【青松雪】【高中数学】【易错点归纳总结】【专题10】排列、组合、二项式定理和概率、统计（教师版）

PAGE第1页【专题10】排列、组合和二项式定理1、排列数中，、，组合数中，，，、．（1）排列数公式：（）；．（2）组合数公式：（）；规定，．（3）排列数、组合数的性质：①；②；③；④；⑤；⑥．例1、（，）的个位数字为_________．【答案】3例2、满足的_________．【答案】8例3、已知，求、的值．【答案】2、解排列组合问题的依据是：加法原理（分类相加：每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事）；乘法原理（分步相乘：一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的）．有序排列，无序组合．例4、将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有_________种．【答案】例5、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有_________种．【答案】70例6、从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_________．【答案】23例7、72的正约数（包括1和72）共有_________个．【答案】12例8、的一边上有4个点，另一边上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_________个三角形．【答案】90例9、用六种不同颜色把右图中、、、四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有_________种不同涂法．【答案】480例10、同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有_________种．【答案】9例11、是集合到集合的映射，且，则不同的映射共有_________个．【答案】7例12、满足的集合、、共有_________组．【答案】3、解排列组合问题的方法：（1）特殊元素、特殊位置优先法：元素优先法，先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法，先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置．例13、某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_________种．【答案】300例14、某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0．千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有_________种．【答案】100例15、用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_________个．【答案】156例16、某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_________．【答案】6例17、四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中．①恰有两个空盒的放法有_________种；②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_________种．【答案】84；96例18、设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_________种．【答案】31（2）间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉．例19、在平面直角坐标系中，由六个点、、、、、可以确定三角形的个数为_________．【答案】15（3）相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．例20、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_________．【答案】2880例21、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为_________．【答案】20例22、把一同排6张座位编号为1、2、3、4、5、6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_________．【答案】144（4）不相邻（相间）问题插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．例23、3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_________种．【答案】24例24、某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_________．【答案】42（5）多排问题单排法：例25、若个学生排成一排的排法数为，这个学生排成前后两排，每排各个学生的排法数为，则、的大小关系为_________．【答案】相等（6）多元问题分类法：例26、某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放．那么不同的实验方案共有_________种．【答案】15例27、某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门．其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_________种．【答案】36例28、9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有_________种．【答案】90（7）有序问题组合法：例29、书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有_________种不同的放法．【答案】20例30、百米决赛有6名运动、、、、、参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员比运动员先到终点的比赛结果共有_________种．【答案】360例31、学号为1、2、3、4的四名学生的考试成绩（）且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_________种．【答案】15例32、设集合，对任意，有，则映射的个数是_________．【答案】例33、如果一个三位正整数形如“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_________．【答案】240例34、离心率等于（其中，且、）的不同形状的的双曲线的个数为_________．【答案】26（8）选取问题先选后排法：例35、某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_________．【答案】576（9）至多至少问题间接法：例36、从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_________种．【答案】596（10）相同元素分组可采用隔板法：例37、10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？【答案】36；15例38、某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？【答案】844、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成组问题别忘除以．例39、4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种．【答案】374405、二项式定理：，其中组合数叫做第项的二项式系数；展开式共有项，其中第项（1、2、3、、）称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项．特别提醒：①项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数．如在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；②当的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；③审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？例40、的展开式中常数项是_________．【答案】14例41、的展开式中的的系数为_________．【答案】330例42、数的末尾连续出现零的个数是_________．【答案】3例43、展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_________项．【答案】7例44、若（且）的值能被5整除，则的可取值的个数有_________个．【答案】5例45、若，且，二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则的取值范围是_________．【答案】例46、函数的最大值是_________．【答案】10246、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当时，二项式系数的值逐渐增大，当时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值．当为偶数时，中间一项（第项）的二项式系数取得最大值．当为奇数时，中间两项（第和项）的二项式系数相等并同时取最大值；（3）二项式系数的和：；．例47、在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为_________．【答案】例48、在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则_________．【答案】17、18或19例49、如果，则_________．【答案】128例50、化简．【答案】7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数（偶次）项”系数和为，以及“偶数（奇次）项”系数和为．例51、已知，则等于_________．【答案】例52、，则_________．【答案】2004例53、设，则_________．【答案】8、系数最大项的求法：设第项的系数最大，由不等式组确定．例54、求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项．【答案】系数绝对值最大的项为，系数最大的项为9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式．例55、精确到近似值为_________．【答案】例56、被4除所得的余数为_________．【答案】0例57、今天是星期一，天后是星期_________．【答案】二例58、求证：（）能被64整除．例59、求证：（，且）．【专题10】概率1、随机事件的概率满足：，其中当时，称为必然事件；当时，称为不可能事件．2、等可能事件的概率（古典概率）：．理解这里、的意义．3、互斥事件：、互斥，即事件、不可能同时发生．计算公式：．4、对立事件：、对立，即事件、不可能同时发生，但、中必然有一个发生．计算公式是：；．5、独立事件：事件、的发生相互独立，互不影响．计算公式是：．特别提醒：①如果事件、独立，那么事件与、与及事件与也都是独立事件；②如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个不发生的概率是：；③如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个发生的概率是：．6、独立事件重复试验：事件在次独立重复试验中恰好发生了次的概率：（是二项展开式的第项），其中为在一次独立重复试验中事件发生的概率．特别提醒：①探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质．在求解过程中常应用等价转化思想和分解（分类或分步）转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率（常常采用排列组合的知识）；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在次实验中恰有次发生的概率，但要注意公式的使用条件；②事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；③概率问题的解题规范：先设事件“”，“”；列式计算；作答．例1、将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是__________．【答案】例2、设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品．【答案】①；②；③；④例3、有、两个口袋，袋中有4个白球和2个黑球，袋中有3个白球和4个黑球，从、袋中各取两个球交换后，求袋中仍装有4个白球的概率．【答案】例4、甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为和，甲先射，则甲获胜的概率是_______（结果保留两位小数）．【答案】例5、有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有个人正在使用电话或等待使用的概率为，且与时刻无关，统计得到，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率的值是__________．【答案】例6、设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是__________．【答案】例7、某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为、、，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为__________，这名同学至少得300分的概率为__________．【答案】；例8、袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是__________．【答案】例9、一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，那么，连过前二关的概率是__________．【答案】例10、有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片．设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为、、、，且，其相应的概率记为、、、，则的值为__________．【答案】例11、平面上有两个质点、分别位于、点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点向左、右移动的概率都是，向上、下移动的概率分别是和，质点向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是．①求和的值；②试判断最少需要几秒钟，、能同时到达点？并求出在最短时间内同时到达的概率．【答案】①，；②3秒；例12、小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是__________．【答案】例13、冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________．【答案】【专题10】统计1、抽样方法：（1）简单随机抽样（抽签法、随机样数表法）：常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；（2）分层抽样：主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中的个体有明显差异．共同点：每个个体被抽到的概率都相等．例1、某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，把这种抽样记为；某中学高中一年级有12名女排运动员，要从中选取3人调查学习负担的情况，把这种抽样记为，那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法：为_______，为_______．【答案】分层抽样；简单随机抽样例2、从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为______．【答案】例3、某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为的样本，已知每个学生被抽到的概率为，则_______．【答案】200例4、容量为100的样本拆分成10组，前7组的频率之和为，而剩下的三组的频数组成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组中频数最大的一组的频率是______．【答案】例5、用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，则某一个体在“第一次被抽到的概率”、“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是______________．【答案】；；例6、某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1、2、、，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令，其中、2、、；、2、、，则同时同意第1、2号同学当选的人数为（）A．B．C．D．【答案】C2、总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值是描述一个总体的平均水平）；用样本方差估计总体方差（方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定）．一般地，样本容量越大，这种估计就越精确．总体估计要掌握：（1）“表”（频率分布表）；（2）“图”（频率分布直方图）．特别提醒：直方图的纵轴（小矩形的高）一般是频率除以组距的商（而不是频率），横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率．例7、一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下：，2；，3；，4；，5；，4；，2；则样本在区间上的频率为