的

切线；

（2）连接BE,AD,AB是直径，ZAEB=ZADB=90°,按照等腰三

角形的性质得出NABC=NC,BD=DC,通过解直角三角形求得AD,按照

勾股定理得出BD,进而求得BC,解直角三角形BCE求得BE,然后按照

勾股定理即可求得AE.

【解答】（1）证明：连接OD,

VOB=OD,

二.ZB=ZODB,

VAB=AC,

二.NB=NC,

二.NODB=NC,

，OD〃AC,

VDF±AC,

.;OD±DF,

♦.DF是。O的切线；

(2)解：连接BE,AD,

「AB是直径，

二NAEB=NADB=90°,

/AB=AC,

•.NABBNC,BD=DC,

V3

.*sinC=3,f-

ADV3

sinZABC=AB^3,

「AB=2OA=6,

，.AD=2遥，

•.BD=VAB2-AD2=2V6,

•.BC=2BD=4"0

BEV3

C=BC3,

472,___________

JAB2-BE2=V62-（472）2=2.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线

的判定，勾股定理的应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等.

25.如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他

们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45。，再

向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分不是60°和30。，

这曲伽？入。的长度就能通过运算求出电线杆PQ的高度，你同意他

们白彳同意，画出运算时的图形，简要写出运算的思路，不

用力///•'.•]01同意，提出你的测量方案，并简要写出运算思路.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角咨询题.

【分析】延长PQ交直线AB于点E,设测出AB的长度为m米，在直

角4APE和直角4BPE中，按照三角函数利用PE表示出AE和BE,按照

AB=AE-BE即可列出方程求得PE的值，再在直角4BQE中利用三角函数

求得QE的长，则PQ的长度即可求解.

【解答】解：同意他们的测量方案；

延长PQ交直线AB于点E,

设测出AB的长度为m米.

在直角4APE中，NA=45°,

贝（］AE=PE；

,/ZPBE=60°

NBPE=30°r

在直角ABPE中，BE=3PE,

；AB=A&-BE=m,

M+3

6m.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，注意把握当两个直角三角形

有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一样思路.

26.请阅读下面材料，并回答所提出的咨询题.

三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段

和那个角的两勃对应成比例.

ABBD

已知：AC=DC

证明：过C作CE〃DA,交BA的延长线于E.

Z1=ZE,N2=N3.----------①

「AD是角平分线，

二.N1=N2.

二.N3=NE.----------②

又…AD〃CE,

ABBD

AFi=nc--------(3)

ABBD

AAC=DC.

(1)上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？(写出两条即可)

(2)用三角形内角平分线定明白得答，已知，^ABC中，AD是角平

分线，AB=7cm,AC=4cm,BC=6cm,求BD的长;

E

它们面积的比就等于底

的E证明三角形内角平分线

定理

B

【考点】相似形综合题姻以

【分析】(1)由比例式屉而，想到作平行线,用到了平行线的性质定

理；只要证照AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE〃AD,

ABBD

写出比例式星云，用到了平行线分线段成比例定理(推论)；

(2)利用三角形内角平分线性质定理，列出比例式，代入数据运算出

结果.

(3)按照三角形的面积公式进行证明即可.

【解答】解：(1)证明过程中用到的定理有:

①平行线的性质定理；

②等腰三角形的判定定理；

③平行线分线段成比例定理；

(21二AD是角平分线，

BD_AB

ADC=AC,

D-cm

X**ODUn7»AC=4cm,BC=6cm,

42

BD=11(cm).ii

票DXh-^ABXh

(3),?AABD和△ACD的高相等----J三-----兽

yLDC,AC

可得：AARD和AACD面积的比=?‘h=2ACXh

BDAB

可得：DC-AC.

【点评】此题是一道材料题，按照材料推得的结果进行解题，要紧考

查平行线分线段成比例定理的明白得及运用.

27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-8mx+l6m-1(m>0)

与x轴的交点分不为A(xl,0),B(x2,0).

(1)求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；

(2)若AB=2,求此抛物线的解析式.

(3)已知x轴上两点C(2,0),D(5,0),若抛物线y=mx2-8mx+

16m-1(m>0)与线段CD有交点，请写出m的取值范畴.

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式.

【专题】运算题.

【分析】(1)证明△>()即可；

利用抛物线与轴的交点咨询题，贝、为方程

(2)xUxlx2ny■LRbm-一J¥.mx+

16m-1=0的两根，利用根与系数的关系得到xl+x2=8,xl•m,再

变形|xl-x2|=2得到(xl+x2)2-4x1,x2=4,因此82-4・m=4,然后

解出m即可得到抛物线解析式；

(3)先求出抛物线的对称轴为直线x=4,利用函数图象，由于抛物线

开口向上，则只要当x=2,y20时，抛物线与线段CD有交点，因此得到4

m-16m+16m-1^0,然后解不等式即可.

【解答】(1)证明：△=64m2-4m・(16m-1)

=4m,

Vm>0,

•••抛物线总与x轴有两个不同的交点；

按照题汽，、为方雪的两根,

(2)-oirxiblin-xi2-8mx+16m-1=0

xl+x2=-m=8,xl•x2=m,

V|xl-x2|=2,

(x1+x2\°4x1•x2=4,

1d6m-1

二.82-4・~=4,

m=1,

二.抛物线的解析式为y=x2-8x+15-81r

(3)抛物线的对称轴为直线x=-2m=4,

...抛物线开口向上，

...当x=2,y与0时，抛物线与线段CD有交点,

4m-16m+16m-120,

1

二.mN4.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c

(a,b,c是常数，aWO)与x轴的交点坐标咨询题转化为解关于x的一元

二次方程.也考查了根与系数的关系.

28.已知，在等边AABC中，AB=2依，D,E分不是AB,BC的中点

(如图1).若将4BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1,设旋转角为a

(0°<a<180°),记射线CE1与AD1的交点为P.

(1)判定4BDE的形状；

7AD1的数量关系并证明;

C勺最大值为2.(直截了当填写结果)

【考点】作图■■旋转变换.

【专题】作图题.1

【分析】(1)由D,E分不是AB,BC的中点得到DE=攵BC,BD=2B

A,加上AABC为等边三角形，则NB=60。，BA=BC,因此BD=BE,因

此可判定4BDE为等边三角形；

(2)①按照旋转的性质得ABDIEI为等边三角形，贝UBD1=BE1,Z

D1BE1=6O°,而NABC=60°,因此NABD1=NCBE1,则路旋转的定义,

△ABD1可由ACBEl绕点B逆时针旋转得到，然后按照旋转的性质得CE

1=AD1；

②由于aABDl可由ACBEl绕点B逆时针旋转得到NBAD1=NBCE1,

然后按照三角形内角和定理和得NAPC=NABC=60。；、

(3)由于NAPC=ND1BE1=6O°,则可判定点P、DI、B、E1共圆，

因此可判定当BP±BC时，点P到BC所在