高考数学二轮复习 07 立体几何教学案 文

--考场传真

1.【2012年北京卷数学（文）】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（)

C.56+126

A.28+6后B.30+6石D.

60+12行

【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示:

图中红色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股

定理的计算得到的边长.本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系

和三角形面积公式，可得，4=io,4=io,&=10,%=66，因此该几何体

表面积S=&+%+$&+%=30+6/，故选B

2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】设/为直线，。，夕是两个不同

的平面，下列命题中正确的是（）

A.若/〃a,mp,则a〃夕B,若/_La,11/3,则a〃夕

C.若/，a,U//3,则a〃4D.若aJ_Q,l//a,则/_L£

【答案】3

【解析】A中，a,产也可能相交；3中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C

中，口,户也可能相交；D中，，也可能在平面内内.

3

【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】已知三棱柱ABC-AAG的六个

顶点都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,ABIAC,A4,=12,则球Ofi勺半径为

q/i7iQ

A.——B.2A/10C.—D.3A/10

22

【答案】C

【解析】构建长方体的棱长分别为3,4,12.体对角线长为历再谖=13,外接扇的半径

为1上3，故选C.

2

4.（2012年高考山东卷文科13）如图，正方体ABCO-A4GA的棱长为1,E为线段4c上的

一点，则三棱锥4-DEDt的体积为.

【答案】

6

【解析】以△阚为底面，则易知三棱锥的高为1,故，

5.【2013年全国高考新课标（I）文科】已知”是球O的直径AB上一点，AH:HB=1:2,

A8_L平面a,”为垂足，a截球。所得截面的面积为乃，则球。的表面积为.

9

【答案】-n

2

【解析】过H的战面与球体上下分别交于X、N两点，三角形AMN为直角三角形，因为

MH=1,由射影定理可知，AH=立，3H=V2,所以球体的半径为逆，故表面积

24

S=4EM1"=2开

162

6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)】如图，四棱锥P—ABCD的底

面ABC。是边长为2的菱形，/84。=60.已知~8=。。=2,24=6.

(I)证明：PC±BD

(II)若E为尸4的中点，求三菱锥P—3CE的体积.

【解析】(1)证明：连接幺C交于。点

vPB=PDPOLBD

又•:ABCD是菱形BDLAC

而KCc产0=0面以CBDLPC

(2)由(1)8£)_1_面目4c

11万

SAPEC='^SAPAC=—Xx2^/3xsin450=正x栏x——=3

/-座C=y»PBC=5'SMFC'BO=1*3*5=-

7.【2013年高考新课标H数学(文)卷】如图，直三棱柱ABC-ABG中，D,E分别是AB,BB,

的中点.

(I)证明:BC〃平面ACD;

(II)设AAi=AC=CB=2,AB=2起,求三棱锥C-ADE的体积.

【解析】3）连结ng,交4c于点F,连结DO,则F为jg的中点,

因为D为AB的中点，所以⑪〃3g,

又因为FDu平面4c2?,BCi«Z平面4cZ),所以“平面48

(II)因为A3C-A.3：。是直三棱柱，所以幺4J_CD,由已知AC=C3,

D为AB的中点，所以CDJLAB,又44c工8=幺，

于是CD_L平面ABBXAX，即CD是三棱锥C-A.DE的高，

由AA：=AC=CB=2»A3=10得，Z.ACB=90'>CD=0,\D=^/6,DE=^3»

&E=3,

故402+0^2=4后2,即DE_LA£),所以小用X0=1.

328.

(2012年高考福建卷文科19)(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=L

AAi=2,M为棱DDi上的一点。

(1)求三棱锥A-MCC的体积；

(2)当AiM+MC取得最小值时,求证:BN_L平面MAC。

【解析】(1)又长方体ADJ■平面CDL\C\.点、A到平面CDD\G的距离AD=1,

'''Sniocc='^C\XCD=]X2X1=1,VA_lttcc=-^ADSai/£;c--

⑵将侧面cz)AG绕。马逆时针转动90°展开，与侧面ADA4共面.当A，M,c共线

时，

+MC取得最小值AD=CD=1,A&=2得M为ZZO]的中点连接MC】在口加CC\中，

g=MC=0,Cg,

：.CC：=g2+MQ1,...Neg=9。°,CM_Lg,

,.•用。1_1_平面仁£»£)£，，片。1^^1^：AMCMC=C

CM_L平面BQiM，同理可证±AMBXM_L平面MAC

9.【2013年全国高考统一考试天津数学(文)卷】如图，三棱柱UC—4AG中，侧棱44,

底面/园且各棱长均相等.D,E,尸分别为棱/氏BC,4G的中点.

(I)证明"7/平面4W;

(II)证明平面4G9_L平面4/协；

(III)求直线外与平面4徵所成角的正弦值.

1答案】(I)证明：在三棱柱W3C-E5.G中，AC〃4g，且AC=4G，

连结ED,在/L48c中，因为D、E分别为A3,BC的中点，所以工=,力。且。三〃AG

2

又因为F为AC1的中点，可得三，且4F〃DE,

即四边形&DEF为平行四边形，所以三D4,

又EFg平面土8,D&U平面£8,所以£F平面.±8.

（H）证明：由于底面A3C是正三角形，D为A3的中点，

所以O_l_A3,又由于侧棱4工底面A3C,

CDU平面A.CD,所以平面一士CDJ■平面A-.ASBi.

WD在平面/：X33：内，过点3作3G_LAD,交直线AZ）于点G,连结CG,

由于平面X：CD_L平面A_A33：,而直线4Z）是平面ACD与平面V：上53.的交线，

所以3G_L平面A.CD,由此得NBCG为直线3C与平面A；CD所成的角.

设核长为。，可得=与，由MHZJSABGD,易得BG=容，

在立EA8GC中，sinABCG=-=^-,

BC5

所以直线BC与平面/8所成角的正弦值为立.

5

高考研究

考纲要求.

（-）立体几何初步

（1）空间几何体

①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中

简单物体的结构.

②能画出面单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能

识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.

③会用平行投影与中心投影两种方法，画出面单空间图形的三视图与直观图，了解空间

形的不同表示形式.

④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.

(2)点、直线、平面之间的位置关系

①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

♦公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

♦公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

♦公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有•条过该点的公共直线.

♦公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

♦定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关

性质与判定定理.

理解以下判定定理.

♦如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

♦如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

♦如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

♦如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直

理解以下性质定理，并能够证明.

♦如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平

行..

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

♦垂直于同一个平面的两条直线平行.

♦如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

(_)空^

能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本

元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问

题的本质.

II

命题规律

新课标下的立体几何高考题，基于新的教学理念，相较于大纲卷有两个明显的差别，一是难

度略有降低，题量有所减少，二是更注重对空间几何体的直观认识的考查。反映在考题上，

就是减少了繁难的证明和计算(新教材删除了线线、线面、面面距离和球面距离)，大大降低

了对空间的角的考查难度(很多省市根本就不考空间的角与距离)，增加了对几何体的认识的

考查(三视图几乎成了必考内容)，计算题多考体积与表面积。题量由过去的3-4个题减少

为2—3个题。难度一般在0.65左右，略低于全卷的总体难度。这也与新教材中课时的大幅

减少相对应。三视图与球体作为两个相对独立的内容，往往出现在选择题或填空题中。在选

择题或填空题中还常常考到只涉及线面关系而不涉及几何体的题，以体现对空间想象能力的

考查。解答题既有线面关系的证明，又体积表面积的计算。由于涉及体积的计算，点到平面

的距离应予以高度重视。在试题结构上一般是2—3个小问，很多时候采用层层设问的形式形

成梯度(也提高区分度)，前面的问为后面的问服务。解答题除了对空间想象能力的考查外，

还注重对学生对符号语言、文字语言及图形语言的掌握和运用的考查，还注重对学生逻辑思

维能力的考查.

基础知识整合

1.三视图：

(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体

画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽，即“长对正,

高平齐，宽相等”.

(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右

面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样.

(3)画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.

2.体积与表面积公式：

(1)柱体的体积公式：=

锥体的体积公式：%=

台体的体积公式：1台=3人(5+网+5')；

球体的体积公式：4=

(2)球的表面积公式：S球=4%/?2。

棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积。

注：圆柱、圆锥、圆台的体积及表面积不作要求。

3.空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质(以下内容建议印发给学生，由学生对照回

顾，老师再补充讲解)

(1)异面直线

判定:反证法

(2)J6方大6萍筠

判定：①平几方法：

②公理4：

③线面平行的性质：

④面面平行的性质：

(3)直线与直线垂直

判定:①线面垂直=线线垂直。

②直接求角：用勾股定理。

③平几方法：

(4)直线与平面平行

判定:①(定义)反证法

②判定定理：

③平面与平面平行的性质：

性质:①若一条直线平行于一个平面，则直线与平面无公共点。

②性质定理:

(5)去。右不左垂士

制定：①定义

②判定定理：

③两条平行线中的一条垂直一个平面，那么另一条也垂直这个平面.

④面面垂直的性质定理：

⑤P-3第5题：

⑥一条直线垂直两个平行平面中的一个，那么也垂直另一个.

性质:①

②性质定理：

(6)平面与平面平行

判定:①定义

②判定定理：

③推论：

性质:①两平面平行，则这两个平面无公共点。

②性质定理：

(7)平面与平面垂直

判定:①定义

②判定定理：

性质:①两平面垂直，则这两个平面所成的二面角为直二面角。

②性质定理：

③课本%思考.

4.空间的角与距离

(1)异面直线的夹角

①过其中一条上的一点作另一条的平行线。

注：有时需按以下步骤进行(如下图)。

第一步：作(找)出过其中一翥a而与另二条6相交的平面。；

第二步：在。内过交点。作"必；

第三步：求直线6与4所成的角.

②过空间一点作这两条异面直线的平行线。

(2)科气£•4■王新成的保

①作出斜线在平面内的射影，求斜线AB与其射影AC所成的角.

②求出斜线上的一点B到平面a的距离d(常用等积法)，贝ijsin8=2.

AB

(3)点到直线的距离

①直接作直线的垂线。

②求点P到平面a内的直线a的距离:

第一步：过一作交平面a于点0，

第二步：在a内过0作作QR_La,垂足为A；

第三步：连结P、R,则依即为点P到直线。的距离。

（4）点到平面的距离

①直接作平面的垂线

②要作垂线，先作垂面

③体积法（等积法）

二.高频考点突破

考点1：三视图与直观图

【例1】（2012年高考陕西卷文科8）将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示

的几何体，则该几何体的左视图为（）

【解析】因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形，其中马工的正投影是正方

形的对角线（实线），用C的正投影被遮住是虚线，所以B正确.

【规律方法】1、画三视图的基本原则是：长对正，宽相等，高平齐.在做题时也要根据这个

原则来画直观图.要根据这个原则来验证所画直观图是否正确.

2、三视图问题关键是搞清楚三视图中的每条轮廓线代表的意义，三视图中给出的尺寸在几何

体中对应哪些线段的尺寸，三视图中的角度在几何体对应的角度是多少.尤其要注意图中的直

角，这是一个很重要的信息.必须结合三视图弄清几何体的直观图的构成，根据三视图的信息

确定直观图中相关的量，然后才能进行相关计算.

【举一反三】【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】已知一几何体的三

视图如图所示，则该几何体的体积为.

tiiEiMIW左隔收阳

«（12）SS

【答案】—

3

【解析】

试题分析：由三视图知，此几何体是一个组合体，上面是1球，其半径为1,下面是半圆柱,

4

141外47r

底面半圆直径为1,高为2.所以组合体的体积为，=—x-7F+—x开Xpx2=—.

4323

考点2：球体

【例2】【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（文）】已知矩形ABCD的顶点都在

半径为5的球0的球面上，且AB=6,BC=2石，则棱锥O-ABCD的侧面积为（）

A.20+8逐B.44C.2045D.46

【答案】B

【解析】

试题分析：由题易知四棱维O-jBCD的侧棱长为5,所以侧面积底边为6和2齿的斜高

分别为4和2君，所以棱锥。-金38的侧面积为S=4x6+x2指=44.

【规律方法】1、球体中常常用到以下结论：设球的半径为R,球的截面圆的半径为广，则球

心到截面的距离为“=’我2-/

2、求三棱锥的体积要注意如何选取底面和顶点.因为三棱锥的每一个面都可以作为底面，每

一个顶点都可以作为顶点.

【举一反三】【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试文科】直三棱柱

43。一4与。1的六个顶点都在球。的球面上，若4?=3。=2,ZABC=90°,例=2近,

则球。的表面积为（）

A.4zrB.84C.24%D.16〃

【答案】D

【解析】

试题分析：直三棱柱外接球的球心。位于上下底外心连线的中点。上，及AA5c中，

47=2厂=^/^用=20即1=0,及A。。/中，。。'=0，A01=r=y/2,所以

R2=OO'2+A0^=（V2）2+（0）2=4,球的表面积S=4而2=16万.

考点3：纯线面位置关系的判定

[例3][2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】设m、n是两条不同的直

线，名尸是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A^若m//a,九//a,则加//〃B、若m//a,m///?,则。//4

C、若加//〃，m_La,则〃_LaI）、若加//a,a_L"则m_LB

【答案】C

【解析】平行的传递性只有在线线和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，即

a!lb,bllc^al!c\aII=>a!!y>所以A,B都错误.根据定理：两平行线中

的一条垂直于某平面，另一条也垂直于此平面，所以c正确.由

洗。_1,尸=洗匚产或切_L£，所以D错误.所以选c.

【规律方法】综合运用线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，对每一选项逐一判断。

【举一反三】【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考（文）】设仙,〃是两

条不同直线，a,"是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A.〃2〃a,〃〃夕且a〃夕，则团〃〃B.〃2J_a,〃J_/?且a_1_夕，则相

C.mJ-u夕,加J_”，则a_L£D.mua,nua,mll/3,nH氏班.a甘/3

【答案】3

【解析】

试题分析：A中，allj8,mHa,nil,利与万平行、异面、相交皆有可能.3中，m±a,

a_l_尸，则附u尸或网〃尸，又因为万_1_产，所以活故3正确.C中，

w_La,%u立活_!_%则冽与户可能垂直，当溶_1_力时有a〃户，所以C错误.D中，由面

面平行的判定定理，必须要搐与万相交，才能得到日〃户.所以。错误.故本题选3.

考点4：几何体中的线、面位置关系

［例41【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(文)】(本小题满分14

分)如图，在多面体A8CD中，四边形ABC是矩形，AB//EF,

AB=2EF,ZEAB=90",平面ABEEJ•平面ABCD.

(1)若G点是DC中点，求证：bG〃面AED

(2)求证：面D4/_!_面氏4尸.

(3,)若AE=AD=1,A3=2,求三棱锥O-AFC的体积.

(2)♦.•平面3尸&_L平面超8,平面48斤ED平面38=幺8，

ADLAB,兑Z)u平面/88:血)J_平面氏4尸..............6分

又'：ADc面DAF:.而DAF_1_面

BAF..............S分

(3)•.•平面抽尸£_L平面加8,平面工友花D平面/8=上6,ZEAB=90°,EAa

平面ABFE

:.龙4JL平面

ABCD............................10分

VEF//AB又,/EF(Z面ABCD,A5u面ABCD

:.防〃面ABCD,即F到面ABCD的距离为£到面ABCD的距离

EA..............12分

:%-近=/-皿=]X砌xSAj15c=5XIX5XIX2=§--------14分

【规律方法】1、证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理,

第二用面面平行的性质定理；2、证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面。这必须结合

条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；3、条件中告诉我们某种位置关系，就要联

系到相应的性质定理。比如本题中已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定

理；4、在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身

的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是

给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行。线线平行是平行关系的根本。5、在垂

直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线

线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定

理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直.

【例5】【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文】如图4,在四棱锥P—ABCD

中，底面ABC。为菱形，其中B4=P£>=AD=2,NB4D=60°,。为AD的中点.

⑴求证：4。，平面尸。3；

⑵若平面平面A6CO,且M为PC的中点，求四棱锥M-ABC。的体积.

【答案】n）详见解析；⑶入皿=1♦

【解析】

试题分析：：□只要证皿与平面尸3内的两条直线相交垂直即可，如皿与尸。，8。都

垂直；㈡先作求出四棱锥般-工8co的高，再利用四棱锥体积公式求四棱锥

河-幺88的体积.

试题解析：3•:FA=FD,Q为中点，：NZ）_LFQ.............1分

连DB,在中，AD=AB.ZSAD=60°,

..ZL4BZ）为等边三角形，。为3的中点，

：.ADLBQ,.............2分

尸QcBQ=Q,尸Qu平面尸QB,8Qu平面尸Q8,

（三个条件少写一个不傅该步猱分）........3分

：,<£）_!_平面尸QB..............4分

（2）连接QC,作M?/_LQC于H..............5分

•••PQ1AD,PQu平面29,

平面PADc平面-.3CD=AD

平面PADJL平面A3CD,............*6分

:尸QJ■平面38,........7分

QCu平面兑ECD,

PQLQC.......吆分

..PQ//MH.............s分

M£_L平面488,.............10分

又产版=+FC,MH=^PQ=^x^x2=^-

11分

在菱形幺58中，BD=2,

-xABxADxsin6(f=lx2x2x^=.

方法一：^AABZ）12分

222

S卷称ABCD=2sM加=2'\/3.13分

%3==LX24X立=\.

14分

方法二：AC=y/AB2+BC2-2ABBCcosZABC=722+22-2x2x2cosl20°

|4+4-8x-1

=2收12分

S^=5=5Xx2=2\/5,13分

能3CDXMH

=1x2-\/3x=1

14分

32

【规

律方法】1、证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线；而证明异面的线线

垂直，很多题都要通过线面垂直来证明；对相交直线垂直的证明，一般考虑用平面几何里的

方法。常见的有以下几种，若是等腰三角形，则底边上的中线与底边垂直；若是锥形、菱形

（正方形），则对角线互相垂直；若是矩形，则邻边互相垂直；有时还用到以下结论：如下图,

,则AFJLOE；

若告诉了线段的长度，或者是告诉了边与边之间的关系，则用勾股定理。2、对面面平行，在

我的印象中高考解答题很少考过（（查遍历年高考题，发现13年江苏考了），对面面平行我们

是该重视它，还是忽略它，请各位老师定夺。3、在新课标中，体积和表面积是高考的重点考

查内容，在复习中一定引起高度重视。

【举一反三】1、【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学(文如图，四棱锥

P—A3CO的底面ABC。是正方形，棱底面ABC。，PD=DC,E是PC的中点.

(1)证明：PA〃平面BDE；r

(2)证明：平面平面P8C.

【答案】U)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

试题分析：⑴由取推出24〃平面3D瓦⑵由ADJLDE,8CJLD内推出Z)£JL

底面PBC，进而推出平面BDE±平面PBC.

试题解析：⑴连结AC:设AC与无D交于。点连结EO.

•.•底面A3CD是正方形;。为工C的中点，又名为?C的中点：

二OEHPA:OEu平面BDE:E40平面BDE

：.PAH平面BDE.

(2)-/尸£>=£)(7,£是产(7的中点,「.DELPC

■：产Z)_L底面ABCD,PDLAD.又由于加_LCD;产。口8=Q，故工少，底面

PCD,

所以有皿_L0及又由题意得ADHBC,故BC±DEBCLDE

于是:由ECA尸0=C：DE_L尸C;BC_L区可得DE_L底面产EC.

故可得平面BDE±平面PBC

【举一反三】2、【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】如图，四棱锥P—ABC。的底面

为平行四边形，PDL平面ABCD,“为PC中点.

(1)求证：AP〃平面MBD；

(2)若求证：班)，平面P40.

（▼M【6♦・出）.

【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.

试题解析：（1）连播RC交于点。，连接。M,

因为底面745c。是平行四道形，所以点。为4C的中点，

又〃为产C的中点，所以。舷〃取，..........................................4分

因为OMu平面/Z）,JP<Z平面MBD,所以4P〃平面以3。...............七分

（2）因为为_1_平面可8,ADa^ABCD,^kPDLAD,..................8

分

因为工QJ■产8,PD?\PB=P,产Du平面尸BQ,PBu平面FBD，所以上。_1■平面

PBD,

因为3毅u平面尸8。，所以

AD1.BD,...........................................10分

因为PD_L平面ABCD,8。u平面ABCD,所以产。J.BZ）......................12

分

又因为SC4D,AD[}PD=D./Qu平面FAD，产Z）u平面R40,

所以3Z?J"不面

PAD...............................................................14分

【举一反三】3、【山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中2014届高三第一次四校联

考文】如图，在四棱锥P—A3C。中，PD_L平面ABC。，CD±PA,08平分NADC,

上为PCfi勺中点，NZMC=45,AC=@

(I)证明：Q4〃平面BOE；

(ID若「。二工台力二^^求四棱锥石—人台四的体积。

【答案】(I)见解析；(II)=1.

试题解析：(I)设ACnBD=F,连接SF,

•/PD±平面工88,CDc平面工BCDPD±CD

y,'：CDLPA,PDrxPA=P,PD,凡4u平面兄4D

..8_L平面兄平面产⑷......2分

■：£DAC=A^,：.DA=DC,.....3分

•••必平分乙4Z)C,F为中点，后为产C中点，

:.EF为LCPA的中位线.......4分

••-EF//PA,EF(z平面&DE,PA(Z平面如5

」.24〃平面跳出.......6分

(H)底面四边形ABCD的面积记为S；

=^IM)C+^ILA£C=—X^X-^-4--X^x—V2=2......9分

•.•点£为线段尸c的中点，

:瞑-A30D=gs，5|即|=......12分

【举一反三】4、【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】如图，四棱锥的底面

为矩形，AB=C,BC=1,E,E分别是AB,PC的中点，DEA.PA.

(I)求证：EF平面PAD：

(II)求证：平面R4C_L平面PDE.

试题解析：(I)法一、取产Z)中点G,连工G,尸G,

因为F,G分别为FC,产〃的中点，所以FGZ7CD,且FG=1s.

2

又因为下为幺8中点，所以工£08,且延=1cZ).

2

所以工NOFG,AE=FG.故四边形曲G为平行四边形.

所以班。幺G,又匹<2平面必Z),幺Gu平面上40,

故防。平面R40.

法二、取ZX7中点"，连与

因为凡M分别为产C,C。的中点，&为幺3中点，所以FWZ7©产，EF0AD.

所以平面SFMZ7平面PAD,从而EF。平面PAD.

(II)设/<7口少£=耳，由A^MSACZ)目及以为中点得名;吧二士，

CHCD2

又因为工5=0,5C=1,所以/C=石，AG=-AC=^-.

33

所以丝=坐=岑，又/员4c为公共角，所以AH4/sea4c.

AEACd3

所

以NAaE=NABC=90°,即。£_LAC.

又口E1PA,PAQAC=A,

所以Z)£_L平面R4c.

又DEu平面PDE,所以平面PACJ•平面PDE.

考点5：空间的角与距离

[例6][2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】如图，在四棱锥P-ABCD

中，PA_L面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=、〃，PA=/,ZABC=120°,G为线段PC上的点.

(I)证明：BD_L面PAC；

(][)若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；

【答案】证明：(I)由已知得三角形ZBC是等腰三角形，且底角等于30°,且

AB=CB

AD=CD>=>M.BD=\CBD=：>_ABD=ZCBD=60°且/£4。=30°,所

BD=DB

PALABCD-^BDVPA\,

以.、BD1AC,又因为、二、BDLPAC.

BDVAC

解：(II)设ACBD=O,由(1)知。O_L平面PAC,连接GO,所以。G与面

APC所成的角是乙DGO由已知及（1）知

BO=tAO=CO=邪DO=V7-3=2,

OD

GO~，所以QG与面4PC

所成的角的正切值是16.

（III）由已知得到：PC=V^42+AC2=J3+12=/，因为

PC1BGD:.PCIGD,在\PDC中，

PD=邪+7=M、CD=FPC=^,设

22

PG=x：.CG=yJ15-x:.10-X=7-（＞/T5-X）FG=x=3屈）,GC=2岳:.丝=2

55GC2

【例7】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）】

如图，直四棱柱ABC。—A4GR中，AB//CD,AD±AB,AB=2,AD=亚,A4,=3,

E为CD上一■点，DE=1,EC=3

证明：BE,平面BBC，；

求点用到平面EAG的距离.

【解析】（1）vBE2=12+（应尸=3,BC2=（应产+（3-1）2=6

•：EC=3:.EC2=BE^+BC2,

：.BEA.BC,又vBE_LBBVBBXcBC=B_BE_L平面

(2)分别在直角三角形月4£，ECCt&A5中得4后=2后9cl=45=3"

^JLASC=-x2*^X"yi5=>/45,S.BC=5*2x点=01

%-AXC=—E-ABC，：,=0X3,:.k=~~~

即所求距离为坐.

5【例8】

【2012年高考上海卷理科19］如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A8CO是矩形，24，底

面ABC。，E是PC的中点，已知A3=2,AD=242,PA=2,求：

(1)三角形PC£>的面积；

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.

【解析】(1)因为*L底面A8C。，所以PA_LCD,又4?J_CD,

所以CD_L平面PAD,从而CDA.PD....3分

因为「。二也一⑵②2=2上,CD=2,

所以三角形PC。的面积为争x2x2力=2后....6分

(2)取P8中点F,连接EF、AF,贝IJ

EF//BC,从而AAEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角……8分

在中，由EF=^、4F=△、AE=2

知必EF是等腰直角三角形，

所以NAEF=2

因此异面直线8c与AE所成的角的大小是号.……12分

【规律方法】1、异面宜线所成的角，通过作平行线，转化为相交直线所成的角。具体地，有

以下两种方法：一是在其中一条上的适当位置选一点，过该点作另一条的平行线；二是在空

间适当位置选一点，过该点作两条异面直线的平行线。求异面直线所成的角，点的选取很重

要。2、直线与平面所成的角就是直线与其在该平面内的射影所成的角。求线面角的关键是找

出斜线在平面内的射影，一般在斜线上的某个特殊的位置找一点，过该点平面的垂线，从而

作出射影；3、求点到平面的距离除直接作出面的垂线外，常常用到等体积法。4、求空间的

角与距离，总的原则是转化到同一平面内在三角形中进行求解.

【举一反三】1、【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】如图，三棱柱/式」4旦G

中，侧棱4/工底面/附且各棱长均相等.D,£尸分别为棱4?,BC,4G的中点.

(I)证明用7/平面4必；

(II)证明平面4必，平面儿必®;

(III)求直线比1与平面4切所成角的正弦值。

D

A1

【答案】(I)详见解析；(II)详见解析；(III)立

5

【解析】

试题分析I(I)连接如，要证明班7/平面48,只需证明瓦〃即可，(II)欲证

平面4CZ)_L平面44381，即证平面内一■线与平面垂直，根据■线与平面垂直的判定定

理证得CZ)_L平面再根据平面与平面垂■的判定定理证明即得，(山)先过B作

BGLHD交AD于G，利用(II)中的结i仑得出8GJ•平面4C。，从而N3CG为所求

的角，最后在■角A8CG中，求出$inN3CG即为直线5c与平面4c。所成的角的正弦

值.

试题解析।(I)如图，在三柳柱加c-451G中，/C7/4G且ac=4G，

连接如，在03c中，因为0、£分别为力8.BC的中点.所以=且。£7/47,

2

又因为F为4cl的中点，可得4^=。后，且AFHDE,即四边形4。郎为平行四边形，

所以EFHDAV又EF(Z平面48.%u平面A^D，二EFH平面；

%?

AiA

(II)由于底面那C是正三角形，。为幺8的中点，故CZ)_L58,

又由于侧棱44i_L底面3C,8匚平面3(7,所以441_LCD,

又AA^AB=A,因此CD_L平面A^ABBX,而CDc平面AftD,所以平面A^JD_1_平

面AiABB1；

(III)在平面片儿?用内，过点B作BG_L4Z)交直线4〃于点G，连接CG,

由于平面48_1_平面\ABBX,而直线43是平面AS与平面\ABBX的交线,

故BG_L平面4co,由此得ZBCG为直线BC与平面&JD所成的角,

设棱长为“，可得其。=三a,由A4出)口A8G0,易得86=毛。,

在氏tABGC中，sinZ5CG=—=—,

BC5

所以直线BC