2023-2024学年高二数学2019选择性试题62

6.2.1空间向量基本定理

一、单选题

i.已知忖石,"｝为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是()

A.a+h，b+c»a-cB.〃+2加,b，〃+c

—«—•—*—XXX-*—*—•—•—•—•

C.2a+b<b+2c>a+b+cD.a+c>b+2a'h—2c

【答案】B

【分析】若三个向量非零不共线加7,万能作为基底，则满足G=+

【解析】对于A项，因为£+5=,+")+04)，则£+5，b+c，]二共面，不能作为基底，故A不符合

题干.

对于C项，因为a+9+c=5(2”+9)+50+2c),贝1」20+6，b+2c>a+6+c共面，不能作为基底，故C不

符合题干.

对于D项，£+工=；e+2今-；伍-2，，则D1+区-2"共面，不能作为基底，故D不符合题干.

〃=1

对于选项B,假设£+2知1,1-2,共面，则存在几，〃eR,使£+2]=笈+〃@-2),所以｛4=2无解,

-〃=0

所以£+2别坂，不共面，可以作为空间的一组基底.

故选：B

2.已知"是空间的一个基底，则可以与向量碗=B-2-7=5+加构成空间另一个基底的向量是()

A.aB.bC.cD.b+c

【答案】A

【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.

【解析】对于A选项，不存在xjcR使得£=X浣+>^=10一2。+、仅+2@成立，故能构成空间的另一个

基底；

对于B选项，E=/+；〃=；仅-2c)+；0+2c),故不能构成空间的另一个基底；

对于C选项，=-!伍-2c)+!伍+2c),故不能构成空间的另一个基底；

444、74v7

对于D选项，&="+"到故不能构成空间的另一个基底.

故选：A.

3.如图所示，在平行六面体/8CD-H8'C'D'中,AB=\,AD=2,AA'=S,NBAD=90°,

N3/4=ZD44=60。，则/C的长为（）

D'_r,

AB

A.5B.V23C.亚D.713

【答案】B

【分析】由向量石=万+）万+而得：（石『=(9+通+刀)，展开化简，再利用向量的数量积，便

可得出答案.

【解析】解：-.■AC'^AB+JC+CC'^AB+AD+.Z7，

1

.-.（AC']=（AB+AD+AA'^=（福2+（而丫+（五+2C^-AD+AB-AA'+'AD-'AA'),

VAB=\,AD=2,AA'=3,ZBAD=90°.Z.BAA'=NDAA'=60°

72222。9

.­.(^C)=1+2+3+2X(0+1X3COS605+2>：3cos60)=14+2x-=23.

.••石卜后，即ZC的长为J万.

故选：B.

4.三棱柱4BC-OEF中，G为棱工。的中点,^BA=a,BC=b,BD=c,贝|函=()

a

1---

A.一力族一cB.——Q+b+c

2

C.——。+—~+cD.一。-6+-c

2222

【答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.

【解析】CG=CA+~AG=CA+^7D=(^A-~BC)-4(SD-^|=(a-ft)+|(c-a)=^a-b+#

故选：D.

5.若旧区可构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是()

A.3a-2b+2ca-2b+ca+2bB.4a+3h+2c»a+b+c，a—c

C.

2a+bfa+2b-cD.a-2b-2ca-c»2a+b

【答案】D

【分析】利用共面向量定理分析判断,其中选项ABD中，一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的

和的形式，所以三个向量共面；只有选项C的向量不可以，即得解.

【解析】对于A,^2^-2b+c）+a+2b=3a-2b+2c,

所以3a-2B+2C，a-2h+c>〃+2刃共面,A不符合题意;

对于B,因为3（〃+Z+c）+〃-c=4Q+3g+2c,

所以4〃+3B+2C，4+b+c，c共面，B不符合题意；

对于C,a-b+c-¥a+2b-c=2a-\-b

所以2〃+B,a-b-\-c»Q+2B-c共面，C不符合题意;

假设存在实数x,夕满足》（£-3+乂z+否）=£-%-江,

x4-2y=1

所以&+2y）a+泌-£=£-23-2入所以力=-2,该方程组没有实数解.

-x=-2

所以不存在实数满足x(a-c)+y(W+B="4-£,

故£-2区-2工，a-c>2Z+B不共面，D符合题意.

故选：D.

6.已知空间四边形/8C。中，OA=a<历=B，OC=c>M为04中点，点N在8c上，且NB=2NC,

则MN等于()

A.—<7H—b—cB.—a4—bt•-c

233233

„1_1-1,r1_1r

C.-an—b—cD.—aH—bH—c

232233

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解.

【解析】如图所示：

0

点、N在BC上,旦NB=2NC,二丽=2祝，

由丽=B，OC=c>

2—1-2

：.ON=OC+CN=OC+-CB=OC+-(OB-OC)=-OB+-OC=-b+-c

333333f

为04中点，0A=a>=；(%=?,

-----------————1—11-2

MN=ON-OM=ON一一OA=--a+-b+-c.

2233

故选：D.

7.如图，四面体力BCD的所有棱长都相等，AF=FD,BE=EC,则cos传Q=()

A

c

1237

A.1B.-C.-D.-

9

【答案】B

【分析】利用4C,为基底表示力向量,再根据向量模的公式和夹角公式求解即可.

【解析】解：因为四面体Z8CO的所有棱长都相等，AF=FD,BE=EC,

所以，45,ZC,4。两两夹角为60。，且民尸分别为8C,/。的中点，

所以，AE=-AB+-7CFC=AC-AF=AC--AD

22f2f

设四面体46CQ的棱长为Q,

所以,

---------1------------12J--------

JEFC=ABAC——AB4D+—AC——ACAD

424

=—a2cos60°-—a2cos605+—f72-—^z2cos60=—6f2

4242

匕^+/二)就=—a2+—a2+—a2cos60°=

442442

■21--*2-------‘•""/c=旦，

AC+-AD-AC-AD=

42

2

,—.——AEF—C•o-a2

所以cos〈色FC”同园=死"法

2C，2°

故选：B

8.在三棱锥/-BCD中，尸为△88内一点，若y函=1，S/co=2,邑的=3,则万=()

A.-~AB+-~AC+-]ADB.-IB+-'AC+]-AD

362263

C.-JB+-~AC+-]1DD.-JB+-'AC+-]AD

326632

【答案】C

［分析］延长PB到耳，使得PB『2PB,延长PC到C,，使得PC『3PC，连接DB、,B}C,CQ,根据邑咏=1.

S.PCD=2,S,PKD=3,得至I]P是ABCQ的重心求解.

【解析】延长PB到B、,使得PB、=2PB,延长PC到C,,使得PC,=3PC,连接DB},B}C,CQ,如图所

示:

A

因为S^PBC~1'S"CD=2,S4PBD=3,

所以S/xp8c=§△PC,D=S&PB、D，

所以「是A8CQ的重心，

所以加+西+七=6,即历+2而+3斤=。，

所以而-万+2(方-万)+3(%一万)=0,

—•1一1―•1―.

AP^-AB+-AC+-AD.

326

故选：C

9.在棱长为1的正四面体/8C£)中，点必满足/A/=x/8+yAC+(l-x-y)/z5(x,yeR),点N满足

75N=ADA+(]-A)DC(AeR),当4W和£W的长度都为最短时，万7.丽的值是()

・1八1八2、2

A-5B.《C.-D-

【答案】A

【分析】根据给定条件确定点M，、的位置，再借助空间向量数量积计算作答.

【解析】因而=xl^+yk+(l-x-y)而，则疯-Z5=x(而-而)+9(就-而)，即丽=工方+y反,

而xjeR,则由，丽,反共面，点"在平面5c。内，

又丽=2方+(1-㈤反(2eR),即函=2而，于是得点N在直线/C上，

棱长为1的正四面体N8C。中，当4W长最短时，点/是点/在平面BCD上的射影，即正△88的中心,

因此，万7=g刀+g就+g而，当。N长最短时，点N是点。在直线/C上的射影，即正A/。边AC的

中点,

AN=-AC,而N84C=N£MC=60°，ABAC=AD-AC=}x］xcos60°=-,

22

所以而•前=］（布+衣+石）•，刀=2（刀.刀+刀2+石.充）=—.

3263

故选：A

10.有以下命题：①若p=xa+M，则p与［、书共面；②若p与"、B共面，则p=x〃+yB；③若

MP=xMA+yMB,则P、/、A、B四点共面；④若P、M、A、B四点共面，则诉=》总+了砺；⑤若存在

入jueR,使2a+而=6,则2="=0；⑥若£、办不共线，则空间任一向量p=2。+〃加（入〃eR）.其中真

命题是（）

A.①②B.①③C.②③④D.③④⑥

【答案】B

【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可；

【解析】解：①正确，由平面向量基本定理可得，若万=石+远，则万与£、各共面；

②不正确，若々、否均为零向量，万为非零向量，则后式不成立，

③正确，由平面向量基本定理得，

④不正确，若正、砺均为零向量，而为非零向量，则后式不成立，

⑤不正确，若为相反向量时，a+b=0＞彳="=1,

⑥不正确，若Z、E不共线，当,与所在的平面垂直时，则后式不成立，

故选：B.

11.设O-N5C是四面体，5是“Be的重心，G是。5上的一点，且OG=3GG1,若诟=x«+y赤+z反，

则x+y+z等于（）

4八3_

A.1B.—C.-D.2

34

【答案】c

【分析】取8c的中点E,连接ZE,然后利用三角形法则以及三角形重心的性质和中线的性质即可求解.

【解析】如图所示，

o

取8c的中点石，连接4E,

因为OG=3GG1,

—3-----3------3—32—3—1—

所以OG=-OG1=-(O/+4GJ=-OA+-x-AE=-OA+-AE

414144342

3_ii__3__i_________i___:___

=-OA+-x-(AB+AC)=-OA+-(OB-OA+OC-OA)=-(OA+OB+OC),

13

所以x+y+z=3x-=—，

44

故选：C.

12.如图，在四棱锥P-/8C。中，底面力5c。为平行四边形，且工5=1尸=6,AD=2,

ABAD=ZBAP=Z.DAP=60°,E,尸分别为PB,PC上的点，且而=2而，=|£F|=()

A.1B.V2C.2D.5/6

【答案】B

【分析】根据给定条件选定基底向量瓯疝Q，并表示出丽，再利用向量运算即可得解.

【解析】在四棱锥P-N8C。中，底面/8S为平行四边形，连接力C,如图，而=2而，PF=FC，

贝历=丽+或+万+丽」方-存+万+疑=^5-/45+AP+L前二犷)

3232

=-(AB-AP)-AB+AP+-(AB+JD-AP)=--AB+-Ab+-AP=-(-AB+3AD+'AP),

326266

又AB=AP=6,AD=2,/BAD=NBAP=NDAP=60°,

则方•而=万•而=6x2xcos60°=6，万万=6x6xcos60°=18，

因止匕，|£F|=-J(-万+3而+丽,=1^AB^9AD2+'AP2-6AB-Ab+6Ab'AP-2AB-AP

66

=」、36+9x4+36-6x6+6x6-2x18=^2.

6

故选：B

二、多选题

13.，石,可是空间的一个基底，可以和£+3，构成基底的另一个向量可以是（）

A.Q+CB.a—cC・b+cD.b—c

【答案】ABCD

【分析】利用空间向量基本定理逐个分析判断即可.

【解析】对于A,若Z+B，a-h^〃+c共面，则〃+c=4（Q+B）+4（〃一否）=（2+〃）。+（2一4）讥

因为,31｝是空间的一个基底，所以上式不成立，所以Z+几a-h'不共面，所以Z+几a-h'a+c

可以作为基底，所以A正确，

对于B,若£+5，a-b，q_c共面，则a-c=4（a+母+幺［（4-加）=（4+4）。+（4-〃J几

因为收£可是空间的一个基底，所以上式不成立，所以£+心a-b'1不共面，所以Z+La-b'a-c

可以作为基底，所以B正确，

对于C,若£+3，]_4，坂+"共面，^b+c=/L2(a+b)+/J2(a-b)=(A2+^2)a+(A2-jLi2)b,

因为｛获同是空间的一个基底，所以上式不成立，所以Z+B，B+工不共面，所以£+否，a-b'b+c

可以作为基底，所以C正确，

对于D,若Q+b，a-b»力—°共面，则坂一6=4（。+3）+〃3（。一刃）=（4+〃3）。+（4—〃3）1，

因为｛a［,c｝是空间的一个基底，所以上式不成立，所以£+加，［_%,办_］不共面，所以£+加，a-1）'i-c

可以作为基底，所以D正确，

故选：ABCD

14.给出下列命题，其中是真命题的是（）

A.若而］,"｝可以作为空间的一个基底，3与）共线，”0,贝心£,5,2｝也可以作为空间的一个基底

B.已知向量3〃石，则£石与任何向量都不能构成空间的一个基底

C.己知/,B,M,N是空间中的四点，若函，丽7,而不能构成空间的一个基底，则/,B,M,N四点共

面

D.己知｛a,5©是空间的一个基底，若病=£+",则｛"，瓦加｝也是空间的一个基底

【答案】ABCD

【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定A、8、C、。的结果.

【解析】对于选项A：••・伍，h,打可以作为空间的一个基底，h,己不共面，•••2与己共线，220,

''a,h.2不共面，故正确.

对于选项8：•.・向量方B与任何向量都共面，5与任何向量都不能构成空间的一个基底，

故正确.

对于选项C：：茄，BM）丽不能构成空间的一个基底，，瓦L两，丽共面，；.4,B,M,N共

面，故正确.

对于选项£＞：；｛，,b＞5｝是空间的一个基底，，1，b-2不共面，Vm=a+c,a,b＞所不共面，二但，

b，同也是空间的一个基底，故正确.

故选：ABCD.

15.已知在空间四面体N8C中，点"在线段04上，且OM=2M/,点N为8c中点，设9=）,丽=九

玩=），贝U（）

—-1一1一2———2-［一1一

A.AN=—a+—b——cB.MN=——a+—h+—c

223322

___2_____9-2-1-

C.CM=-a-cD.BM=—a+—b——c

3332

【答案】BC

【分析】利用空间向量的基本定理求解判断.

【解析】因为点N为8c中点，

所以丽=」(％+刀)=42+4加_£,

222

MN^ON-OM.

=|(O5+OC)-|tt4,

1r1-2-

=—b+—c——a；

223

—・__7-

CM=CO+OM=一。+—。；

3

________9__

BM=BA+AM=-a-b,

3

故选：BC

16.已知点P为三棱锥0-N8c的底面/8C所在平面内的一点，且丽="?夕+2〃历-2瓦(w>0,〃>0),

则下列说法正确的是()

9

A.a+2〃=3B.m+n=2C.加"的最大值为1D.的最大值为g

8

【答案】AD

【分析】根据空间四点共面可得，〃+2〃-2=1,即加+2〃=3,判断A,B;利用均值不等式可求得〃“7的最大值,

判断C,D.

【解析】由题意知而=7+万=刃+盾+/^

=OA+JP=OA+x^B-OA)+y^C-OA)=(\-x-y)OA+xOB+yOC,(\yGR),

即48,C,尸共面，则方，砺,反为基底表示而时，系数和为1,

由方=小力+2”丽-2反(加>0,〃>0),可知，机+2〃-2=1,即m+2〃=3,，A正确；

由m>0,〃>0,m+2n=3,可知仅当初=〃=1时，有"?+”=2,

比如当"7=2,"='时，"?+〃=2即不成立，故B错误；

2

又由基本不等式可得2加〃4(巧巧2=：,,当且仅当加=g,时等号成立，

故C错误，D正确.

故选：AD.

三、填空题

17.如图，在四面体O-NBC中，O4=a>OB=b>OC=c>。为5c的中点，E为4。的中点，若

OE=xa+yb+zc,其中x,y,zeR,则x=,>=,z=.

【答案】g##0.5-##0.25-##0.25

244

【分析1根据空间向量的线性运算可得酝=1方+砺+1），从而可求解.

222v）

【解析】因为。为8c的中点，E为/。的中点，

所以无=；（方+而卜那+便+反）

=为+_1而+*=匕+与+匕.

244244

因为OE=x〃+y坂+zc,所以x=；/=

故答案为:不二,二.

244

18.已知三棱锥O-ZBC,M,N分别是对棱。1、8。的中点，点G在线段上，且MG=2GN,设方=之,

OB=b^双=5，则05=.（用基底｛瓦在忑｝表示）

【答案】

633

【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示结合条件即得.

【解析】；MG=2GN,

：.MG=-MN,

3

又M,N分别是对棱。/、8c的中点，QA=a<OB=b>OC=c>

n______n

AOG=OA7+A^G=OM+yW=OA7+-(OA?-OA7)

1——-2―-11—21/—-

=-OM+-ON=-x-OA+-x-[OB+OC]

333232、)

=-OA+-OB+-OC

633

1一1一1一

=-a+-h+-c,

633

i-।一i一

故答案为：-a-b-c.

6+3+3

19.己知平行六面体4BCD-4B]CQ]中,AB=3,AD=2,AAt=\,NBAD=ZBAA,=ADAAy=y,则AC,

的长度为.

【答案】5

V4V4VU..___________

【分析1根据空间向量的线性运算可得NG，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的

定义计算即可.

【解析】由题意知，设=〃,/£)=3,44]=c,

则布==%+帽=方+石+福=£+加+",

所以=|a+fe+c|=a+b+c+2a-b+2a-c+2bc,

TT

又/8=3,/。=2,/%=\,ZBAD=ABAAX=ZDAA1=y,

+i"+c+2a-b+2a-c+2b-c=25^

即|属「=25,所以/G=5.

故答案为：5.

20.如图，在120。的二面角a-/-£中，A0,BGl,ACua,BDu£5.ACLAB,BDLAB,垂足分别为/,

B,已知ZC=/8=8C=6,则线段CO的长为.

【答案】12

【分析】利用丽=0+在+而，两边平方计算，可得线段C。的长.

【解析】因为/C_L/8,8D_L/8,所以E•方=0,而•荏=0.又因为二面角口-/-£的平面角为120。，

所以〈可丽〉=60°.所以

|CD|2=(C4+^B+55)2=|C4|2+|AB|2+|BD|2+2CA-AB+2CABD+2'ABBD=36+36+36+36=\44,所

以瓯|=12.

故答案为：12

【点睛】本题考查空间距离的计算，考查向量知识的运用，属于中档题.

四、解答题

21.如图所示，已知在三棱锥4-8C。中，向量荏=£,AC=b，AD=c＞己知M为8c的中点，试用£、

马、)表示向量方必.

A

D

【答案】DM=^（a+fe-2c）

【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.

【解析】为8c的中点，

uuur1zuuruuirx

Z.AM=5（力8+%0）,

/.5A7=ZW-75=^（A8+^C）-AD=^（iz+^-2c）.

22.如图，在平行六面体/BCD-WB'C'Q'中，〃是口/方'CD的对角线的交点,N是棱8c的中点.设益=

而=坂，AA'^c＞若以£，by工为一组基，求丽在这组基下的坐标.

【答案】（g，°，T）.

【分析】根据向量的线性运算即可用£,I，工表示出砺.

【解析】MN=MC'+CC+CN=~^C'+^A+-CB

22

1--

二—a—c,

2

而^在以五,为基的坐标为

23.如图，三棱柱4以7-45£中，M,N分别是4是3£上的点,艮BM=24M,C、N=2B】N,设如=£,AC=b

/N

Bi/

⑴试用a,bfc表示向量肠V;

②若/口。=900,/加4=/。4=600,48=4。=44=1,求MN的长.

【答案】（］）砺=*+v

（2）乎

【分析】(1)利用空间向量的线性运算即可求解.

(2)根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.

【解析】(1)解：砒=丽+福+•

」可+抚+乙万

3'3

1—1—►—►2—•—«

=-gAB++4c+弓(48-AC)

1—►1—►1—►

=-AB+-AA,+-AC

3313f

：.MN=-a+-b+-c；

333

(2)解：vAB=AC=AA]=l,z.|a|=|b|=|c|=1,

•・•ABAC=90。,，a-b=0,vZBAA}=ZCAA]=60°,

-1

5-c=/>c=—,

2

A|MV|2=-(a+ft+c)2=^a2+b2+c2+2a-b+2a-c+2b-c)=^,

:.\丽|=*,

即MN的长为或L

24.在三棱锥体尸-SEF中，FM=3ME,MN=2NS,前H为PF的中点、,设豆=7,豆=j,豆=E.

(1)记"=丽+而，试用向量表示向量2；

7T7T

(2)若NESF=-,ZESP=NPSF=-,SE=SF=4,SP=6,求丽.丽的值.

117-

【答案】⑴-5,+-J+—；

64

(2)-T-

【分析】（1）根据空间向量的运算的几何表示结合条件即得;

（2）根据空间向量的数量积的定义及运算律即得.

【解析】（1）由题可知两=3荻，SP=i,SE=J,SF=k,

所以砺一左=3（豆_丽），即丽=1窕+；丽=3]+；无，又MN=2NS,

—1——1-1-

所以SN=—SM=—/+-!-左，

3412

所以丽=而_豆」j+Mr,

412

又点，为尸尸的中点,

—1—1—1-1-

所以S〃=—SP+—S尸=—/+—%,

2222

——►1-1--1-1-1-1一7-

所以G=PN+SH=—j+—k—i+—i+—k=——i+-j+—k；

412222412

jrjr

(2)因为/ESF=-,ZESP=NPSF=-,SE=SF=4,SP=6,

23

所以:,工=6x4xg=I2,j*=0,

所以丽•丽=(»+沪-)(呆加

11--11--1-2111-21--

=­x—Hx—ik——i+—x--A-iH----x—k------k-z

421222421222

二—1x—1xl2c+——lxi—xl…2——1x3“6+——1x—1xl”6——1xl…2

4212221222

64

——1

3-

25.如图，在空间四边形0N5C中，已知E是线段8