微元法及定积分的几何应用

《高等数学》上册教案第六章定积分的应用PAGEPAGE13第六章定积分的应用§1、微元法（元素法）当时，连续且，则定积分的几何意义是曲边梯形的面积，即。由此可见，用定积分表示面积的关键在于写出微小面积的近似值；由于分割的任意性以及的任意性，微小面积记为，记为，并取，则微小面积可以近似的表为，记微小面积的近似值为~~面积微元（面积元素），这正好是积分表达式，。从而有。注：事实上，所取面积的近似值正是面积的微分，即就是用面积的微分作为面积微小量的近似值。如果所求量为，且满足：⑴对应于某个变量，如，且；⑵在时，具有可加性；则可以用下面的方法，得到的一个积分表达式。①选取积分变量，如，确定的变化范围即；②，求出在上所求量的微小量的近似值，也称为的微元（微小量的近似值），即：；③，即：。以上方法的关键是得到所求量的微小量的近似值，即微元。§2、平面图形的面积一．在直角坐标系下设平面图形如右图所示，求此图形的面积。⑴所求面积视为变量的函数，则；⑵，对应的微小面积的近似值即面积微元；⑶例1．求曲线，所围成图形的面积。解：联立：，解的交点：、，且，或者直接利用推出的公式，此时，，，则注：如果求平面图形（右图）的面积，则⑴选取积分变量为，；⑵，对应细小横条的面积的近似值即面积微元为：⑶如果将上面例题中所求面积视为的函数，则⑴面积为变量的函数，；⑵分别考虑：，对应的面积的近似值即面积微元⑶所求图形的面积为：。注：①积分变量的选择（或）可能直接影响到积分的计算；②公式，与定积分几何意义的结果一致。二．在极坐标系下设曲线的极坐标方程为：，。下图为曲边扇形。⑴积分变量，且；⑵，则；⑶。例2．求心脏线所围图形的面积（）。解：由对称性，只需求出图中阴影部分的面积即可。由图可知时，；时，；即。例3．求曲线以及内的公共部分的面积。解：由图形的对称性，只需考虑第一象限部分的面积。联立，解得；令，解得。从而三．曲线以参数方程表示时的平面图形的面积例4．求星形线，（）所围图形的面积（）。解：由对称性，所求面积为：。例5．求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积。解：设切点，，过原点的切线：；由于，，解得切点：，则切线方程：；§3、体积一．平行截面面积已知的立体的体积某立体紧紧夹在过，且垂直于轴的两平面之间，且满足：，过点且垂直于轴平面与立体的截面面积已知；称这样的立体为~~平行截面面积已知的立体，求此立体的体积。⑴积分变量，⑵，则夹在垂直于轴的两平面、之间的部分可近似视为以为底，以为高的柱体的体积：；⑶。例1．求图中圆锥的体积。解：积分变量，，例2．求图中立体的体积。解：⑴积分变量为，；垂直于轴的平行截面为直角三角形，其面积为：⑵积分变量为，；垂直于轴的平行截面为矩形，其面积为：。§3、体积二、旋转体的体积（特征：垂直于旋转轴的平行截面均为圆）1．设连续曲线方程为，且；将、、与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周，求所得旋转体的体积。旋转轴是轴，则截面面积为：，其中是截面的圆的半径；从而，旋转体的体积为：2．若连续曲线为，，则、、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为例2．曲线绕轴旋转一周，求旋转体的体积。解：，例3．求心形线与半射线，所围成的图形绕极轴旋转的旋转体体积。解：如图所示，极点为原点，极轴为轴，则心形线的参数式方程为：注：若有连续曲线，且；将、、与直线所围成的曲边梯形绕直线旋转一周，所得旋转体的体积应为：。例5．求摆线（）与轴所围成的平面图形绕直线旋转所得的旋转体体积。解：所求旋转体体积为：。3．连续曲线，；将、、与轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周，求旋转体的体积。⑴积分变量，；⑵，微小体积的近似值即体积微元：⑶例4．曲线（）与轴围成的图形绕轴旋转一周，求旋转体的体积。解：，，则或，则（）；（）；按照公式：，有§4、平面曲线的弧长设曲线方程为：，，函数在上连续。⑴积分变量，；⑵，相应的弧长的微元为：即，恰好是弧长的微分。⑶；注：①若曲线方程为：，、连续且不同时为零，，则弧长计算公式为：；②曲线方程为：，，连续，则弧长计算公式为：例1．求心脏线的全长（）。解：，由公式例2．求曲线的全长。解：由条件，的定义域为：，从而曲线的全长为：例3．证明正弦曲线在一个周期内的长度等于椭圆的周长。证：椭圆的参数方程为：，，则证得：。注：的原函数不是初等函数，故不能用莱布尼兹公式来计算，这里只需要证明椭圆的周长的表达式与之相等即可。§5、简单的物理应用举例一．液体的测压力问题设液体的密度为，在液体中深处压强为：。将一面积为的薄板平行于液面置于液体中深处，则板的一侧所受到的压力为：；如果将此薄板垂直于液面插入液体中，考虑此时板的一侧所受到的压力即为侧压力问题。将薄板（长度单位：米）垂直于液面插入液体中（如图），用微元法求出侧压力。⑴积分变量；⑵，细小条上所受侧压力微元为⑶（N）；例1．一横卧的圆筒内装有半桶水，桶的底半径为米，求桶的一个底面受到的侧压力。解：首先建立坐标系如图所示，其中，，，，，由公式（N）二．功的研究1．变力作功设力与物体的运动方向平行，约定：⑴以物体的运动方向为坐标轴的正向；⑵与坐标轴方向一致时为正，相反时为负。如果是常力，则使得物体由点到点时，所作的功为：；一般如果是变力，设为，考虑物体在此力的作用下由点到点时所作的功。⑴积分变量；⑵，功的微元为⑶。例2．将一弹簧平放，一端固定。已知将弹簧拉长10厘米用力需要5牛顿。问若将弹簧拉长15厘米，克服弹性力所作的功是多少？解：首先建立坐标系如图。选取平衡位置为坐标原点。当弹簧被拉长为米时，弹性力为，从而所使用的外力为；由于米时，（N），故，即，所作功为：（）2．其它作功问题例3．一个高为5米，底半径为3米的圆柱形水池，盛满水。欲将池中的水全部吸出，需作多少功？解：建立坐标系（如图），积分变量为，，则功的微元为：（J）例4．半径为米的球浸没在水中。球的顶部与水面相切。求将此球提出水面所作的功（球的密度与水的密度相同）。解：建立坐标系如图。因为球的比重与水的比重相同，球在水中移动时，不作功。考虑移动相应于小片的功的微元。由图可知，该小片在水中移动的距离为，在水面上移动的距离为，故（）三．转动惯量对于质点在转动过程中的惯性的度量即为质点的转动惯量。其计算公式为，其中是质点的质量，是质点到转动轴的距离。例5．求一长为，质量为的均匀细棒，绕过其中心且与棒垂直的轴的转动惯量。解：建立坐标系如图，旋转轴为轴，积分变量为。，相应的转动惯量微元为：，故如果将旋转轴换为过棒的一个端点且与棒垂直的轴，则，转动惯量微元：，且。四．引力问题例6．设有一均匀细棒，长为，质量为；另外有一个质量为的质点，与棒位于同一条直线上，且与棒的最近距离为，求棒对质点的引力。解：质量分别为，相距的两个质点之间的引力的计算公式为：如图，引力为的函数，；则，相应小段的质量为：；引力微元：五．定积分应用部分综合题1．过点作曲线的切线，该切线与上述曲线及轴围成一平面图形，⑴求的面积；⑵求绕轴旋转一周所成的旋转体体积。解：⑴，设切点为，则切线方程为：因为切线过点，则，解得：，，切点；⑵