新高考数学二轮复习热点7-2 椭圆及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）

热点7-2椭圆及其应用椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。【题型1椭圆的定义及概念辨析】满分技巧在椭圆的定义中条件SKIPIF1<0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当SKIPIF1<0时，其轨迹为线段SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，其轨迹不存在．【例1】（2021·高二课时练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个定点，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正常数），动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线【变式1-1】（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上关于原点对称的两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1B．2C．4D．5【变式1-2】（2023·陕西西安·校考三模）已知椭圆SKIPIF1<0的两焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，与圆SKIPIF1<0内切，则动圆圆心SKIPIF1<0点的轨迹方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是SKIPIF1<0中点，且ON长度是4，则SKIPIF1<0的长度是__________．【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值【例2】（2023·江西抚州·高三乐安县第二中学校考期中）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0是椭圆上一动点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式2-1】（2023·江苏南通·统考三模）已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．5B．6C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式2-2】（2023·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆SKIPIF1<0上任意一点，点M、N分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【变式2-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式2-4】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点P在椭圆C上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【题型3椭圆标准方程的求解】满分技巧1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；（2）定量：依据条件及SKIPIF1<0确定SKIPIF1<0的值；（3）写出标准方程；2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为SKIPIF1<0；3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为SKIPIF1<0，将点的坐标代入，解方程组求得系数。【例3】（2022·湖北十堰·高三统考期末）已知曲线SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“曲线C是椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【变式3-1】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知方程SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-2】（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知直线SKIPIF1<0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-3】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0右焦点为SKIPIF1<0，其上下顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该椭圆的标准方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交椭圆E于点P．若点A到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为16，则椭圆E的标准方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【题型4椭圆的焦点三角形问题】满分技巧一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，AF12性质1：AF1+拓展：∆AF1∆ABF1性质2：4c【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0分别是椭圆的左、右焦点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为【变式4-1】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）设SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的上、下焦点分别为SKIPIF1<0，短半轴长为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交该椭圆于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的周长是SKIPIF1<0的周长的3倍，则SKIPIF1<0的周长为（）A．6B．5C．7D．9【变式4-4】（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0为直角三角形的点SKIPIF1<0有（）个A．2B．4C．6D．8【题型5求椭圆的离心率与范围】满分技巧1、求椭圆离心率的3种方法（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．2、求椭圆离心率范围的2种方法（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系。【例5】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：SKIPIF1<0的左右焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若满足SKIPIF1<0成等差数列，且SKIPIF1<0，则C的离心率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式5-1】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）己知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0分别为其左右焦点，SKIPIF1<0为其右顶点，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为．【变式5-2】（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，经过SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为.【变式5-3】（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0为钝角三角形，则离心率SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式5-4】（2023·重庆·统考三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆离心率的取值范围为．【题型6椭圆的中点弦问题】满分技巧解决椭圆中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴。特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。【例6】（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：SKIPIF1<0的右焦点为F，斜率为2的直线与椭圆C交于点A，B，且SKIPIF1<0，点D为线段AB的中点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0外的一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），过点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：SKIPIF1<0，若椭圆C上有不同的两点关于直线SKIPIF1<0对称，则实数m的取值范围是.【变式6-3】（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：SKIPIF1<0，圆O：SKIPIF1<0，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若SKIPIF1<0，则直线l的方程为．【题型7直线与椭圆相交弦长求解】满分技巧求弦长的两种方法：（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线l与椭圆SKIPIF1<0有两个不同的交点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）过点SKIPIF1<0的直线l与椭圆SKIPIF1<0.交于A，B两点，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0（O为坐标原点），求直线l的方程.【变式7-2】（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的标准方程；（2）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，当SKIPIF1<0时，求直线SKIPIF1<0的方程.【变式7-3】（2023·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在SKIPIF1<0轴上，离心率为SKIPIF1<0，焦距为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点SKIPIF1<0，且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆于A，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的面积．【变式7-4】（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设椭圆SKIPIF1<0的左右顶点分别为SKIPIF1<0，左右焦点SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求椭圆方程．（2）若斜率为1的直线SKIPIF1<0交椭圆于A，B两点，与以SKIPIF1<0为直径的圆交于C，D两点．若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．【题型8直线与椭圆综合问题】【例8】（2023·全国·模拟预测）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0均相切，且一个内切、一个外切．（1）求动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程．（2）已知点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，记直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0．试问：点SKIPIF1<0是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．【变式8-1】（2023·贵州·高三校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上三个不同的动点（点SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0轴上），满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的周长的比值为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的离心率；（2）判断SKIPIF1<0是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【变式8-2】（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知平面上动点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0与到圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0的距离之和等于该圆的半径.记SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.（1）说明SKIPIF1<0是什么曲线，并求SKIPIF1<0的方程；（2）设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上关于SKIPIF1<0轴对称的不同两点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0异于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为原点，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，试问SKIPIF1<0是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.【变式8-3】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）如图，椭圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，椭圆C的左、右焦点分别为SKIPIF1<0．（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上异于左、右顶点的动点，SKIPIF1<0的最小值为2，且SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程．（2）若圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的三边都相切，判断是否存在定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0为定值．若存在，求出点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：60分钟）1．（2023·山东泰安·高三统考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．（2023·上海虹口·高三上外附中校考期中）若椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有相同的焦点，则实数a为（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）设椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的离心率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·吉林长春·统考一模）椭圆SKIPIF1<0上有两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为中心的正三角形，则椭圆离心率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的两条弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在第一象限），且SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）从椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方）向SKIPIF1<0轴作垂线，垂足恰好为左焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆与SKIPIF1<0轴正半轴的交点，SKIPIF1<0是椭圆与SKIPIF1<0轴正半轴的交点，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积比为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同时为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点，设椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0在第一象限内交于点SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的离心率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<08．（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0在第一象限的任意一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，点SKIPIF1<0是坐标原点，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<09．（2023·山西大同·高二统考期中）（多选）已知曲线SKIPIF1<0，则（）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是圆B．当S