应用数学基础下册(第二版)习题解答

第十三章函数、极限与连续典型习题解答与提示

习题13-1

1.(1)不同，定义域不同；(2)不同，对应关系不同；

(3)不同，定义域不同：(4)不相同，定义域和对应关系都不相同；

(5)相同，定义域和对应关系都相同；(6)相同，定义域和对应关系都相同。

2.(1)(―oo,-2)U(—2,—1)U(-1,+8)；(2)[—4,4]；(3)(—1,1)；

(4)(-l,0)U(0,+oo)；(5)[0,1]；(6)一?———(Z?GZ)O

122J

3./⑼=]，/⑴=?，/(亚)=(，/卜6)=•，止⑹=:万。

4，信卜。=V呼9⑵=。。

5.(1)偶函数；(2)偶函数：(3)奇函数；(4)非奇非偶；(5)奇函数；(6)非奇非偶。

6.设X1,%2>》2，则J(%)-乂%2)=’------=———<0,所以y(x)在

X।X-^।X'y

(-1,0)内单减。

7.设再,％2£(0，+8),再>>2，则.(不)一』(工2)=坨,一3了2=lg±>°，所以在

(0,+8)内单增。

8.(1)有界；(2)无界。

9.(1)sin2x=^(l-cos2x),周期为);

(2)sinx+cosx=sinx+sin周期为2万；

(3)冗o

10.(1)y-yfu,u=a-x1\(2)y=3\u=sinx；

(3)y=〃2,〃=sinu,u=2x+l；(4)y=\nu,u=sinu,u=ex；

(5)y-arccosw,w=1-x2；(6)y=e\u=arctanu.v=\

x~

11.(1)设/(x)，人(x)都是偶函数,g(x)=<(x)+6(x).

贝Ijg(-X)=工(一x)+人(一x)=工(x)+人(x)=g(x)，所以g(x)是偶函数，

同理可证有关奇函数的结论；

(2)设工(x),人(x)都是奇函数，-力=工(力力(X)，

由〃(—X)=f\(―x"(―X)=[-fl(x)][—力(X)]=f\(x),%(x)=〃(x),

所以〃(X)是偶函数，同理可证有关偶函数的结论；

(3)设工(x)为偶函数，人(x)为奇函数，—x)"(x)l(x),

则左(一X)=/(一X)/；(-X)=/；(X)]=—左(X),所以左(X)为奇函数。

(2000=4—5006

12.设此影碟机的线性需求函数为0=a-6P。由题意知：\，

2400=“-4506

解得：a=6000,6=8,故所求的需求函数为。=6000—8尸。

[5000=-c+4.5J

13.设鸡蛋线性供给函数为5=-c+打。由题意知：\,

5400---c+4.6d

解得：d=4000,c=13000,故所求的供给函数为S=—13000+4000P。

14.由供需平衡条件。=S,可得32—3尸=—10+7.5P,因此，均衡价格为月=4,此时

供给量S=—10+7.5x4=20。

15.由题意，产量为100个时的成本为0(100)=4000+乎=4625,产量为100个时平

均成本为C(100)==46.25。

16.设衬衣厂每天生产。件衬衣时不亏本，则此时R(Q)=C(Q),而&(0)=200,

(0)=2000+150,即20。=2000+15。，解得0=400。所以每

天至少要生产400件衬衣才可能不亏本。

17.设每次购进q吨，则每月平均库存量是羡吨，每月的库存费是0.4x£元。每次购进q吨,

则每月分些次进货，订货费为5x—,因此，库存总费用为：

44

C=0.4x-^+5x—=^-+—>2^x—=20,（当且仅当幺=迎时，等号成

2q5qq5q

立）。即4=50时，。有最小值0（50）=20。因此最佳批量是每月一批购进50吨，每

月最佳批次是U色=2次，最小库存总费用是每月20元。

50

18.禾ij润函数£（1）=火（工）一。（%）=10%一0.01/一5工一200=5%一0.0卜2一200

-0.01(工-250)2+425,

因此,每批生产250单位时，才能使利润最大,最大值为425。

习题13-2

1.(1)1;(2)1；(3)0；（4）不存在;(5)0；(6)1。

2.(1)5；(2)1；(3)—3；（4）2。

9⑵7V2；

3.(1)：⑶—

22214-X

109

4.(1)(2)-»

~993

n-l2

5.q=8,q「唱|。（提示：汽=12,q72)o

3a-q2

习题13-3

1.(1)0；(2)0：(3)0；(4)2；(5)0o

旦,

2.(1)0；(2)1；(3)(4)0o

3./(0+0)=l,/(0-0)=l,lim/(x)=lo

4.lim/(x)=lim(x2-l)=-l,lim/(x)=lim(l-x)=l,所以叫/(x)不存在。

习题13-4

1.（1）无穷小；（2）无穷大；（3）无穷小；（4）无穷小；（5）无穷大；（6）无穷大。

2.（1）无穷大；（2）无穷小：（3）无穷大；（4）无穷小；（5）无穷小；（6）无穷小。

3.（1）x-»0时，y是无穷大;x->co时，y是无穷小;

（2）x->-l时，y是无穷大；x->co时，y是无穷小；

TT

（3）XT•左万时，y是无穷大;x-左万+万•时，y是无穷小；

（4）x-»+8,或》一>0*时，y是无穷大；x-»l时，y是无穷小;

（5）x—>0-时，y是无穷大;x—>0时，y是无穷小。

,3,3=1+0,4=一一，所以y=l+一一（以下同此法）;

4.(1)lim———=1,令———

X-1X-1%1-!x3-l

1-1(3)/(x)=-1+高

(2)y-2+4X2+2；

5.(1)0,（无穷小性质2）；(2)0,（无穷小性质3）；

(3)0,（无穷小推论2）；(2)0,（无穷小性质1）。

习题13-5

（2）2

1.(1)-2；4(3)(4)4；(5)

23

y/x-2lim-/J—

(6)limlim

XT4x—4+2Vx—2)Iy/x+24

..4x3-2x2+x..4x—2x+1

(7)lim--------：----------lim----------------

-303x+x・i°3x+1

2x21+

X

(8)lim------:=lim=lim-+x2=—2；

“°1—1°XTO

x2—2x+1.

lim--------------=hmGTlim

xfX-XxfA->1x(x+l)

(x+0丫-X3x3+3x2h+3xh2+-x3

(10)lim--------』---l-i-mlim(3x2+3动+〃2)=3/。

"TOh力一>0h

2.(1)1;(2)2；(3)0；

1+2+3+—..1〃(1+〃

(4)lim—；------r-z--------=lim

"T8(〃+3)(〃+4)…2(〃+3)(〃+4)2

+3-

(5)lim-------------

"T82”+3〃

提示=l+5x+^X^x2+5x4x335x4x3x2

(6)10,-----------x+----------------x4+X5

3!4!

11

(7)lim-------1---------F…+

“TOO1x22x377(77+l)

(11\1IyIy2__1

3.(1)0；(2)oo；(3)lim----------=lim------；—=oo；

1-x3JI1-x3

(4)lim-^——-=lim---=0»

“T8C"n+1“1

习题13・6

/、1/、/、/、/、「1-cos2x2sin2x八

1.(1)-；(2)2；(3)3；(4)1；(5)hm——;----=lim—；——=2；

25xsinxx_*°xsinx

(6)^>arcsinx=/,x=sin/,则原式=lim----=-

…3sin/3

x(x+3)(x23x)

(7)lim------=lim----+-----=3；

J。sinxa。Isinxsinx?

/、「sin2xtanx_2sin2xtanx八

(8)lim----------=hm------------=2；

XTO丫2io9v2

⑼lim亚=lim型m=皿=1；

En一XE71-X/->0t

(10)limx2sin2—=lim----=lim.

x+q.x-a

•.cos----sin-----

八八［.sinx-sina22

(11)lim----------=lrim--------------

Xf“X—ClI。X一Q

COSX+6—COSX

(12)lim—----L--------=-sinx；

A—>0h

2

(13)

16.1

x2+6sin--+—sin—

X

(14)limlimx,丫­=0。

X—>8x3+2x4-sinxXTOOsinx

1+r+3

xx

1+x

2.(1)e2；(2)e\(3)limlim1+-

.v—»ooX

(4)lim(l+cosx)2'xlim[(l+cos

<A

(5)limI1+—lim1+-1+-

x->02XTO22

x+-

2x+3i2

(6)lim

,v—>co2x4-12x+l

(7)limlim

XT8x2-1x--l

习题13-7

1.(1)高阶;(2)同阶;(3)等价;(4)高阶。

l-x

2.limlim,所以求证成立。

X->11-y/xXTl

2

limX+rY+Y

3.limt±=0,所以当x-0时，犬+工3是2》一炉的较高阶的无穷小。

Xf°2x-x32-x

2.、x

2sin—sin"—2

1-cosXX

4.limlim2lim21,所以当了一»0时;(1-cosx)

x->0x2x->0x2x->0x22

T24

(/nx)一

2叫=lim£

a一1-cosmxm~

5.(1)—；(2)lim—；(3)lim0,(〃>；

•)m)

BXTOx~2x->0(sinx)3x'"

1

⑷lim造壬1r31e2r-12x

(5)lim-----=lim—=2o

Xx3XX

习题13-8

1.(1)x=1,y=17；(2)x=—1,y=—5；

(3)x=x,y=lQx+6(x)+(x)’；

3

(4)x=x-x0,y=x-2x-x1+2x0o

2.y=sin(x+

3.7(x)在x=l处连续(提示：模仿本节例题)。

4.7(0—0)不存在，/(0+0)=-1=/(0),所以/(x)在x=0处右连续;

,所以/(X)在X=g处连续;

/(1-0)=0=/(1),/(1+0)=4^/(1),所以/(x)在x=l处左连续;

/(2+0)=/(2-0)=5=/(2),所以/(x)在x=2处连续。图略。

〃t)=(x+3.x-1)

5.八片(x+3)(x-2)所以/(x)的连续区间为(―8,—3)U(-3,2)U(2,+oo),

lim/(x)=/(O)=1,lim/(x)=oo.lim/(力=蜘公=-1

6.只要/(x)在x=3处连续，则/(x)在(—oo,+8)连续，设/(x)在x=3处连续，则

丫2―O

lim/(x)=lim--=6=/(3)=/,即/=6。

7.(1)y=,X+?,x=2为第二类间断点,x=l为可去间断点;

2sin2—

(2)y=­x=0是可去间断点；

(3)y=YX>1,x=l是跳跃间断点；

-1%<1

(4)/(0+0)=0力/(O),/(O-O)=l=/(O),x=O是跳跃间断点;

(5)/(0+0)=3,/(0-0)=3,而/(O)不存在，x=0是可去间断点。

习题13-9

1.(1)1；(2)-9；(3)3e；(4)-(e'+l)；

(5)------(提示：cos2x=cos2x-sin2x)；

2

「VT+7-ir(Vi+7-i)(VT+^+i)ii

(6)lim=lim-----,,——；-----=lim1....——二-；

1。X1。x(Vi+7+l)Vl+x+12

(7)1；

y/x~F4-2­.5xJx+4-2

lim---------=hm-----x---------

⑻.sosin5xz°sin5x5x

1

lim——--xlim

sin5x20

「4ax-x

lim-------lim

xfoa-x2

sinxsinx

(10)hmln----=Inlim----=0；

1。x(x-o%J

(11)lim(1+3tan2x)'=[lim(1+3tan2x)3lan2x]3=e3；

x-lt11

(12)elim令/=/-ilim———-=lim---=-----------=1。

*>()%，乂)ln(l+。>°+"limln(l+r)7r

2.证明参考例8。

*习题13-10

(1)Limit[(l+Sin[2x])/(l-Cos[4x]),x—>Pi/4]

(2)Limit[(l+Cos[x])A(3Sec[x]),x.Pi/2]

e

(3)Limit[Log[Sin[x]]/(Pi-2x)'2,x—>Pi/2]

-8

(4)Limit[xA2*EA(l/xA2),x->0]

(5)Limit[5xA2/(1-xA2)+2A(l/x),xTInfinity]

(6)Limit[(xA2-2x+l)/(x-3-x),x—>1]

0

(7)Limit[(Sqrt[l+x]-l)/x,x—>0]

2

(8)Limit[(l-2Cos[x])/Sin[x-Pi/3],x.Pi/3]

V3

(9)Limit[(l/x)Tan[x],x—>0,Direction—>-1]

1

*习题13-11

MJ_1

(1)4=(-1产—〃=1,2…;

⑵4=1,2

(3〃一2)(3〃+1)

2.提示，—级数的和为S=limS〃=li〃+m1U=L

3.(1)提示，un=>---尸=A/〃+1,Sn=Vw+T-1,级数发散;

J/+1+品

（2）提示%=3+。1匚,级数是公比q=’的等比级数，级数

"3"3*TI3）±3"T"3

g）是公比q=-；的等比级数，原级数收敛;

(3〃一2)(3〃+1)一313〃-2-3〃+1,

贝ijSn=u]+u2+---+ui

11一七

3

故limS,,=一——U-,故级数收敛：

w~*°°〃T8313H+1J3

(4)因勺,故lim〃“=lim(l+，］=ef0,

InJ"T8nJ

故由级数收敛的必要条件知，级数发散。

4.(1)错；(2)对；(3)错；(4)错。

5.(1)级数发散；

(2)级数收敛；

(3)因〃〃=—J<--j=———»又因为级数—■是收敛的p一级数,

1

n乙n

故由比较审敛法知，已知级数收敛；

(4)因〃“=sin±〈土，又级数£二是收敛的等比级数，故由比较审敛法知，级数

"4"4"占4"

收敛。

6.(1)级数发散；

(2)级数收敛；

S+1)：,

(3)因〃“=幺，则lim5=lim-3；__=®(〃+?_.=」＜i,

3""T8n-^Xn-”T83/7-3

F

即由比值审敛法知，级数收敛;

(H+1)!

〃！.^^J.k,

(4),贝Him殳虫=lim2^斗=lim+00＞1

co〃〃一＞8n!“T8

2"+1n_____2叫1

2"+1

故由比值审敛法知，级数发散。

7.(1)

1

....1nII5+1)尸vn1,

故I1=---,且lim—=lim----：----=hm-------=—<1,

00

n2"IunI"f]"->82(〃+1)2

故Zi।审敛，即已知级数绝对收敛;

〃=1

,,IsinI,1

故u1=——一0

81

又，级数是收敛的P一级数，故由比较审敛法知，级数绝对收敛;

(-1产

(3)因“"

ln(w+l)

118]

故|“"=——>—,且级数£」一发散，故由比较收敛法知，级数不

绝对收敛，但是，易知该级数满足莱布尼兹的条件，故该级数是条件收敛的交错级

数；

(4)故1%1=^77-

〃+1

.I..I[.3〃「〃+lI1

贝niiljlhm——=lim——=hm----=-<l,

〃T8|W|28n3〃3

F

故由比值审敛法，级数绝对收敛。

复习题十三

I.(l)(-oo,l)u(l,2)11(2,3)11(3,+00)；(3)[-3,-2]U[3,4];

(3)[-1,1]；(4)乃+1；(5)(-oo,+oo),(0,+oo),(-co,0)；

(6)y=\x\u,u=v~,v=cosx；(7)/(x)=A+a,其中lima=0；

41_

(8)乃；(9)-1；(10)-；(11)-；(12)-3；不存在；2；

92

(13)x=—1；x=0；x=0。

2.(1)B；(2)D；(3)B；(4)D：(5)C；(6)A；(7)B；(8)B：(9)C。

3.(1)X；(2)X；(3)X；(4)V；(5)X。

4.(1)(1,2)；(2)(—4,-i)U[0,幻(提示：利用图像)；

(3)(―co,+oo)；(4)(0,1)U(1,+00)。

5.(1)y=/,〃=siiw,o=2x；(2)y=a",u=o2,v=cosx；

2

(3)y=loguz/,w=tan=x-1；(4)y=arccosu,i/=InL>,=x-1»

TiaA-Tier

6.Lr=a+—+--------

24”

_100</<10

-010</<100

8.(1)偶函数:(2)偶函数;(3)奇函数。

2

7t(x+l)(x-l)(x+1)4

9.(1)——1；lim

4XT1(x-l)(x2+x+l)3

•>

X24x——

(3)-2；(4)oo；(5)0；(6)limlim—^-=4；

x->010,2X

sin2|sin--

2

(7)lim(Jn-+1—Jx?-1=0；

(V14-X2-1)(71+X2+1)

limJ+x=lim

(8)0；

XT。X*T°.(Jl+x，+1)

(，3-X—Jl+X)(J3-X+Jl+X)

..5/3—x-Jl+X_V2

lim--------------lim

ix-1XTl(k—1)(.3-x+Jl+x)一彳

y/x(Jx+(7-4)(Jx+4+4)

(10)limlim

XT+ooXT+<C

2sin—x1

,、「tanx-sinx「sinx(l-cosx)21

(11)lim-----------=lim--------------4hrm------J-=—

…(1-cos2x)r^°xcosx(l-cos2x)x->0yrL4

2sin~x——4

4

.x

sin——

x

(12)lim2,,sin—=lim2"=X;

〃T82"林fx)11

x-

TX

(13)lim(1+sinX)、=1；

2x-l-21+32

(14)limlim1+limI=/'

XT82x+lXT3I2x+lXTR2x4-1♦

(15)m要*j

11</x-lIVX-1

2

X".

(1-cosx)arcsin2x—2x

(16)lim^—lim2、=1；

.x->0x3x3

(17)0；

e-x-l1

(18)lim令e'-l=rlim--------------=lim

x->0X-ln(l+/)1。

4(〃+

1)〃

1+2+3+・••+〃n2、1

(19)lim=lim

n2M—>00n22

,sinx

1+-------

x+sinx

(20)limlim-------^=1。

x—>oox-cosxiCOSX

1----------

X

x+lx>1

10../'(x)=<,lim/(x)=lim(x+l)=2,lim/(x)=lim(-x-l)=-2,

-X-lX<1

所以1山〃x)不存在。

11.lim/(x)=limxsin—=0,lim/(x)=limS^nX=1,

x-»0'v7x->0-%XTO''x->0x

所以/(x)在x=0处不连续，x=0为跳跃间断点。

12.limf(x)=lim(l-x)=0,limf(x)=lim(l-x)=0；limf(x)=lim—--=-1

lim/(x)=lim(l-x)=-l；当〃2)=—1,即4=—1时,/(x)在x=2连续。

第十四章导数与微分典型习题解答与提示

习题14-1

.2x+x.x

-sm—sin

(Vcoslx+x)-cosx

1.(1)(cosx)=vIim----——=lim---------........-=-sinx；

XXTOX

2

/,、，[tz(x+X)+b]-(QX+8)

(2)(QX+6)=lim」------1-二------L=

''XT。x

2.(1)4=_/'(4)；

(2)/=/''(()),这是因为：左端=1加/卜)一/(°)=/'(0)；

')1。x-0')

(3)/=2/'(x。)，这是因为:

左端=]im[仆。+x)-/(x。)+小。-+/(%)

=2/'«)。

X—>0yy

2_1工16-

3.(1)y=4x3；(2)=(3)y=-2x-3；(4)y=x5,yr=—x5。

4.u=s'(2)=12m/s。

3

5.(1)所求切线方程为歹=—1,法线方程为x=

(2)所求切线方程为y—=一乂[x---],法线方程为y—=-r=-x—；

22I3J2A/3I3)

(3)所求切线方程为y—l=x,法线方程为歹一1二一工。

6.割线斜率为左=三二"=2二1=4,因为V=2X,令y'=4,得X=2,即抛物线上过

x2—x.3—1

(2,4)点的切线平行于已知割线。

\

Q8

7.因为了=/，令V=4,^x=±2,y=±-,所以过点-

37处的切线平行

于直线y=4x+5,令y'=9,所以x=±3/=±9,所以过点(3,9),(—3,-9)处的切线

垂直于已知直线x+9y+3=0。

8.(1)因为liiRf(x)=l皿xsin^=O=/(O),故函数在x=0处为连续，

1

xsin一।

考虑lim：/I」_71I=lim----工=limsin—不存在，即/(0)不存在，

“T°X—01°X1°X

得函数在x=O处不可导。

(2)因为1通/(x)=l必Ysin，=O=/(O),所以函数在x=O处为连续，

考虑lim：‘("二'(")=lim----工=0,所以/'(0)=0,即函数在x=O处可导。

X-0"TOX

9.令函数/(x)在x=l处的左极限和右极限相等且等于/(1),则有4+6=1；

令函数/(x)在x=l处的左导数和右导数相等，可得々=2,所以力=-1。

习题14-2

1.略。

44_Z

2.(1)y—6xH--(2)j/=4£-3-2x"；(3)y=2xcosx-x2sinx；

x

⑷W-2)；⑸户⑹广西

2+sinxx

(7)(8)y-atanx+xIn47tanx4-

cos2xcos2X

3.(1)川.(2)/，(4)=-■—；

x=­')18

4

317

⑶/'⑼=7/(2)=!；(4)/⑼=2/(1)=2/。

4.(1)U=S=UG-gt;

2122

(2)令。=0,即/="。得上升最大高度5=%一Lg二=至。

gg2g-2g

5.y=6x2-18x4-12=6(x-l)(x-2),令y'=0,得x=l或x=2,这时对应y=5或

y=4f所以曲线在点(1,5)或(2,4)处有水平的切线。

6.y'=2x+5,令;/=3,x=—l,y=O,故6=3,即当b=3时，直线y=3x+3与曲线

y=£+5x+4相切，切点为（—1,0）。

习题14-3

1.(1)/=8(2x+5y；(2)y'=3sin(4-3x)；(3)y--6xe-34*t

,2xX

(4),u、，2xy'

⑸厂於yla2-X2

2x+l1_3X

(7)；(8)y，=-—(1-x2)2(-2x)

yx2+x+l)ln(7

(1

22、

(9)y=e2cos3x+e(一sin3x)x3=-e-cos3x+3sin3x；

~2(2)

1(1L^xsmi-cosl；

(10)y-2xsin—+x2cos—

xx■JXX

（ii）ycos〃x(〃sin"x)+sin〃x(〃sin"7x)cosx="sin""xsin(z7+l)x；

f/

(12)y=cos(eN+3x-2)/+3f(2x+3)。

2.(1)V=2〃x)/'(x)；

(2)V=/'(/)2x；

(3)y'=/"(sin?x)2sinxcosx+/'(cos2x)2cosx(-sinx)

=sin2x[/'(sin2x)-/f(cos2xj]。

习题14-4

y=2arcsinx-7=L=，—，

1.(1)(2)y57

VT7l+e

,Ixl111

(3)(4)y=

、^arccosTx

^.arccosVx1

(5)y=e

lyjx-X1

2.当x<0时，//(x)=cosx；当x〉0时，/r(x)=e~x-xe=e-Y(l-x),

小)-/(0)小)-〃。)X€~x

“o-o)=!山!Z?^^=ij"(o+o)=!5lim--