自动控制理论期末复习

第二章第三章第四章第五章第二章控制系统的数学模型1、传递函数（定义、性质、典型环节的传递函数）2、动态结构图（动态结构图的建立、等效变换、化简）3、梅逊公式4、反馈控制系统的传递函数：开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数多个输入时总输出和总误差以及相应的传递函数系统结构列写微分方程组，消去中间变量，得到输入输出的关系式传递函数动态结构图（框图）等效变换梅逊公式开环传递函数闭环传递函数误差传递函数多个输入时总输出和总误差以及相应的传递函数零初始条件拉氏变换例1 求下图所示系统的传递函数例2r（t）、n（t）分别为给定输入和扰动输入，c（t）为输出，其他为中间变量

框图的等效变换和化简

遵循的原则：转换前后保持信号的“等效性”。

分两类：1、环节的合并（串联、并联、反馈）

2、信号的分支点或相加点的移动

一般化简步骤：a、先将能合并的环节合并，b、适当移动分支点或相加点，使其能再进行环节的合并分支点和相加点的移动规则总结分支点：前移，“乘”越过的传函；

后移，“除”越过的传函；相加点：前移，“除”越过的传函；

后移，“乘”越过的传函。负号在支路上的移动G(s)H(s)E(s)B(s)R(s)C(s)例3

简化下图所示多回路系统，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)R(s)C(s)分析

这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和相加点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)(b)G1(s)G6(s)R(s)C(s)例4

用框图等效变换法求取如下图所示系统的传递函数。

-解.方框图变换,原方框图可变换为分支点前乘后除分支点前乘后除分支点前乘后除加并联相加点前除后乘梅逊公式输入与输出两个节点间的总传输（或叫总增益），可用下面的梅逊公式来求取：式中

n：前向通路总条数

Pk：第k条前向通路的传递函数△：特征式△k：在Δ中除去与第k条前向通路相接触的各回路的传递函数（即将其置0），称为第k条前向通路特征式的余因子∑La：所有回路的传递函数之和∑LbLc：两两互不接触回路的传递函数乘积之和∑LdLeLf：三个互不接触回路的传递函数乘积之和

解题步骤：一、先分析系统有几个前向通道几个回路，分别写出它们的传递函数；二、看系统是否有互不接触的回路，是否存在前向通道和回路互不接触，从而确定特征式和余因子式；三、利用梅逊公式计算系统的传递函数例5用梅逊公式求其传递函数分析：2前5回环一、系统的开环传递函数定义

反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比，称为闭环系统的开环传递函数，（简称开环传递函数）。G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)G

(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)反馈控制系统的传递函数二、闭环传递函数

1.r(t)作用下系统的闭环传递函数令n(t)=0r(t)作用下系统的误差传递函数为：G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)B(s)N(s)C(s)(a)G1(s)H(s)G2(s)R(s)B(s)CR(s)(b)ER(s)在r(t)作用下系统的误差输出为

在r(t)作用下系统的输出为

2.扰动n(t)作用下系统的闭环传递函数令r(t)=0

C(s)系统输出为：G1(s)H(s)R(s)E(s)N(s)G2(s)系统误差输出为：G1(s)G2(s)H(s)Cn(s)N(s)En(s)-1扰动误差传递函数为：3、给定输入和扰动输入信号同时作用下的输出系统总的输出C(s)为系统总的误差输出E(s)为常用的单位负反馈系统开环传递函数、闭环传递函数之间的关系例6 求对应框图的各类传递函数第三章时域分析法1、时域性能指标2、一阶系统的时域分析（简单）3、二阶系统的时域分析（欠阻尼状态下的暂态指标）4、高阶系统的时域分析5、系统的稳定性分析（劳斯判据及其特殊情况）6、稳态特性分析（给定及扰动输入作用下系统的稳态误差）开环传递函数暂态性能指标（利用公式）闭环传递函数特征方程式劳斯判据稳定性终值定理静态误差系数法框图（二阶系统）给定信号作用下扰动信号作用下定义法（终值定理）阶跃响应的时域性能指标

时域中评价系统的暂态性能，通常以零初始条件下单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。1.延迟时间td（DelayTime）

：输出响应第一次达到稳态值50%所需的时间。2.上升时间tr（RiseTime）

：响应第一次达到稳态值c（∞）的时间。无超调时为响应从稳态值的10%到90%的时间。3.峰值时间tp（PeakTime）：响应超过稳态值c（∞）达到第一个峰值（最大超调）的时间。tr0.1C(∞)0.9C(∞)4.调节时间ts（SettlingTime）

：响应与稳态值之间的偏差达到允许范围，并维持在此范围内所需的最小时间。通常，该偏差范围称作误差带，一般取稳态值c（∞）的2%或5%，用符号△表示，即:△=2%或△=5%5.最大超调量响应的最大值超过稳态值c(∞)的数，常用百分数表示，又称百分比超调，即

最大超调量（MaximumOvershoot）

稳态性能指标稳态误差ess：对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统对输入信号响应的实际值与期望值[即输入量]之差的极限值，定义为稳态误差，即

稳态误差是描述系统稳态性能的唯一指标，它反映系统复现输入信号的（稳态）精度。

在上述几项指标中，峰值时间tp、上升时间tr和延迟时间td均表征系统响应初始阶段的快慢；调节时间ts表征系统过渡过程（暂态过程）的持续时间，从总体上反映了系统的快速性；而超调量Mp标志暂态过程的稳定性；稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。

可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。典型二阶系统的结构图如图所示，系统的闭环传递函数为

其中：为无阻尼自然振荡角频率，为阻尼比，是二阶系统两个重要参数，系统响应特性完全由这两个参数决定。

二阶系统的时域分析特征根一对实部为负的共轭复数根(1)欠阻尼状态(2)临界阻尼状态两个相等的负实根（3）过阻尼状态两个不相等的负实根(4)无阻尼状态一对纯虚根系统的特征方程为：ζ值越小振荡性越强；ζ值越大振荡性越弱

在欠阻尼情况下二阶系统的暂态性能指标

系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为C(t)上升时间峰值时间调节时间误差带稳态误差01.0t控制系统性能指标超调量C(∞)

(1)上升时间

(2)峰值时间

(3)超调量

(4)调节时间例1：如图所示的单位反馈随动系统，K=16，T=0.25s。试求（1）特征参数ζ和ωn；（2）计算Mp和ts；

解（1）系统闭环传递函数为

（2）例2单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的响应曲线如下图示：1、求系统的阻尼比、无阻尼自振频率2、确定系统的闭环传递函数劳斯(Routh)稳定判据

系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即

根据必要条件，在判别系统的稳定性时，可事先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。但是，当特征方程满足稳定的必要条件时，并不意味着系统一定是稳定的，为了进一步确定系统的稳定性，可以使用劳斯判据。劳斯稳定判据（1）劳斯表第一列所有系数均不为零的情况

如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则系统是稳定的，否则系统是不稳定的,且不稳定根（在s平面右半部分）的个数等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。(2)劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各项不全为零的情况

当劳斯表某一行的第一列系数为零，而其余项不为零或不全为零，可用一个很小的正数代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。

若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，属于临界稳定系统，也属于不稳定系统。例如，，等等。显然，系统是不稳定的。此时，为了确定根的分布情况，可按下列步骤处理：(3)劳斯表某行所有系数均为零的情况

如果劳斯表中某一行各项为零，这说明在S平面内存在大小相等符号相反的实根和（或）共轭虚根，或共轭复根。这样的系统也是不稳定的。

利用该行上面一行的系数构造辅助方程。

求辅助方程对s的导数，将其系数代替原全部为零的行，继续计算劳斯表。

特征方程中大小相等符号相反的根可由辅助方程求得，且其根的数目总是偶数

。

稳态误差

稳态误差的定义

稳定的系统，其误差的终值称为稳态误差，记作ess，用式子表示为给定输入作用下稳态误差的计算两种计算稳态误差的方法：1、定义法

2、稳态误差系数法1、定义法利用稳态误差的公式（不计扰动输入的影响:N(s)=0）E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)（1）系统的分类（系统类型）

根据开环传递函数中串联的积分个数，将系统分为几种不同类型。把系统开环传递函数表示成时间常数形式（尾1型）

K为系统的开环增益，ν为开环传递函数中积分环节的个数,通常又称为系统的无差度阶数，并将系统按无差度阶数进行分类。

ν=0，1，2时，系统分别称为0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统。

2、静态误差系数法（2）

阶跃输入时的稳态误差令

称为静态位置误差系数。稳态误差可表示为因此给定稳态误差决定于系统的位置误差系数。对Ⅰ型系统及Ⅰ型以上的系统ν=1，2，······，Kp=∞，ess=0。

对于阶跃输入r（t）=A*1（t），R(s)=A/s,求得系统的稳态误差为对于0型系统，（3）斜坡输入时的稳态误差令称为静态速度误差系数。于是稳态误差可表示为

因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。对0型系统ν=0，Kv=0，ess=∞对Ⅰ型系统ν=1，Kv=K，ess=A/Kv=A/K对Ⅱ型或高于Ⅱ型系统ν=2，3，······，Kv=∞，ess=0对于斜坡输入r（t）=At，R(s)=A/s2，此时系统的稳态误差为稳态误差可表示为（4）抛物线输入时的稳态误差令称为静态加速度误差系数。对0型系统ν=0，Ka=0，ess=∞对Ⅰ型系统ν=1，Ka

=0，ess=∞对Ⅱ型系统ν=2，Ka=K，ess=A/K对Ⅲ型或高于Ⅲ型系统ν=3，4,······，Ka=∞，ess

=0对于抛物线输入r（t）=At2/2，R(s)=A/s3，此时系统的稳态误差为

稳态误差可表示为

系统的稳态误差

系统型号

误差系数Kp

Kv

Ka

单位阶跃输入

单位速度输入单位加速度输入

1.稳态误差与输入、系统结构有关.2.减小或消除稳态误差的方法：

a、增加开环放大系数K；b、提高系统的型号数;（五）典型信号合成输入

典型信号合成输入时，稳态误差应分