2022年高考数学(北师大版)必修三概率复习讲义

第三章i率

o要标要求

新课程标准的要求

知识点

层次要求领域目标要求

07解随机事件发生的不确定.了解随机现象与概率的意义，加强与现

随机

性和频率的稳定性，了解概率实生活的联系，以科学的态度评价身边的

事件

的意义以及频率与概率的区别一些随机现象

的概

②7解两个互斥事件的概率加.教师应通过日常生活中的大量实例，鼓

率

法公式励学生动手试验，正确理解随机事件发生

①理解古典概型及其概率计算的不确定性及其频率的稳定性

公式，会用列举法计算一些随.让学生体验观察、实验、归纳、类比、

机事件所含的基本事件数及事推断等数学活动在概率学习中的重要性，

件发生的概率提高直觉思维能力

古典②学会把一些实际问题化为古・增加学生合作学习交流的机会,让学生

概型典概型问题积极参与到数据的收集、分析、整理与描

@7解整数型随机数的意义，述的数学活动中，在体会概率意义的同时,

能运用模拟方法（包括计算器感受与他人合作的重要性

产生随机数来进行模拟）估计.在数据收集和整理的过程中，敢于面对

概率困难，克服困难，初步形成实事求是的科学

&初步体会几何概型的意义态度和锲而不舍的求学精神

②让学生初步学会把一些实际

问题化为几何概型问题

几何

③7解连续型随机数的意义，

概型

能运用模拟方法（包括计算器

产生随机数来进行模拟）估计

概率

单元给西

本章教学的重点是频率与概率的意义、古典概型、几何概型、事

件的关系和运算.在教学时要注意以下几点：

.鼓励学生动手操作和主动参与，让他们在试验、观察、交流等活动

中体会和理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性等相关内容.

鼓励学生动手操作、主动参与统计试验，不但能激发学生学习概率统计

的兴趣，而且在反复的统计试验中可以更好地体会和理解统计思想.在

引出概率的统计定义时,尽管学生在初中已经做过掷硬币的试验，但对

试验数据的整理和分析是比较初步的，如果学生能动手画出条形图和折

线图等，通过观察与交流的方式，可以对随机事件发生的不确定性及其

频率的稳定性有更深入的理解.在概率的正确理解的部分，教学中可以

让学生动手做两个试验，连续掷两个硬币的试验与边框中有放回的摸球

试验，通过观察与分析、交流等方式帮助学生澄清日常生活中遇到的一

些错误认识.

.注意与初中概率统计的衔接.这一章的知识与初中内容联系密切,

一些内容在初中都接触过，要与初中内容衔接，就必须深入了解初中概

率部分的内容、要求,了解它们与这一部分内容的联系与区别.从小学到

初中再到高中，概率统计的内容是采用逐步渗透、螺旋上升的方式.在初

中，介绍了随机事件的概念,要求会运用列举法计算简单随机事件的概

率，通过试验，获得随机事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作

为随机事件发生概率的估计值.由此可以看到，高中有些内容是与初中

相同的.在教学中可以用回忆复习等方式先回顾初中相应的内容，在此

基础上要有更深层次的理解.比如，在频率与概率部分，不但知道频率可

以作为概率的近似，而且要知道频率与概率的区别在于频率是随机的，

每次试验得到的频率可能是不同的，而随机事件的概率是一个常数，是

随机事件发生可能性大小的度量,它不随每次试验的结果改变.在初中

要求会运用列举法计算简单随机事件的概率，而高中提高到理解古典概

型的特征，在古典概型中运用古典概型求概率的公式计算随机事件的概

率.随机事件的关系与运算、概率的性质、几何概型、随机模拟方法等

是高中的新内容，初中没有涉及.

.教学中要注重统计思想和概率的意义的解释，而不能把重点放在

复杂的计算上.一种统计方法只能解决部分实际问题，在面临新的问题

时，需要的是新思想.教学的目的不仅是为了让学生掌握现有的知识，而

且还要培养学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神，所

以统计思想的解释就显得尤为重要.在用频率近似概率时利用的是样

本的数字特征估计总体的数字特征的统计思想.同样随机模拟的理论

依据仍然是用样本估计总体的思想.在古典概型的教学中，让学生学会

把一些实际问题化为古典概型，而不是把重点放在“如何计数”上.

.重视现代信息技术的应用.现代信息技术对概率统计的发展起到

了决定性的作用.随机模拟试验需要产生大量的随机数，同时又要统计

试验的结果，如果离开计算机的帮助,需要花费大量的时间，统计试验结

果的困难是可想而知的.用计算机进行模拟试验的另一个好处是相同

的试验可以在短时间内多次重复，可以对试验结果的随机性和规律性有

更深刻的认识.现代信息技术的应用使统计试验变得十分方便，而且可

以通过大量重复试验比较结果的稳定性.本章对学生的最低要求是会

用计算器产生随机数进行简单的模拟试验，并统计试验结果.有条件的

学校可以让学生学会用一种统计软件，例如软件，多次重复模拟试验，并

统计模拟的结果,画出频率折线图等统计图.

第课时随机事件的概率

学习自主化•目标明喻化

课程学习目标

.了解随机事件、必然事件、不可能事件、等可能性事件、确定事

件等基本概念.

.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的定义.

.理解频率与概率的区别与联系.

过程导学化•导学规范化

课程导学建议

重点:一是事件、随机事件、频数、频率、概率的概念;二是频率与

概率的区别与联系.

难点:理解频率与概率的关系.

u——41苗金知识记忆与理解

第一层级浜学区•不看不讲）

知识系统化•系统形象化

知识体系梳理

◎创设脩境

在一些赌王争霸的影片中，我们经常看到两个新老赌王掷骰子或梭

哈来定输赢，在掷骰子时会存在干术，比如在骰子中灌入铅.

请指出下面三个事件分别是什么事件.

谓不灌铅时，出现六点向上.

型在六点灌铅时,出现六点向上.

砥在六点灌铅时,出现一点向上（注:六点的对面为一点）.

o知帜导学

问题:()在上面的问题中，分别对应着随机事件、不可能事件、必然

事件.

()必然事件:在条件下(条件可以是一个条件也可以是一组条件)，二

定会发生的事件叫作相对于条件的必然事件，简称必然事件.

()不可能事件:在条件下，二g丕会发生的事件称为相对于条件的不

可能事件，简称不可能事件.

()确定事件:逊事件与丕亘能事件统称为相对于的确定事件，简称

确定事件.

()随机事件:在条件下，可能发生也可能不发生的事件称为相对于条

件的随机事件，简称随机事件.

问题:()随机事件的频率:在相同的条件下重复次试验，观察某一事

件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的醒，称事件出

现的比例()—为事件出现的频率.

()随机事件的概率:一般来说，随机事件在每次试验中是否发生是不

能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加,事件发生的频

率会逐渐稳定在区间口中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件发

生的可能性的大小，称为事件的概率，记作Q.

问题:频率和概率的区别与联系

()区别:频率随着试验次数的改变而改变，即频率是随机的,且试验

前是不确定的，而概率是一个确定的赏数，是客观存在的,与试验次数无

关，是随机事件自身的一个属性.

()联系在相同的条件下，随着试验次数的增加，随机事件发生的频

率会在某个超附近摆动并趋于稳定，所以可用频率作为概率的近似值,

当试验次数越来越多时频率向概率靠近，概率是频率的近似值.

问题:不可能事件、必然事件、随机事件的概率

若事件是不可能事件，则();若事件是必然事件，则();若事件是随机事

件，则()£口不可能事件、必然事件和随机事件这三个概念既有区别又

有联系.在具体的每次试验中，根据试验结果可以区分三种事件.但在一

般情况下，随机事件也包含不可能事件和必然事件，并且将它们作为随

机事件的特例.

说起概率论起源的故事,就要提到法国的两个数学家.一个叫帕斯

卡，一个叫费马.帕斯卡认识的朋友中有两个是赌徒年，法国一位贵族梅

累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题.这两个赌徒说，他

俩下赌金之后，约定谁先赢满局，谁就获得全部赌金.赌了半天赢了局赢

了局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.那么,这个钱应该怎么分?是

不是把钱分成份，赢了局的就拿份,赢了局的就拿份呢?或者，因为最早说

的是满局,而谁也没达到，所以就一人分一半呢?通过两人对这个问题的

讨论,概率论从此就发展起来了.

知识问题化•问题层次化

基础学习交流

.下列现象中，是随机现象的有().

①SE一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过辆；

辎为整数，则为整数；

期射一颗炮弹，命中目标；

@检查流水线上一件产品是合格品还是次品.

个个个个

【解析】当为整数时一定为整数，是必然现象，其余个均为随机现

象.

【答案】

.从一批准备出厂的电视机中随机抽取台进行质量检查，其中有台是次

品.若用表示抽到次品这一事件,则对这一事件发生的说法正确的是().

.概率为

.频率为

.概率接近

■每抽台电视机，必有台次品

【解析】台电视机中有台次品，连续从这台中抽取，每次抽取一台次

试验中必会抽到这台次品一次，故发生的频率为.

【答案】

.某人抛出一枚硬币次，结果正面朝上有次，设正面朝上为事件，则事件出

现的频数为,事件出现的频率为.

【解析】在次试验中，随机事件出现了次，所以事件的频数是，频率

为.

【答案】

.盒中仅有只白球只黑球，从中任意取出一只球.

()“取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少？

()“取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少？

()“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少？

【解析】()“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因

此它是不可能事件，其概率为.

()“取出的球是白球”是随机事件,它的概率是.

()“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然发生，因此它是必

然事件，它的概率是.

思维探究与创新

导学区•不议不讲

技能系统化•系统个性化

重点难点探究

随机事件、不可能事件、必然事件的判断

指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.

()明年春天雨水将会比较充沛；

()出租车司机小李驾车通过几个十字路口者群各遇到绿灯；

()若匕则》;

()抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于.

【方法指导】先回顾事件的分类，再判断事件的类型，进而得出结

【解析】由题意知:()()中事件可能发生，也可能不发生,所以是随机

事件;()中事件一定会发生,是必然事件;()中由于骰子朝上面的数字最大

是，两次朝上面的数字之和最大是，不可能大于，所以该事件不可能发生,

是不可能事件.

【小结】事件的分类主要是根据事件发生可能性的大小来确定，有

些事件需要进行适当地推理.

究二

用频率估计概率

某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数

击中靶心

次数

击中靶心

的频率

()填写表中击中靶心的频率.

()这个射手射击一次，击中靶心的概率大约是多少？

()若该射手在一次射击训练中射中靶心的次数为次，你估计该射手

这次训练射击了多少次？

【方法指导】()频率;()概率可用频率来估计;()射击次数七.

【解析】()表中依次填入的数据.

()由于频率稳定在常数附近，所以射手射击一次，击中靶心的概率约

()设射击了次，则仁仁次.

【小结】随机事件发生的概率是大量试验下的频率的近似值,是一

个确定的数,故可用大量试验下的频率来估计.

。探究三

随机试验的结果判断

指出下列试验的结果：

()从装有红、白、黑三种颜色的小球各个的袋子中任取个小球；

()从四个数中任取两个数(不重复)作差.

【方法指导】按照顺序列出所有抽取小球的结果;根据抽取两数作

差是有顺序的，因此列出抽取的所有结果作差.

【解析】()结果:红球,白球;红球,黑球;白球,黑球.

()结果,

即试验的结果为.

【小结】在解答本题的过程中，易出现结果重复或遗漏的错误，导致

这种错误的原因是没有按一定的顺序列出结果.

方法能力化•能力具体化

思维拓展应用

判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事

件？

()“抛一石块，下落”；

()“在标准大气压下且温度低于℃时，冰融化”；

()“某人射击一次中靶”；

()“如果)，那么)”；

()“从分别标有号数的张标签中任取一张彳导到号签”;

()“某电话机在分钟内收到次呼叫”.

【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知，事件

()、()是必然事件;事件()是不可能事件;事件()、()、()是随机事件.

应用二

口袋里有个黑球和若干白球，现不许将球倒出来数,王兰从口袋里

随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，她

总共摸了次，其中有次摸到黑球，你估计口袋中的白球个数为多少？

【解析】设口袋里有白球个，则口袋里共有球()个，于是王兰每次摸

一球,记下颜色放回，均匀后再摸一个记颜色,这样摸到黑球的概率，实验

中摸到黑球的频率为『解得",':估计口袋中有白球个.

应用三

袋中装有大小相同的红、白、黄、黑个球，分别写出以下随机试验

的条件和结果.

()从中任取球；

()从中任取球.

【解析】（）条件为从袋中任取球.结果为红、白、黄、黑，共种.

（）条件为从袋中任取球.若记（红，白）表示一次试验中,取出的是红球

与白球结果为（红，白）,（红，黄）,（红黑）,（白，黄）,（白，黑）,（黄黑）洪种.

.一技能应用与拓展

第二层级国学区3练不讲）

检渥智能化•智能效字化

基础智能检测

.下列说法正确的是（）.

.任何事件的概率总是在（）之间

.频率是客观的，与试验次数无关

.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率

.概率是随机的，在试验前不能确定

【解析】中应是口中（）为试验次数中概率不受试验的影响.

【答案】

个同类产品中含有个次品，现从中任意抽出个，必然事件是（）.

个都是正品

.至少有一个是次品

个都是次品

至少有一个是正品

【解析】都是随机事件;因为只有个次品，所以“抽出的个全是次

品”是不可能事件；“至少有一个是正品”是必然事件.

【答案】

.将一枚硬币连续抛掷次记录朝上一面的正反情形，可能出现的结果共

有个.

【解析】分别为（正正正）,（正正，反）,（正，反，正）,（正反反）,（反，正,

正）,（反，反，正）,（反正反）,（反，反，反）洪种结果

【答案】

.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下:

调查件

数

合格件

数

根据上表所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到件合格

产品,大约需要抽取多少件产品？

【解析】次抽查的合格频率分别为,则合格概率估计为.

设若想抽到件合格品，大约抽件产品，则,所以.

材料经典化•视角多元化

全新视角拓展

（年•重庆卷）下图是某公司个销售店某月销售某产品数量（单位:台）

的茎叶图，则数据落在区间［）内的频率为（）.

189

212279

3003

A.0.2.0.4

【解析】由茎叶图可知数据落在区间［)的频数为，所以数据落在区

间［)的频率为.

【答案】

思维导图构建

学习系稣化•成果共享化

学习体验分享

固学家

基硼达标超涮

.先从一副扑克牌中抽取张红桃张梅花张黑桃，再从抽取的这张牌中随

机抽出张，恰好红桃、梅花、黑桃种牌都抽到，这个事件().

.可能发生.不可能发生

.必然发生.无法判断

【解析】因为张牌中,红桃、梅花、黑桃中任两种的张数之和都小

于,故从张扑克中抽取张，三种牌一定都有.

【答案】

.下列说法正确的是().

.任一事件的概率总在()内

.不可能事件的概率不一定为

.必然事件的概率一定为

.以上均不对

【解析】任一事件的概率总在口内,不可能事件的概率为，必然事件

的概率为.

【答案】

.在件瓷器中，有件一级品件二级品,从中任取件.

()“件都是二级品”是事件.

()“件都是一级品”是事件.

()“至少有一件是一级品”是事件.

【解析】()因为件瓷器中，只有件二级品，取出件都是二级品是不可

能发生的，故是不可能事件.

()“件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故

是随机事件.

()“至少有一件是一级品”是必然事件，因为件瓷器中只有件二级

品，取件必有一级品.

【答案】不可能随机必然

.某校举办年元旦联欢晚会，为了吸引广大同学积极参加活动，特举办一

次摸奖活动.凡是参加晚会者，进门时均可参加摸奖摸奖的器具是黄、

白两色的乒乓球，这些乒乓球的大小和质地完全相同.另有一只密封良

好且不透光的立方体木箱(木箱的上方可容一只手伸入).拟按中奖率为

设大奖，其余则为小奖,大奖奖品的价值为元，小奖奖品的价值为元.

请你运用概率的有关知识设计一个摸奖方案以满足校方的要求.

【解析】在箱子里放个乒乓球，其中个黄色的个白色的.摸到黄球时

为大奖摸到白球时为小奖.

Q基本技能超涮

.从名学生中选取名组成参观团，若采用下面的方法选取,先用简单随机

抽样法从人中剔除人，剩下的人按系统抽样的方法进行，则每人入选的

概率().

・不全相等.均不相等

.都相等且为•都相等且为

【解析】每人入选的概率相等，故选.

【答案】

.给出关于满足星的非空集合、的四个命题：

潴任取£,则£是必然事件;辐任取。则e是不可能事件;③若任取

e厕e是随机事件;酒任取阵厕阵是必然事件.

其中正确的命题有().

个个个个

【解析】：£，.:中的任一个元素都是中的元素，而中至少有一个元

素不在中,因此。正确,鲂昔误,③正确,角.

【答案】

.某人捡到一块不规则形状的五面体石块，他在每个面上作了记号方殳掷

了次，并且记录了每个面落在桌面上的次数(如表).如果再投掷一次，请

估计石块的第面落在桌面上的概率是.

石块

的面

频数

【解析】我们从表格中可知，总共投掷了石块次，其中第面落在桌面上的

次数为次，故我们可利用它落在桌面上的频率估计其概率值为.

【答案】

.下面是某批乒乓球质量检查结果表：

抽取球数

优等品数

优等品出现____________________

的频率____________________

()在上表中填上优等品出现的频率;

()估计该批乒乓球优等品的概率.

【解析】()依次填上的频率是.

()从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率大约是.

Q技能拓展训壕

.掷一颗骰子，骰子落地时，记”向上的点数是”的概率为，“向上的点数

大于”的概率为，则.

【解析】根据题意得厕故

【答案】

.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了个智力

题，每题分.然后作了统计，表中是统计结果：

贫困地区：

参加

测试

的人

数

得分

以上

的人

数

得分

以上

的频

率

发达地区:

参加

测试

的人

数

得分

以上

的人

数

得分

以上

的频

率

()利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得分以上的频率;

()估计两个地区参加测试的儿童得分以上的概率;

()分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别.

【解析】()贫困地区:

参加

测试

的人

数

得分

以上

的人

数

得分

以上

的频

率

发达地区:

参加

测试

的人

数

得分

以上

的人

数

得分

以上

的频

率

()概率大约分别为和.

()经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受

到一定的影响;另外经济落后也会使教育事业发展落后,导致智力出现

差别.

第课时古典概型的特征和概率计算公式

学习自主化•目标明晰化

课程孽习目标

.了解基本事件的特点,会用列举法把一次试验的所有基本事件列

举出来.

.理解古典概型的概念及其特点,会判断一个试验是否为古典概型.

.会应用古典概型的概率公式计算随机事件的概率.

过程导学化•导学规范化

课程导学建议

重点:会利用古典概型求随机事件的概率.

难点:熟练地应用互斥事件和对立事件概率公式，将所求事件分解

为概率更易于计算的彼此互斥事件的和，化整为零，化难为易，也可采取

逆向思维，求其对立事件的概率.

士知识记忆与理解

第一层级预学区•不看不讲

知识系统化•系统形象化

知识体系梳理

◎创设脩境

一位魔术师要表演纸牌魔术，他要邀请一位观众从他准备的一副有

张牌的扑克中任意抽取一张牌，如果你是被邀请的观众,那么你抽到大

王的概率是多少?抽到一张红心牌的概率是多少？

◎知识导学

问题在上面的情境中，抽到的牌的可能结果总共有种每张牌抽到

的可能性是相等的，大王只有张，红心牌有张，所以抽到大王的概率

为抽到红心牌的概率为—，这种概率的求法其实就是我们这节

课所学的古典概型.

问题:基本事件

()基本事件:在试验中，能够描绘其他事件且不能再分的最简单事件

是基本事件.

()基本事件的特点：

①(壬何两个基本事件是豆氐的.

②(王何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和•如掷骰子

的试验中，随机事件“出现的点数是偶数”是由个基本事件组成的，分

别是“出现的点数是点”“出现的点数是点”“出现的点数是

点”.

问题:古典概型

()古典概型的定义：

8有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.

我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典

概型.

()古典概型的概率计算公式:对于古典概型，如果实验的所有可能的

结果(基本事件)的个数为，那么每一个基本事件的概率都是—，若随机

事件包含的基本事件数为佟)厕随机事件的概率为—.

问题:古典概型的计算步骤

()求出基本事件的总个数，基本个数较少时，通常用列举法把所有的

基本事件列举出.

()求出事件包含的基本事件个数(W).

()求出事件的概率().

概率论是从研究古典概型开始的,早在原始社会，那时的占卜师们

使用动物的趾骨作为占卜工具，将一个或多个趾骨投掷出去，趾骨落地

后的不同形状指示神对人事的不同意见.由于投掷趾骨这个过程所产

生的结果具有不可预测性，而每次投掷的结果也互不影响，这与我们今

天投掷骰子的基本原理有点相似，因此趾骨可以被看作是骰子的雏形.

但是由于趾骨形状的规则性较差，各种结果出现的机率不完全相同(即

不具备等可能性)，所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的

独立随机过程.

知识问题化•问题层次化

基础学习交流

.一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有().

.(男，女),(男房),(女女)

•（男，女）,（女，男）

.（男，男）,（男，女）,（女，男）,（女，女）

.（男，男）,（女，女）

【解析】由于两个孩子出生有先后之分.

【答案】

.下列试验是古典概型的是（）.

・任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件

.为求任意的一个正整数平方的个位数字是的概率,将取出的正整

数作为基本事件

.从甲地到乙地共条路线，求某人正好选中最短路线的概率

.抛掷一枚均匀的硬币至首次出现正面为止

【解析】选项者以所得的点数之和为基本事件厕和为的有一种（）,

和为的有两种（）、（）,…，显然，每个基本事件对应的概率不相等，故不为古

典概型.

选项，以正整数集为基础研究，结果有无穷多个，故不为古典概型.

选项,有种试验结果，选择每条路的可能性相等，故为古典概型.

选项,抛掷硬币出现正面的试验次数是不确定的，故不为古典概型.

【答案】

.学校为了研究男女同学学习数学的差异情况,对某班名同学（其中男生

人，女生人）采取分层抽样的方法才由取一个容量为的样本进行研究，某女

同学甲被抽到的概率是.

【解析】这是一个古典概型，每个人被抽到的机会均等，都为.

【答案】

.盒子里共有大小相同的只白球只黑球.若从中随机摸出两只球,求它们

颜色不同的概率.

【解析】设只白球为只黑球为，则从中随机摸出两只球的情形有，共

种,其中两只球颜色不同的有种，故所求概率为.

_\思维搽究与创新

—一层级导学区•不议不一）

技能系统化•东猊个性化

重点难点探究

Q««-

古典概型的判断

下列试验中，是古典概型的有.

（）种下一粒种子观察它是否发芽；

（）从直径为±o.的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径；

（）抛一枚硬币，观察其出现正面或反面；

（）某人射击中靶或不中靶；

（）两个奥运会志愿者相约在中午点到点之间在志愿服务地点交接

班.

【方法指导】首先阅读条件分清事件关系，其次根据古典概型的特

点进行判断，最后得出结论.

【解析】（）有两个基本事件“发芽”“不发芽”，这两个基本事件

对应的概率不相等，故不为古典概型.

()中的250mm±0.6mm是个无限集，结果有无穷多个,故不为古典概

型.

()有种试验结果，出现正面和反面的可能性相等，故为古典概型.

()中某人射击中靶或不中靶两个基本事件概率不一定相等，故不为

古典概型.

()两个奥运会志愿者相约在中午点到点之间交接班，基本事件是中

午点到点之间的任何一个时间两人交接班，基本事件有无穷多个，故不

为古典概型.

【答案】()

【小结】要判断古典概型就是判断:每个基本事件的发生是否是等

可能;试验可能出现的结果是否为有限个.

◎探究二

基本事件个数的计算

将一颗均匀的骰子先后抛掷两次,计算：

()一共有多少种不同的结果；

()其中向上的点数之和是质数的结果有多少种？

【方法指导】根据抛掷骰子顺序确定结果，根据两次之和确定“点

数之和是质数”的结果有多少种.

【解析】()将抛掷两次骰子的所有结果一一列举如下：

(),(),(),(),(),(),

(),(),(),(),(),(),

(),(),(),(),(),(),

(),(),(),(),(),(),

(),(),(),(),(),(),

(),(),(),(),(),(),

共有种不同的结果.

()点数之和题数的结果有(),(),(),(),(),(),()0(),(),(),0,(),(),(),共种.

【小结】()求基本事件的基本方法是列举法.基本事件具有不能

或不必分解为更小的随机事件;②不同的基本事件不可能同时发生.因

此，求基本事件时,一定要从可能性入手，对照基本事件的含义及特征进

行思考，并将所有可能的基本事件——列举出来.()对较复杂的问题中

基本事件数的求解还可应用列表或树形图.

。探究三

应用列举法解古典概型问题

袋中有个球，其中个白球个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件

的概率.

()取出的两球都是白球；

()取出的两球一个是白球，另一个是红球.

【方法指导】解答本题首先将它们的所有情况——列出，然后计算

它们的概率.

【解析】设个白球的编号为个红球的编号为.从袋中的个小球中任

取两个的所有可能结果如下共个.

()从袋中的个球中任取两个,所取的两球全是白球的基本事件数，即

是从个白球中任取两个的基本事件数,共有个，即为(),(),(),(),(),().

.:取出的两个球全是白球的概率为.

()从袋中的个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其

取法包括。(),0。0,。。。共个.

取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为.

【小结】列举法可以使我们明确基本事件的构成，此法适合于基本

事件比较少的情况,列举时要按规律进行，通常采用分类方法列举，这样

可以避免重复、遗漏，此题是按分别在第一位进行列举的.

方法能力化•能力具体化

思维拓展应用

应用一

在两个箱子里，各有一个黑球和一个白球，所有的球除颜色外完全

相同.从两个箱子里都摸出一个球.

()若将试验的结果一一“两个白球”“两个黑球”“一个白球一

个黑球”视为基本事件，能构成古典概型吗？

()求摸出的球是一个白球与一个黑球的概率.

【解析】()摸出的两个球的所有可能结果可表示为：“黑、

黑”“白、白”“黑、白”“白、黑”.这个结果是有限的，也是等可能

的,这种试验是古典概型.但将“摸出一个白球与一个黑球”视为基本

事件时，是将“黑、白”与“白、黑”两个结果合为一个结果，使得个结

果出现的可能性不全相等，故这时的试验不是古典概型.

()由()的分析可知，当试验的结果视为“黑、黑”“白、白”“黑

白”“白、黑”个结果时，试验为古典概型，“摸出的球是一个白球与一

个黑球”所包含的基本事件数为，故所求概率为.

◎应用二

连续掷枚硬币，观察落地后这枚硬币出现正面还是反面.

()写出这个试验的所有基本事件；

()求这个试验的基本事件的总数；

()记“恰有两枚正面向上”这一事件，则包含哪几个基本事件？

【解析】()这个试验的基本事件集合为：

Q

()基本事件的总数是.

()“恰有两枚正面向上”包含以下个基本事件：(正，正，反),(正，反，

正),(反，正,正).

应用三

先后抛掷两枚大小相同的骰子.

()求点数之和出现点的概率；

()求出现两个点的概率；

()求点数之和能被整除的概率.

【解析】如图所示,从图中容易看出基本事件与所描点——对应，共

第6

一

次5

掷

得4

向

上3

的

点2

数

1

123456

第二次掷得向上的点数

()记“点数之和出现点”为事件，从图中可以看出,事件包含的基本事件

共个:(),(),(),(),(),().故().

()记“出现两个点”为事件，从图中可以看出,事件包含的基本事件

只有个，即。故().

()记“点数之和能被整除”为事件，则事件包含的基本事件共

XX技能应用与拓展

第三层级耳_育学区•不练不讲)

检测鳖能化•智能数字化

基础智能检测

.从集合。中任取两个数相乘，积是偶数的概率是().

【解析】任取两个数相乘，共有XXXXXX,共种结果，其中积为偶

数的有种结果，故所求概率为.

【答案】

.下课以后,教室里最后还剩下位男同学和位女同学.如果没有同学一块

儿走，则第位走的是男同学的概率是().

【解析】已知有位女同学和位男同学，所有走的可能顺序有(女，女,

男房),(女，男，女，男),(女，男，男女),(男房，女女),(男，女男，女),(男,女女,

男),所以第位走的是男同学的概率是.

【答案】

.口袋中有个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球个，从口袋中摸出

一个球摸出白球的概率为,则口袋中黑球的数目为个.

【解析】摸出红球的概率为，因为摸出红球、白球和黑球是互斥事

件，所以摸出黑球的概率为,故黑球的数目为个.

【答案】

.某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有名队员，某些队员不止参加了

一支球队具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员求

()该队员只属于一支球队的概率；

()该队员最多属于两支球队的概率.

【解析】()设“该队员只属于一支球队”为事件，则事件的概率为

0-

()设“该队员最多属于两支球队”为事件，则事件的概率为().

材料经典化•视角多元化

全新视角拓展

(年•江西卷)集合{}{},从中各任意取一个数，则这两数之和等于的

概率是().

【解析】从中各取一数共有种情况其中两数之和为的

有(),()两种情况,

【答案】

总结评价与反思

第四层级思学区•不思不复

思维图形化•图形直观化

思维导图构建

学习系统化•成果共享化

学习体骏分享

.下列对古典概型的说法中正确的是().

◎式验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

②每个事件出现的可能性相等；

③每个基本事件出现的可能性相等；

@基本事件总数为，随机事件包含个基本事件，则().

.②④.①③④.(1)(4).③④

【答案】

人并排坐在一起照相，则甲恰好坐在正中间的概率为().

【解析】人并排照相,中间位置有等可能的种排法，.：甲坐正中间的

概率为，故选.

【答案】

.已知集合出点的坐标为(),其中ee.记点落在第一象限为事件厕().

【解析】点的坐标可能为共种，其中落在第一象

限的点的坐标为(),故().

【答案】

.有一项活动，需在名教师和名学生中任意选人参加.

()需一人参加,求选到教师的概率；

()需两人参加,求选到的都是学生的概率.

【解析】因为任意选人参加，所以每个人被选中的可能性相等，为古

典概型.

()一共有个人，故有种选人情况，而选到教师的情况有种，故概率.

()用数字代表教师代表学生，

则有共个基本事件，其

中两个数均为到之间的有个，故概率.

基本技能超涮

.在一个袋子中装有分别标注数字的五个小球，这些小球除标注数字外

完全相同，现从中随机取个小球则取出的小球标注的数字之和为或的

概率是().

【解析】随机从袋子中取个小球的基本事件为

共有种，其中数字之和为或的有数字之和为或的概率是.

【答案】

.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别有点)，骰子朝上

的面的点数分别为、，则的概率为().

【解析】由于先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别

有点)，出现朝上的面的点数看成有序实数对(),共有X种,且每一种的可

能性都相等，而满足的有(),(),()这种情况,所以所求的概率为.

【答案】

.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为、，则方程有实根的概

率为.

【解析】一枚骰子掷两次，其基本事件总数为，方程有实根的条件为

使2的基本事件

个数

由此可见，使方程有实根的基本事件个数为，于是方程有实根的概

率为.

【答案】

.设函数()从集合{}中任取一个数从集合{}中任取一个数，求使函数的定

义域为全体实数的概率.

【解析】:•£{}£{},

•：()的所有可能为0(),()0共种.

而，有w,即w,

.:满足定义域为的()的所有可能为：(),(),(),(),(),(),共种，

函数的定义域为全体实数的概率.

《技能拓屣训壕

・“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如)，在二位的

“渐升数”中任取一数比大的概率是.

【解析】十位是的“渐升数”有个，十位是的“渐升数”有个，…，

十位是的“渐升数”有个，所以二位的“渐升数”有个,以为十位比大

的“渐升数”为个,分别以、、、、为十位的“渐升数”均比大,且共有

个，所以比大的“渐升数”共有个，故在二位的“渐升数”中任取一数

比大的概率是.

【答案】

.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校的相关人员中才由

取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位:人).

高校相关人抽取人

()求；

()若从高校抽取的人中选人作专题发言,求这人都来自高校的概率.

【解析】()由题意可得,所以.

()记从高校抽取的人为，从高校抽取的人为，则从高校抽取的人中选

人作专题发言的基本事件有共种.

设选中的人都来自高校的事件为厕包含的基本事件有(),(),()洪种,

因此().

故选中的人都来自高校的概率为.

第课时建立概率模型

学习自主化•目标明晰化

课程学习目标

.通过实例，理解古典概型的两个基本特征能判断一个试验是否为

古典概型，能分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数

和试验中基本事件的总数.

.通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些

随机事件包含的基本事件数及事件发生的概率.

.通过实例，能利用树状图法、列表法、坐标法建立概率模型来解决

简单的实际问题.

过程导学化•导学规范化

课程导学建议

重点:建立实际问题古典概型的方法以及利用树状图法、列表法、

坐标法计算基本事件数.

难点:放回和不放回问题的古典概型的基本事件数的计算.

XX知识记忆与理解

——层级国二学区•不看不讲)

知识系虢化•系虢形配化

知识体系梳理

在某条人流量较大的街道上，有一中年人吆喝着“送钱喽”，只见

他手拿一只黑色小布袋,袋中只有个黄色和个白色的乒乓球(完全相同),

旁边立着一块黑板，上面写着:从袋中不放回地摸出个球，如果摸得同一

颜色球个，摊主送给摸球者元钱;如果摸得