福建省龙岩市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检查数学试题

龙岩市2023~2024学年第一学期期末高二教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.请把答案填涂在答题卡上.1.计算（）A.34 B.35 C.36 D.37【答案】A【解析】【分析】直接由组合数公式计算即可.【详解】由题意.故选：A.2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.故选：B.3.已知直线l法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】设点为直线上一点，则，所以，即直线的方程为，所以原点O到l的距离为.故选：C.4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据等差数列求和公式，写出通项公式，可得答案.【详解】由题意可得：，，，，，对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.5.某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】【分析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻的排法种数，接下来考虑语文和数学必须相邻的情形，求出两种情况下不同的排课方法种数，结合间接法可得结果.【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素，将这个大元素与英语、物理课进行排序，共有种排法；接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素，将这个大元素与其余门课进行排序，共有种排法.由间接法可知，不同的排法种数为种.故选：B.6.已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先画出图形，找出点关于直线的对称点，结合三角形三边关系即可求解.【详解】如图所示：设点与点关于直线对称，则，解得，即，所以，其中分别为圆圆心和半径，等号成立当且仅当分别与重合，其中分别为线段与直线和圆的交点，综上所述，的最小值为.故选：C.7.已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的基本性质可得出，结合以及等差数列的通项公式可判断AB选项，利用等差数列的求和公式可判断C选项，推导出，结合数列的单调性可判断D选项.【详解】因为数列是公差为的等差数列，是其前项和，且，，则，所以，，所以，，A对；，则，B错；，C对；因为，则，又因为，所以，数列是单调递增数列，当时，；当时，.综上所述，，D错.故选：C.8.已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义可得，取的中点，连接，由面积可得，利用余弦定理结合双曲线离心率分析求解.【详解】由题意可知：，可得，取的中点，连接，可知，因为，可得，则，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，所以双曲线C的离心率为.故选：D.【点睛】方法点睛：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，分选对的得2分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡上.9.已知二项式的展开式，则（）A.常数项是 B.系数为有理数的项共有4项C.第5项和第6项的二项式系数相等 D.奇数项的二项式系数和为256【答案】ACD【解析】【分析】首先得二项式展开通项，由此即可逐一判断每一选项.【详解】由题意二项式的展开式通项为，对于A，令，得，所以常数项是，故A正确；对于B，当且仅当时，这些项的系数为有理数，即系数为有理数的项共有5项，故B错误；对于C，第5项和第6项的二项式系数满足，故C正确；对于D，奇数项的二项式系数和为，故D正确.故选：ACD.10.已知经过点且斜率为k的直线l与圆交于不同的两点M，N，线段的中点为P，则（）A. B.当时，直线l平分圆CC.当时， D.点P的轨迹方程为【答案】AB【解析】【分析】A选项，求出圆心和半径，由点到直线距离公式得到不等式，求出答案；B选项，当时，，故在直线上，得到B正确；C选项，由垂径定理得到弦长；D选项，联立与，根据得到，设，由得到轨迹方程，注意取值范围.【详解】A选项，变形为，即圆心为，半径为2，设直线，则圆心到直线的距离，即，解得，A正确；B选项，当时，，由于，故在直线上，故当时，直线l平分圆C，B正确；C选项，当时，，故圆心到直线的距离，故，C错误；D选项，由A选项知，，联立与得，，由得，且，故，令，则，由于，故在上单调递增，故，则,由几何关系知，设，故，变形得到，故点P的轨迹方程为，且，D错误.故选：AB11.已知直线l与抛物线交于、两点，且与轴交于点，为坐标原点，直线、斜率之积为，则（）A.当时，B.当时，线段中点的轨迹方程为C.当时，以为直径的圆与轴相切D.当时，的最小值为【答案】AC【解析】【分析】设点、、，由题意可得，，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用斜率公式和韦达定理推导出，利用基本不等式可判断AD选项，求出点的轨迹方程，可判断B选项；利用直线与圆的位置关系可判断C选项.【详解】设点、、，由题意可得，，若直线与轴垂直，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，，，所以，，对于AB选项，当时，则，即点，满足，，，当且仅当时，即当或时，等号成立，A对，设点，则，，化简可得，B错；对于CD选项，当时，则，则为抛物线的焦点，，则线段的中点为，，故以线段为直径的圆与轴相切，C对，，当且仅当时，即当或，D错.故选：AC.12.已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（）A.数列的第项小于 B.数列不可能是等比数列C.数列为递增数列 D.数列中存在大于项【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，由数列前项和与通项的关系求出和的值，可判断选项A，利用反证法判断选项B和D，分析的符号，即可判断选项C.【详解】由题知，因为，所以当时，，可得，当时，，可得，又，且，所以，A错误；对于B，假设数列是等比数列，设其公比为，由于，即，变形可得，必有，与等比数列定义矛盾，B正确；对于C，当时，可得，必有即，则是递增数列，C正确；对于D，假设数列中不存在大于的项，即对于，有，则，所以有，变形得，与假设矛盾，故D正确.故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（其中16题第一空2分，第二空3分）.13.编号不同的四个球放入四个不同的盒子中，恰有一个空盒的不同放法有______种.（用数字回答）【答案】144【解析】【分析】首先把四个小球分成2、1、1三组，然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，即可求解.【详解】首先把四个小球分成2、1、1三组，共有种不同的分法，然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，共有种放法.故答案为：144.14.已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由题意表示出两圆的圆心半径，进一步结合两圆外离列出不等式即可求解.【详解】由题意圆与圆的圆心、半径依次分别为，因为两圆外离，所以圆心距满足，解得，即实数a的取值范围为.故答案为：.15.已知椭圆的离心率为，、是左、右焦点，为椭圆的下顶点，连接并延长交椭圆于点，则直线的斜率为______.【答案】##【解析】【分析】由已知可得出，，求出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，再利用斜率公式可求得直线的斜率.详解】由已知可得，则，，椭圆的方程可化为，即，易知点、、，直线的方程为，可得，联立可得，即点，所以，.故答案为：.16.已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】将数列各项排成三角数阵，确定的位置，可得出的值，确定数列的前项中，项的值为、的项数，即可求得的值.【详解】由题意，将数列各项按如下数阵排列：其中第行有项，则该数阵中第行最后一项对应数列中的对应的第项，因为，且，所以，位于数阵的第行第项，故，数列的前项中，项的值为的共项，项的值为的项共项，因此，.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查数列求和与求某项的问题，解题的关键就是确定各项的位置，以及数列中各项的值，对于这种有规律性的数列问题，可以将其转化为三角数阵，确定相应项的位置即可.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.在的展开式中，.（1）求n；（2）证明：能被6整除.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由所选条件，利用展开式系数与系数和的性质，列方程求n；（2），利用二项式定理，证明数据是6的倍数.【小问1详解】选条件①各项系数之和为，取，则，解得；选条件②常数项为，由，则常数项为，解得；选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，则，解得.【小问2详解】，所以能被6整除.18.在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求的前n项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）由等比数列的定义、等差数列基本量的计算即可得解；（2）由裂项法求和结合对分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，又因为，解得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.【小问2详解】由题意，若，则，若，则，所以的前n项和.19.已知圆M的圆心在直线上，并且与直线相切于点.（1）求圆M的标准方程；（2）直线与圆M相交于A，B两点，，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据切线性质以及垂直关系分析可知圆M的圆心在直线上，进而可求圆心和半径，即可得结果；（2）联立方程，根据弦长公式求得，可知结合韦达定理运算求解.【小问1详解】设与直线垂直的直线方程为，代入点可得，解得，可知圆M的圆心在直线上，联立方程，解得，即圆M的圆心，半径，所以圆M的标准方程为.【小问2详解】设，联立方程，消去y得，则，因为，解得，此时，即符合题意，设的倾斜角为，则，故，所以.20.抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足.（1）求抛物线的标准方程；（2）已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出点的坐标，根据可得出关于的等式，即可解出的值，由此可得出抛物线的标准方程；（2）求出点的坐标，可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，设直线的倾斜角为，分析可得出，，由结合二倍角的正切公式求出的值，结合可得出实数的值.【小问1详解】解：由题意可知，抛物线的焦点为，将代入抛物线方程可得，即点，由可得，解得，故抛物线的标准方程为.【小问2详解】解：由题意可知，直线的方程为，由可得，即点，则，直线的方程为，联立可得，即点，设直线的倾斜角为，则，由题意可知，，且为锐角，，可得，所以，，因为，可得，解得.21.已知函数满足，数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用倒序相加法可求得；（2）利用错位相减法求出，由已知条件结合参变量分离法可得出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的取