§2-3-角动量守恒定律-第3次

1§2-3

角动量守恒定律一、力矩二、角动量和角动量定理三、角动量守恒定律

2一、力矩(momentofforce)

大小

M=Fd=Frsinθ

力矩单位

N·m

(牛顿米)量纲方向右手定则yxzOd1、力矩的一般意义右手定则四指由矢径通过小于180º的角度转向力

的方向，拇指指向就是力矩的方向。32、力对轴的力矩质点P的位置矢量

和作用力

可表示为，则在以参考点O为原点的直角坐标系中,

表示为4分量式力矩沿某坐标轴的分量通常称作力对该轴的力矩。下面计算力对z轴的力矩由图可见代入Mz式中可得R⊥OQβφzyx）φ）5）xyzO）如果知道力矩矢量的大小和它与z轴之间的夹角

,那么力对z轴的力矩也可按下式求得R⊥OQβφzyx）φ）lzlz力对z轴的力矩式中R、为在xy平面上的投影。61、角动量(angularmomentum)大小

l＝rmvsin

方向右手螺旋定则判定单位kg·m2/s量纲ML2T-1设质点的质量、位矢、速度和动量分别为。质点相对参考点O的角动量定义为

mOθPxyzO））二、角动量和角动量定理7质点对通过参考点O的任意轴线Oz的角动量lz,是质点相对于同一参考点的角动量l沿该轴线的分量。如果质点始终在Oxy平面上运动，质点对Oz轴的角动量与对参考点O的角动量的大小是相等的，即xyzPO））lz

注意:面对z轴观察,由

方向沿逆时针转向

的方向所形成的角才是

角。8(4)对轴的动量矩在具体的坐标系中，动量矩在各坐标轴的分量，就叫对轴的动量矩。例1一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为d1、d2、d3求此时刻质点对三个参考点的动量矩md1d2

d3ABC解9(3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩。例2：圆锥摆球在水平面内匀速转动，分别讨论对固定点A和O点，小球受的张力矩，重力矩和角动量。解：对于A点对于O点：102、角动量定理(theoremofangularmomentum)

角动量，两边求导另外，作圆周运动的质点的角动量l=mrvO11其中令，为合外力对同一固定点的力矩。大小

M＝rFsin

(

为矢径与力之间的夹角)方向右手螺旋定则。单位Nm量纲ML2T-2

mO

12角动量定理

质点所受的合力矩=角动量时间变化率。如果质点始终在Oxy平面上运动,可得到Mz

13若作用于质点的合力对参考点的力矩,由，得恒矢量即若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零,则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。三、角动量守恒定律

注意：(1)这也是自然界普遍适用的一条基本规律。(2)=0，可以是=0,也可以是

=0,还可能是

与

同向或反向，例如有心力情况。14如果作用于质点的合力矩不为零，而合力矩沿Oz轴的分量为零,则恒量

(当Mz=0时)当作用于质点的合外力所受对Oz轴的力矩为零时，质点对该轴的角动量保持不变。此结论称为质点对轴的角动量守恒定律。15设质点系由n个质点组成质点系的角动量为所有质点的角动量的矢量之和，即速度位矢力矩质量

质点系的角动量定理16n个方程相加对每个质点，根据角动量定理列方程或17因为，所以直接表示为质点系的角动量定理表述：质点系对某参考点的角动量随时间的变化率，等于该质点系所受外力对同一参考点的力矩的矢量和。考虑质点间的相互作用(1)质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量；(2)内力对定点的力矩之和为零，只有外力矩才能改变系统的总角动量。18质点系角动量守恒定律如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零，那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化。

当时恒量恒矢量当

时上式称为质点系对轴的角动量守恒定律。19例如由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律。行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积行星在速度和有心力所组成的平面内运动m

掠面速度行星受到的合外力矩

20观察发现,宇宙中存在着大大小小各种层次的天体系统,它们都具有旋转的盘状结构,并且系统中的天体基本上都朝同一方向转动,无论是太阳系、银河系以及众多的河外旋涡星系都是如此，这种现象的形成是天体系统遵从角动量守恒定律的必然结果。近红外线拍摄到的银河系侧面图，中央是银核。比较动量定理动量矩（角动量）定理形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。22

例1质量为m的小球系于细绳的一端，绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上,小球被约束在水平面内绕细棒旋转,某时刻角速度为

1，细绳的长度为r1。当旋转了若干圈后,由于细绳缠绕在细棒上,绳长变为r2,求此时小球绕细棒旋转的角速度

2。解小球受力绳子的张力

,指向细棒；重力

，竖直向下；支撑力

,竖直向上。

与绳子平行,不产生力矩；

与平衡，力矩始终为零。所以,作用于小球的力对细棒的力矩始终等于零,故小球对细棒的角动量必定是守恒的。23根据质点对轴的角动量守恒定律式中v1是半径为r1时小球的线速度,v2是半径为r2时小球的线速度。代入上式得解得可见,由于细绳越转越短,,小球的角速度必定越转越大,即