53空间中平面及直线的方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

①1.平面方程设一平面经过已知点且垂直于非零向称①式为平面

点法式方程,求该平面

方程.法向量.量则有故5-3空间中平面与直线方程第1页平面点法式方程（1）能够化成

例1已知一平面法向量为（2，3，4），平面上一点坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：即第2页

补例求过三点即解

取该平面

法向量为平面

方程.利用点法式得平面

方程第3页例2已知一平面方程为解于是第4页平面普通方程

因为平面点法式方程是x,y,z一次方程,而任一平面都能够用它上面一点及它法线向量来确定,所以任一平面都能够用三元一次方程来表示.

反过来,能够证实任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0图形总是一个平面.

方程Ax+By+Cz+D=0称为平面普通方程,其法线向量为n=(A,B,C).

比如,方程3x-4y+z-9=0表示一个平面,n=(3,-4,1)是这平面一个法线向量.第5页

例3将平面普通式方程3x+4y+6z=1化成点法式方程.解先在平面上任意选定一点，比如（-3，1，1）.则有第6页平面三点式方程已知不在同一直线上三点与不共线,即以作为所求平面法向量.设是平面上任一点,显然垂直于此混合积坐标形式为:第7页例4设已知三点

求过该三点平面方程.解所求平面方程是第8页特殊情形•当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

经过原点平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴平面;平行于

z

轴平面;平行于xoy

面平面;平行于yoz

面平面；平行于zox

面平面.第9页平面截距式方程同理求得平面截距式方程为例6x+2y+z-1=0表示平面在x,y,z轴截距分别是该平面在第一卦限内部分如图.xyzo第10页两平面夹角

设平面

1和

2法线向量分别为

n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),那么平面

1和

2夹角

应满足

两平面法向量夹角(通常指锐角)称为两平面夹角.第11页

平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0相互垂直充要条件是

A1A2+B1B2+C1C2=0.两平面垂直条件

两平面平行条件

平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0相互平行充要条件是

A1:A2=B1:B2=C1:C2.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角余弦:第12页例8试决定常数与使得平面解两平面垂直要求其向量垂直，即有第13页分析：

点M在直线L上点M同时在这两个平面上,

点M坐标同时满足这两个平面方程.2.直线方程

空间直线能够看作是两个平面交线.

设直线L是平面

1和

2交线,

平面方程分别为

A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,这就是空间直线普通方程.来表示.那么直线L能够用方程组空间直线普通方程.第14页例9

联立方程表示平行于yoz坐标面平面表示平行于xoz坐标面平面解是(3,4,z),其图形是平面x-3=0与y-4=0交线，它平行于z轴.xyzo34第15页代表平面y=5x+1与平面y=x-3交线.

例10联立方程

第16页

假如一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线方向向量.方向向量

直线上任一向量都平行于该直线方向向量.

当直线L上一点M0(x0,y0,x0)和它一方向向量s=(m,n,p)为已知时,直线L位置就完全确定了.确定直线条件

第17页

求经过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)直线方程.(x-x0,y-y0,z-z0)//s,从而有这就是直线方程,叫做直线对称式方程或标准方程.

直线任一方向向量s坐标m、n、p叫做这直线一组方向数.向量s方向余弦叫做该直线方向余弦.则从M0到M向量平行于方向向量:

设M(x,y,z)为直线上任一点,直线标准方程.第18页经过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)直线方程:此方程组就是直线参数方程.说明:

一些分母为零时,其分子也了解为零.直线方程为比如,当第19页例11将普通方程解先在直线上找一点.再求直线方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线两平面法向量为是直线上一点.化成标准方程及参数方程.第20页故所给直线标准方程为参数式方程为解题思绪:先找直线上一点;再找直线方向向量.第21页两直线夹角

两直线方向向量夹角(通常指锐角)叫做两直线夹角.

设直线L1和L2方向向量分别为

s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2),那么L1和L2夹角j满足第22页两直线垂直与平行条件

设有两直线L1

L2

m1m2+n1n2+p1p2=0;

则方向向量分别为(m1,n1,p1)和(m2,n2,p2)直线夹角余弦:第23页提醒：直线与平面夹角

当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上投影直线夹角j称为直线与平面夹角,当直线与平面垂直时,要求直线与平面夹角为90

.

设直线方向向量为s=(m,n,p),平面法线向量为n=(A,B,C),则直线与平面夹角j

满足

第24页

方向向量为(m,n,p)直线与法线向量为(A,B,C)平面夹角j

满足

直线与平面垂直和平行条件

设直线L方向向量为s=(m,n,p),平面P法线向量为n=(A,B,C),则

L//P

Am+Bn+Cp=0.第25页分析：

因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成百分比,所以对于任何一个l值,上述方程系数不全为零,从而它表示一个平面.分析：

对于不一样l值,所对应平面也不一样,而且这些平面都经过直线L,即这个方程表示经过直线L一族平面.分析：

另首先,任何经过直线L平面也一定包含在上述经过L平面族中.平面束

考虑三元一次方程:A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,即(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成百分比.

设直线L普通方程为第26页补例.

求直线在平面上投影直线方程.提醒：过已知直线平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程第27页

上述方程表示经过定直线L全部平面全体,称为平面束.平面束

考虑三元一次方程:A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,即