北师大版高中数学必修二立体几何初步检测卷

一、选择题

1.如下图所示，在正方体ABCZ）-中，E是平面4QRA的中心，M、N、

产分别是用G、CG、AA的中点，则下列说法正确的是（）

A.MN="F,且MN与E尸平行

2

B.MN/EF,且MN与所平行

2

C.MN=!*,且MN与EF异面

2

D.MN*—EF,且MN与EF异面

2

2.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1,当该圆锥体积取最

小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（）

A.2：1B.4：1C.8：1D.8：3

3.已知A3是平面。外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（）

①在a内存在无数多条直线与直线A8平行；

②在a内存在无数多条直线与直线AB垂直；

③在a内存在无数多条直线与直线48异面；

④一定存在过AB且与。垂直的平面P.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.在底面为正方形的四棱锥尸—A3c。中，侧面Q4O_L底面48CD,PAA.AD,

尸4=40,则异面直线PB与AC所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.正方体ABC。—的棱长为2,E是CG的中点，则点G到平面反。的距离

为（）

TY样

6.某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1,则该几何体外接球的

体积为（）

A.32岳B.48）C.亥色乃D.—71

273

7.如图，圆锥的母线长为4,点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的

侧面转一周达到8点，这条绳子的长度最短值为2石，则此圆锥的表面积为（）

8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）是

俐视图

A.24B.30C.4币D.677

9.如图所示，A,8为正方体的两个顶点，M，N为其所在棱的中点，则异面直线

48与MN所成角的大小为（）

10.如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（）

正视图侧视图

俯视图

A.该四面体外接球的体积为48九

B.该四面体内切球的体积为今

C.该四面体外接球的表面积为32岳

D.该四面体内切球的表面积为2产

11.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，

所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V乘16,除以9,再开立方，即为球的直径

d,由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（）

A.S=—d2B.S=—d2c.S=-d2D.S=­J2

82214

12.。尸是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面。与夕平行的是（）

A.加、〃是a内的两条直线，且〃n//p

B.a、夕都垂直于平面/

C.。内不共线三点到夕的距离相

D.加、〃是两条异面直线，mua,nu°，旦mH。,nlla

二、填空题

13.已知直三棱柱43。一A3|G，AB=BC=AA,=4,AC=4五，若点尸是上底面

AMG所在平面内一动点，若三棱锥尸-A5c的外接球表面积恰为41万，则此时点产构

成的图形面积为.

14.如图所示，RtAA'B'C为水平放置的AABC的直观图，其中AC'，*。'，

B,(y=(yc=2,则AABC的面积是.

15.在正三棱锥尸—A3C中，E，尸分别为棱B4，A3上的点，PE=3EA,

BF=3FA,且CE上EF.若PB=26，则三棱锥尸一ABC的外接球的体积为

16.己知等腰直角三角形ABC中，zc=y,C4=2五，。为AB的中点，将它沿

CD翻折，使点A与点8间的距离为2后，此时三棱锥C-A3。的外接球的表面积为

17.一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为

侧(左)视图

18.世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺

复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金

字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭

设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为米.

19.如图，在三棱锥V—ABC中，AB=2拉，VA=VB,VC=i,且

AC±BC,则二面角V-A3-C的余弦值是.

20.如下图所示，三棱锥P-ABC外接球的半径为1,且以过球心，△PAB围绕校

旋转60°后恰好与APAC重合.若PB=6则三棱锥P—A3C的体积为.

三、解答题

21.如图，在四棱锥P-A8CO中，△R4B是等边三角形，C8_L平面幺氏AO//8C

且PB=8C=2AT)=2,F为PC中点.

(1)求证：0「〃平面A4B；

(2)求直线A5与平面POC所成角的正弦值.

22.在校长为2的正方体AbCD-AGGR中，0是底面A8C。的中心.

(1)求证：80〃平面OAG;

(2)求点。到平面。AG的距离.

23.如图，已知长方体ABCO—AgGR,AB=2,AA=1,直线80与平面

所成的角为30。，AE垂直3。于£

(1)若F为棱A片上的动点，试确定F的位置使得4E〃平面8GF,并说明理由；

(2)若F为棱A片上的中点；求点A到平面8。厂的距离；

(3)若F为棱A片上的动点(端点A，片除外)，求二面角/一5。一4的大小的取值

范围.

24.如图，△A6C中，AC=BC=—ABtABED是边长为1的正方形，平面ABED，

2

平面ABC,若G、产分别是EC、3。的中点.

(1)求证：Gb〃平囿A8C；

(2)求证：AC_L平面E8C.

25.如图，直四棱柱ABC。—的底面A8CD为平行四边形,

3

4。=3,43=5工0S/34。=1,3。=。。1,七是。a的中点.

(I)求证：平面O8E1,平面ADD.；

(口)求点G到平面BDE的距离.

26.如图，已知在三棱锥尸一A5C中，AA5c是边长为2的正三角形，△P4C是以

AC为斜边的等腰直角三角形，若直线尸B与平面ABC所成的角为三.

（工）若PB>PC,求证：平面PACJ•平面ABC；

E）若PBvPC,求直线A3与平面P4C所成角的正弦值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

设正方体A8co—的校长为2,利用正方体性质可求得MN=0，EF=框,

知MNH；EF,再利用三角形中位线性质知MN//8C，仄而MN//ED,又EF与

£3相交，可知MV与异面，即可选出答案.

【详解】

设正方体ABC。—481GA的棱长为2,则MN=QMC：+C\N?=6

作E点在平面48co的投影点G,即EG_L平面48c。，连接EGG/7,在直角△EGf'

中，EG=1,GF=\lAG2+AF=6则FFZF.G'GF?=b+后=行所

以MNw^EF,故排除A、C

2

连接DE,由E是平面AOAA的中心，得

又M、N分别是用G、CG的中点，所以MN//B©

又A\D/IB©,所以MN//ED,

又EFcED=E,所以MN与跖异面

故选：D.

【点睛】

关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关

键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.

2.A

解析：A

【分析】

根据二角形相似得HI圆俳的底面半杼和高的关系.根据体积公式和基本不等式得出答案.

【详解】

设圆锥的高为人，底面半径为，

则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，

h

由可得:即,.=

ylh2-2h

・••圆锥的体积表9—）+£”].号.

当且仅当〃-2=2,即〃=4时取等号.

该圆锥体积的最小值为J.

3

4乃

内切球体积为二

该圆锥体积与其内切球体积比2:1.

故选:A.

【点睛】

方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意"拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本

不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定〃（不等式的另一边必须为定值）、“等〃

（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

3.C

解析：C

【分析】

根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断.

【详解】

对于A,若直线48与平面a相交，则在a内不存在直线与直线A8平行，错误；

对于B,若直线A8与平面a相交且不垂直，设=过平面。外直线AB上一点

尸作PC_La,垂足为C,则在平面。内过点C一定可以作一条直线CO,使得

CDtCM,所以CQ_L48,而在平面。内，与直线CD平行的直线有无数条，所以在

a内存在无数多条直线与直线A5垂直，若直线A5与平面a垂直，显然在。内存在无数

多条直线与直线A8垂直，当直线A8与平面。平行时，显然可知在a内存在无数多条直

线与直线AB垂直，正确；

对于C,若直线A3与平面。相交，设A5r）a=M，根据异面直线的判定定理，在平面a

内，不过点用的直线与直线A4异面，所以在a内存在无数多条直线与直线A〃异面，当

直线A8与平面。平行时，显然可知在。内存在无数多条直线与直线A3异面，正确；

对于D,若直线与平面。相交且不垂直，设45Cla=M，过平面。外直线AB上一点

P作PC_La,垂足为C,所以平面A8C与平面。垂直，若直线AB与平面a垂直，则

过直线A3的所有平面都与平面。垂直，当直线A8与平面。平行时，在直线A8上取一

点尸作PC_La,垂足为C,所以平面A3C与平面a垂直，正确.

故真命题的个数是3个.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定

义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题.

4.C

解析：c

【分析】

由已知可得以_L平面A8CD,底面48co为正方形，分别过P,。点作AD,4P的平行线

交于M，连接CM,AMf因为PBIICM,所以ACM就是异面直线P8与47所成的角，再求

解即可.

【详解】

由题意：底面48co为正方形，

侧面R4O_L底面ABC。，PA1AD,

面PAOn面4BCD=4D，

%_L平面488,

分别过P，。点作AD,4P的平行线交于M,

连接CM,AM,

PMWAD,ADWBC,

PM=AD,AD=BC.

•.P8cM是平行四边形，

PBIICM,

所以NACM就是异面直线PB与AC所成的角.

设%=48=。，

在三角形4cM中，AM=AC=6a,CM=屑,

三角形4cM是等边三角形.

所以NACM等于60°,

即异面直线PB与AC所成的角为60。.

故选：C.

【点睛】

思路点睛：先利用面面垂直得到以_L平面48CD,分别过P,。点作4D,AP的平行线交于

M,连接CM,AM,得到NAC/W就是异面直线P8与AC所成的角.

5.B

解析：B

【分析】

利用等体积法%「E8D=%.GEB，设点C到平面的距离为a利用三棱锥的体积公式

代入面积即求得d.

【详解】

如图，利用等体积法，Vq-EBD=^D-CtEB，设点G到平面上8。的距离为d，

正方体ABC。—481GA的棱长为2,故BD=2g,BE=ED=^,如图,

/?=]ED2_[；BD、=45^2=43^^S“EBD=；xBDxh=；xWix6=巫，

又点。到平面GE8的距离，即£）到平面GC84的距离，为CD=2,

SgEB=5X1x2=1,

由%=%.G&8得，1xV6xt/=ixlx2,故d=2=".

33x/63

故选：B.

【点睛】

方法点睛：

空间中求点到平面的距离的常见方法：

（1）定义法：直接作垂线，求垂线段长；

（2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离;

（3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量平面法向量k则♦

6.A

解析：A

【分析】

由三视图可知，该几何体是四棱锥，其中四棱锥底面是边长为4的正方形，将四棱锥补成

棱长为4的正方体，则该几何体的外接球就是正方体的外接球，进而可得答案.

【详解】

由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥尸-A5C。，

其中四棱锥底面是边长为4的正方形，

四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的高为4,

将四棱锥补成棱长为4的正方体，

则该几何体的外接球就是正方体的外接球，

外接球的直径2R等于正方体的对角线长，

即2R=4&nH=2百，

所以该几何体外接球的体积为g〃x（2G）3=32岳,

方法点睛：三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察二视图并

将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相

等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组

合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.

7.B

解析：B

【分析】

根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段MB=2右计算底面圆半径即可求解.

【详解】

设底面圆半径为，

由母线长/二4,可知侧面展开图扇形的圆心角为a=亚=二，

/2

将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点8,最短距离为8M；

如图，

B

在AABM中，MB=2y/5,AM=2,AB=4,

所以AM2+AB2=MB2,

所以NMAB=工,

2

,,7Vr7VAnzn

故a=—=—,解得r=l,

22

所以圆锥的表面积为S=/rrl+7rr2=5/r,

故选：B

【点睛】

关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为a=半，其次从点M拉一绳

子围绕圆锥侧面转到点8,绳子的最短距离即为展开图中线段MB的长，解三角即可求解

底面圆半径，利用圆锥表面积公式求解.

8.D

解析：D

【分析】

先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.

【详解】

由三视图可知几何体为图中的四极锥P-CDD.E,

由题得40=必于=近，所以几何体的高为J7.

所以几何体的体积为（2+4）6万=6万.

32

故选：D

【点睛】

方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模

型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

9.C

解析：c

【分析】

由MN与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此

可得.

【详解】

作如图所示的辅助线，由于M，N为其所在棱的中点，所以MN//PQ,又因为

AC//PQ,所以AC//MN,所以NC4B即为异面直线所成的角(或补角)，

易得A3=AC=3C,所以NC48=600.

故选：C.

10.D

解析：D

【分析】

先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得

解.

【详解】

由三视图得几何体为下图中的三棱锥A-8CO,AB_L平面

BCD,AB=4正，CE=DE=2,BE=2,由题得NCBD二三.

2

设外接球的球心为。,外接球的半径为R,则OE1平面BCD,连接。氏。4,取AB中点

产，连接

由题得0E=8/=348=2直，所以2=(2近)2+22,.,./?=26,

所以外接球的体积为g%x(2G)3=32信，所以选项A错误；

所以外接球的表面积为4»x(26)2=48不，所以选项C错误；

由题得AC=A£)=1(4&)2+(2血)2=2回，

所以△AACD的高为J40—22=6,

设内切球的半径为小则

1r(4V2x2x/2xl+4>/2x2V2xl+2x4xl+4x6xl)=1x2x4x1x472

所以r=包,

2

所以内切球的体积为3乃x(立了=立乃，所以选项B错误；

323

所以内切球的表面积为4万x=2］，所以选项D正确.

故选：D

【点睛】

方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.

模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何

体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径,=1j〃2+从+02就是

2

儿何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.

解三角形法就是找到球心。和截面圆的圆心。'，找到OO'、球的半径OA、截面圆的半

径O'A确定的RtAOOA，再解放△OO'A求出球的半径OA.

11.A

解析：A

【分析】

根据已知条件结合球的体积公式题求解出产的值，然后根据球的表面积公式

3\2)

4乃(g)求解出S的表示，即可得到结果.

【详解】

因为=d,所以V==——,所以乃=—,

V9163{2)8

4(d>\27d227

所以S=4;r—=4Ax——x——=——d,

\2)848

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到"的表示，再将乃带入到球的表面

积公式即可完成求解.

12.D

解析：D

【分析】

取ac£=a,且加/〃，n//a,利用线面平行的判定定理可判断A选项；根据

/_Ly判断平面a与£的位置关系，可判断B选项；设48、4c的中点。、E在平面

夕内，记平面ABC为平面a,判断出A、B、。三点到平面£的距离相等，可判断C

选项；过直线〃作平面/,使得acy=a,利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D

选项.

【详解】

对于A选项，若ac£=〃，且,川la,则,n//pt但。与

夕相交；

对于B选项，若aJ_乙/_L/,则。与月平行或相交；

对于C选项，设A3、AC的中点。、E在平面£内，记平面ABC为平面。，如下图所

示：

Q。、E分别为A3、AC的中点，则。石〃BC,

♦;DEuB,BCaB,:.BCH0,所以，点8、C到平面£的距离相等,

由于。为A8的中点，则点4、B到平面£的距离相等，

所以，点4、B、。三点到平面£的距离相等，但平面。与平面夕相交；

对于D选项，如下图所示：

由于R/a,过直线〃作平面使得acy=a,则〃〃〃，

•.•"//a,aa夕，nu。,：.a!!p,

,/mJIp,mC\a=A,mua,aua,allp.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有：

①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；

②用判定定理或推论（即“线线平行〃n”面面平行"，通过线面平行来完成证明；

③根据"垂直于同一条直线的两个平面平行〃这一性质进行证明；

④借助"传递性”来完成.

二、填空题

13.【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的

外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得

面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面

解析：4笈

【分析】

确定△ABC是等腰直角三角形，AC,4G的中点分别是AABC和4A4G的外

心，由直棱柱性质得P—A8C的外接球的球心。在上，外接球面与平面AqG的交

线是圆，是以R为圆心，。尸为半径的圆，求出PR可得面积.

【详解】

AB=BC=4,AC=4x/2,WiJZABC=90°,设分别是AC，AG的中点，则£>,〃

分别是AA6c和ZXA4G的外心，由直三棱柱的性质得OR，平面43C,

所以P—A3C的外接球的球心。在0A上，如图，

4万(OA)2=4br,则OP=OA=叵,

2

OD=-心=J(呼)一(2⑸=|.

35

所以—0。=M一0。=4-5=5，

PR=W-OD：=/将j-(|)=2,

o―ABC的外接球面与平面的交线是圆，是以R为圆心，"P为半径的圆,

其面积为S=x22=4乃•

故答案为：44.

【点睛】

关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有

关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的

具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上.

14.【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图

所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原

为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根

解析：872

【分析】

根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将RsA'B'C还原为△A3C,如图

所示，△A6C是一个等腰三角形，直接求解其面积即可.

【详解】

由直观图画法规则将/^△A6'C还原为△人3。，如图所示，△A8C是一个等腰三角形,

472

故答案为：8>/2

【点睛】

关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面

积公式求解.

15.【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合

正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体

积【详解】•「・・・・・・又・・・取中点连接如图由于是正三棱锥而平面」.平面又平

解析：36兀

【分析】

证明尸8与CE,AC垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体

的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积.

【详解】

APAp

PE=3EA,BF=3FA,/.—=—,EF//PB,又CE上EF,

APAB

•.PBLCE,

取AC中点。，连接PD8。，如图，由于P—ABC是正三棱锥,

..尸O_L4cBOJ,AC,

而P£>cB£>=£>，PD,&)u平面..AC_L平面P血)，又P3u平面尸血>,

•.AC1PB,.ACr\CE=C,AC,C£u平面尸AC,..P8_L平面尸AC,

而PA,尸Cu平面B4C,PB_LPA,PB_LPC,同理正三棱锥中，PA1PC.

设三棱锥P-ABC外接球半径为R,则(2/?产=PA1+PB2+PC2=3x(2百户,

R=3,

球的体积为V=—^x3^=36乃.

3

故答案为：36%.

【点睛】

结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在

过各面外心且与该面垂直的直线上.当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱

锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径.

16.12【分析】根据题意可判断出两两垂直即可求出外接球半径得出表面积

【详解】等腰直角三角形中为的中点满足两两垂直设外接球的半径为则即三棱

锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球问题解题

解析：12乃

【分析】

根据题意可判断出。CD4,08两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积.

【详解】

,•,等腰直角三角形48c中，NC=g,CA=CB=2x/2»

•・・。为48的中点，；.CD=AD=BD=2,

..CD1AD.CD1BD,

,:AB=2叵，满足4。2+〃。2=432,「.仞_18£），

.•.DC,08两两垂直，

设外接球的半径为R,则2/?=斤为方=2百，即R=X/5，

二•三棱锥C—ABD的外接球的表面积为4%心=12〃.

故答案为：12乃.

c

【点睛】

本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出DC,DA,DB两两垂直.

17.【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC分别计算其棱长可得答案

【详解】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC可将此三棱锥放入棱长为2的

正方体内如下图所示所以：BC二所以该三棱锥最长棱的长度为故

解析：2G

【分析】

由三视图还原几何体得到三棱锥P-A8C,分别计算其棱长，可得答案.

【详解】

由三视图还原几何体得到三棱锥P-48C,可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内，如下图

所示，

所以：AB=e，BC=BP=AC=2,PC=2瓜AP=26

所以该三棱锥最长棱的长度为2G.

故答案为：2JJ.

方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：

⑴由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部

分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示.

⑵由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测直

观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项

逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.

⑶由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的

形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.

18.【分析】作出图形设球体的半径为根据几何关系可得出关于的等式进而可

解得的值【详解】如下图所示：在正四棱锥中设为底面正方形的对角线的交点

则底面由题意可得则设该球的半径为设球心为则由勾股定理可得即解得故答

解析：

【分析】

作出图形，设球体的半径为R,杈据几何关系可得出关于R的等式，进而可解得R的值.

【详解】

在正四棱锥P—A3CD中，设M为底面正方形48co的对角线的交点，则尸M_L底面

ABCD,由题意可得PM=21,AB=30,BD=41AB=30>/2»则BM=15近，

设该球的半径为R,设球心为0,则OwRW,

由勾股定理可得0。2=0知2+3.必2,即R2=（R—2iy+（15夜）1解得R=箸.

297

故答案为：—.

14

【点睹】

方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正

方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆

心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

19.【分析】取的中点连接证明出可得出面角的平面角为计算出利用余弦定理

求得由此可得出二面角的余弦值【详解】取的中点连接如下图所示：为的中点

则且同理可得且所以二面角的平面角为由余弦定理得因此二面角的余弦值为

解析：4

4

【分析】

取A3的中点0,连接VO、0C,证明出VO_LA」B,OC1AB,可得出面角

V—AB—C的平面角为/VOC，计算出VO、0C,利用余弦定理求得cosNVOC,由

此可得出二面角V-AB—C的余弦值.

【详解】

取A3的中点。，连接VO、0C,如下图所示：

-VA=VB,。为4B的中点，则VO_LAB,且AB=2。

.\V0=-AB=y/2,

2

同理可得OCJ_AB,且0C=也，所以，二面角V—AB—C的平面角为NVOC,

222

由余弦定理得cosZVOC=v°n+"OC—-V—C=-3,

2VOOC4

3

因此，二面角V—A5—C的余弦值为一.

4

3

故答案为：

4

【点睛】

本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.

20.【分析】作于可证得平面得得等边三角形利用是球的直径得然后计算出再

应用棱锥体积公式计算体积【详解】•「围绕棱旋转后恰好与重合.,•作于连接则

・•・又过球心.•.而」・同理由得平面「•故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查

解析:立

8

【分析】

作于〃，可证得P4J_平面8cH,得NBHC=600,得等边三角形BCH,利

用R4是球的直径，得然后计算出再应用棱锥体积公式计算体积.

【详解】

•••/XPAB围绕棱P4旋转60。后恰好与△州€*重合，

..=△PAC,

作B〃_L用于“，连接CH，则CH工PA,CH=BH,NBHC=60°,

..BC=BH=CH.

又RA过球心，・•・PBLAB>而PA=2,PB=J^,AB=b同理AC=1,

PBABGxl石sy/3du2X/3（石丫36

PA22C44I2J16

由BHLPA,CH工PA,CHC\BH=H,得PAJ_平面8C”，

.v_1cDA_130

…VprBC=qS*BCH^=^X^_X2=_^_-

故答案为：且.

8

【点睛】

易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作6"_LR4于"，利用旋转重合，得

R4_L平面8",这样只要计算出△8C"的面积，即可得体积，这样作图可以得出

ZBHC=60°,为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转60。，即为

ZC45=60°.旋转60。是旋转形成的二面角为60。.应用作出二面角的平面角.

三、解答题

21.(1)证明见解析；(2)上

4

【分析】

(1)取心边的中点E,即可证明四边形AEFD为平行四边形，再根据线面平行的判定定

理即可证明；

(2)取3c边的中点G,由DG//AB,即可得到直线与平面PDC所成角即为OG

与平面PDC所成角，再由等体积法求得dG-e=］，即可求得直线与平面PDC所

成角的正弦值.

【详解】

解：(1)如图所示：

取尸B边的中点E,连AE,FE,

则三角形中位线可知：EF//BC且EF，BC,

2

由题可知：AD//8C且AO=，5C,

2

/.AD//EF^AD=EF,

即四边形AEFZ)为平行四边形，

s.DFUAE

又•・•。尸2平面PAB,AEu平面PAB，

故。尸〃平面上钻；

(2)取边的中点G,

则。G//AB,且QG=A8=2,

直线AB与平面PDC所成角即为DG与平面PDC所成角，

又久弥=1,且易得0c=PD,所以•。尸=；X2&XJ5=#

=

由等体积法，Vp-CDG=%-PCZ)=§X1X>/3=—X>/6xdG_pcD,得^G-PCD

也

/.£>G与平面PDC所成角的正弦值为H=也，

T-V

故直线AB与平面PDC所成角的正弦值为正.

4

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是利用等体积法求出G点到平面PCD的距离.

22.(1)证明见解析；(2)空.

3

【分析】

(1)连接与R,设8Q1CAG=a，连接证明与q。。是平行四边形，再利用

线面平行的判定定理即可证明.

(2)由题意可得平面O4GJ•平面片。。8,过点。作。于“，在矩形

BRDB中,连接。a,可得△00叱△OHD,由三角形相似，对应边成比例即可求

解.

【详解】

(1)证明：连接8］。，设片AcAG=。］,连接。。］.

,:。［旦//DO且O［B［=DO,

.BQQO是平行四边形.

:.BQ//DO-

又•/DO、u平面D41G，BQU平面£)AG,

.,.耳0//平面％&.

(2)•「AC，四。1,A"BBI,且

/.AG，平面8QQ8.

平面。AGJ■平面片。。8,且交线为。。.

在平面内，过点。作。〃J_oq于“，则。〃J_平面D4.G，

即OH的长就是点0到平面OAG的距离.

O.DOD

在矩形中，连接OQ,4O0D^4OHD,则省=7^7,

C/1(7On

,。”*=述.

瓜3

即点0到平面OAG的距离为述.

3

【点睛】

关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点。作

OH1DO.T-H>得出的长就是点。到平面的距离，考查了计算能力.

B.F12x/s(亢乃、

23.(1)力匕-=彳，证明见解析；(2)坦；(3)-

旦435142)

【分析】

(1)延长4E交。。于M，在GA上取点N,使得QN=DM,连接MM^N,可

B.F1B.F1

证得AM//AN,从而可得G产〃AN,由此可得6宁二1，再由6宁二£证明线面平

行即得；

(2)用等体积法可求得点4到平面8。户的距离；

(3)作FP_LAB，垂足为P,作PQJ_BO于E，连接为2，N"2P是二面角

产一3D—A的平面角，设用E=x,(0vxv2),求出平面角的正切值可得范围，从而

得角的范围.

【详解】

B.F1

(1)十7=彳时，AE〃平面3GF,证明如下：

&A3

延长AE交C。于M.

因为AQ_L平面从844,所以NDB4是直线3。与平面所成的角，即

4084=30。，所以AO二A8tan300=亚.

3

由AEJ_8O,所以Za4E=3O。，DM=ADtan30°=-,

3

在CQ上取点N,使得—,连接MN,AN,

3

B.F124

V=则与尸=一，AF=-=CN，又AF//GN,A/GN是平行四边

44J33

形，ANMFC],

D、N=DM、D[N"DM,0NMD是平行四边形，

MNHDD、".MN=DD、=队，..A,4MN是平行四边形，」.AMH\N

AM//C}F,又AW<z平面8G产，C/u平面Bq尸，AM//平面BQ产，即

AE〃平面5G尸.

Lx巫乂2=空

23

由长方体性质可得8尸=J5，3D=-Y-,DF=--,BF2+FD2=BD2>

33

BF1DF，

•・5/=乂必叵=晅,设A到平面B£>F的距离为人则由匕也”=匕.AW

233

(3)作EP_LA5,垂足为P,作PQ_L3。于。，连接FQ,则即_L平面A8CO,

3£)u平面A8C。，.•FP工BD，同理FP_LPQ,

FPDPQ=P,五P,尸。u平面FPQ,「.8£>_L平面FPQ,

而尸Qu平面/PQ,「.8OJ.b。，/.NbQP是二面角尸一BD—A的平面角，

设37二工，(0<x<2),则由BB/P是矩形得BP=x,FP=BB、=\,

则尸。二小出30。二},

2

tanZFQP=-^=-e(l,+oo),NFQP是锐角，「..

PQx142J

(兀7T\

••・二面角尸一30—A的范围是

【点睛】

方法点睛：本题考查线面平行的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面

角.求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段

的长即得，二是等体积法，三是空间向量法.用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出

二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算.

24.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)连接AE,可知尸为AE的中点，利用中位线的性质可得出歹G〃4C,再利用线面

平行的判定定理可证得结论成立；

（2）利用面面垂直的性质定理可得出BE1平面48C,可得出AC_L8E,再利用勾股

定理可得出AC1BC,利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.

【详解】

（1）证明：连接AE.

,・•四边形A3a）为正方形，尸为的中点，.•./为AE的中点，

又・.・G为CE的中点，所以，FGHAC,

•.•AGq：平面A8C,A。（=平面48。，「.「6〃平面48。；

（2）证明：•・•四边形ABED为正方形，.•.庞：_LA5，

因为平面ABED_L平面