初中数学知识结构单元详解

数与数与式Ⅰ实数的计算实数有关概念代数式有关概念相反数、倒数★0的相反数为0，但0没有倒数相反数和为0；倒数积为1实数的分类科学计数法、有效数字和近似数有理数、无理数正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小实数的大小比较数轴三要素：原点、正方向、单位长度数轴、绝对值★非负数：a≥0。非负数有|a|，，.。几个非负数（或式子）的和为0，则每一个非负数（或式子）为0.六种基本运算运算顺序运算律加、减、乘、除、乘方、开方加法交换律：加法结合律：乘法交换律：乘法结合律：分配律：代数式代数式的分类代数式的值★单独一个数或一个字母也是代数式数值代替代数式里的字母，计算所得的结果单项式整式有理式多项式代数式分式无理式（初中阶段只掌握二次根式）考点考点存在的问题分值题型1、正数和负数2、有理数概念3、有理数的加减法4、有理数的乘除法5、有理数的乘方1、正负数的实际意义不清2、绝对值相反数意义混淆3、数轴的画法、运用4、有理数各种概念混淆5、有理数加法法则的加减判断的运用，和减法的关系及符号的判断6、有理数乘法的运用和意义的理解7、有理数的混合运算顺序先后混淆5-103-52-106-103-510-12选择题、大题选择题作图题、选择题选择题、计算题选填题、计算题选填题运算数数与式Ⅱ分式分式运算约分，通分→★（m≠0）定义：A、B表示两个式子，形如,B≠0约分和通分分式基本性质加减：同分母异分母乘除、乘方：平方根：a的平方根（a≥0）算术平方根：a的算术平方根（a≥0）立方根：a的立方根（a为全体实数）根式二次根式的运算二次根式的质方根有关概念★①（a≥0）②|a|=③④（a≥0，b＞0）加减：把各个二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式乘除：（a≥0，b＞0）分母有理化：，整式的运算单项式、多项式统称整式★整式乘除①幂运算法则；②乘法公式；③单项式乘以（或除以）单项式；④单项式乘以多项式⑤多项式乘以多项式⑥多项式除以单项式加减乘除整式的定义★整式的加减实则是去（添）括号后合并同类项①去括号法则a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a-b-c②添括号法则a+b+c=a+(b+c)a-b-c=a-(b+c)概念（和差化积）方法与步骤因式分解一提（公因式）；二用（公式）；三试（十字相乘）；四查（不能分解为止）整式★★负数没有平方根考点考点存在问题分值题型整式的定义整式的加减二次根式二次根式的加减二次根式的乘除整式的有关概念混淆单项式、多项式的系数和次数判断混淆同类项、合并同类型被开方数为负数(a忽略最简二次根式的条件3-53-510-203-63-84-8选填题计算题计算题、选填题选填题选择题、计算题计算题方程与不等式Ⅰ方程与不等式Ⅰ一元一次方程标准形式：（a、b为常数，且a≠0）解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1定义：由几个一次方程组组成，并含有两个未知数的方程组解法：代入（消元）法；加减（消元）法代入（消元）法；加减（消元）法二元一次方程组一元一次不等式(组)一元一次不等式组的解法一元一次不等式的解法基本性质★（1）若a＞b,则ac＞bc；（2）a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞（3）a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1★★两边除以一个负数（式子），不等号方向一定要改变先求出每个不等式的解集在数轴上找这些解集的公共部分，并写出不等式组的解集韦达定理方程与不等式Ⅱ韦达定理方程与不等式Ⅱ解法和步骤定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程一元二次方程根的判别式一元二次方程★一般形式：一看（直接开平方法）：（k≥0）二试（因式分解法）：提公因式（）；用公式（如）；十字相乘三用（求根公式）：，注意：＜0，方程没有实数根四配（配方法）：二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方一元二次方程根与系数的关系①△＞0时，方程有两个不等实数根②△=0时，方程有两个相等实数③△＜0时，方程无实数根★∆≥0时，方程有实数根一元二次方程的两个根为，则，★利用韦达定理求含根代数式的值的方法通分：如倒数和配方：如平方和去括号：如提公因式：如解法步骤分式方程解法步骤分式方程概念：分母含有未知数的有理方程方程与不等式Ⅲ（1）去分母：方程两边同时乘以各分母的最简公分母，化为整式方程（2）解所得整式方程（3）检验：把解得的整式方程根代入最简公分母，不为0是原方程根，为0不是原方程根（是增根）方程（组）应用题解应用题步骤应用题常见重要等量关系式审题；（2）设未知数；（3）列方程（组）（找等量关系）；（4）解方程（组）；（5）检验作答★（1）路程=速度×时间（2）工作量=工作时间×工作效率（3）增长（降低）量=原量×增长（降低）率连续增长（降低）两次后的量=原量（1增长（降低）率）（4）利润=售价-进价总利润=单个利润×销售量考点存在问题分值题型从算式到方程2、解一元一次方程3、实际问题与一元一次方程4、一元二次方程5、降次—解一元二次方程6、实际问题与一元二次方程1、字母表示数理解有障碍2、移向和去括号符号问题3、去分母漏乘4、去括号变号5、移项变号规律6、找等量关系根据等量关系列方程7、根据实际问题分析问题8、一元二次方程忽略二次项系数，a≠09、公式法解方程，易忽略前提条件是判别式≥010、解分式方程忘记对根进行检验11、实际问题，忽略根据实际问题验根12、利润问题易错（公式应用不灵活）6-126-910-123-63-610-123-98-123-610-128-10选填题选择题选填题、计算题选填题、计算题计算题解答题选填题选择题、计算题选填题解答题解答题函数Ⅰ平面直角坐标系函数Ⅰ平面直角坐标系★坐标平面内的点与有序实数对是一、一对应的特殊位置点坐标的特征坐标轴上的点特征：x轴上的点纵坐标为0，记作（，0）y轴上的点横坐标为0，记作（0，）与坐标轴轴平行的直线上的点特征与x轴平行的直线上的点纵坐标相同与y轴平行的直线上的点横坐标相同象限角平分线上的点特征一三象限：x=y；二四象限：x=−y距离的表示点平移、对称的坐标变化规律1、点A（x,y）到两坐标轴的距离：到x轴的距离等于到y轴的距离等于2、同一坐标轴上两点间的距离:x轴上的两点间的距离等于y轴上的两点间的距离等于点P（x，y）向右平移a个单位长度点P'（x＋a，y）点P（x，y）向左平移a个单位长度点P'（x－a，y）点P（x，y）向上平移a个单位长度点P'（x，y＋a）点P（x，y）向下平移a个单位长度点P'（x，y－a）左右平移改变横坐标“左－右＋”,上下平移改变纵坐标“上＋下－”关于x轴、y轴、坐标原点对称的两点：关于X轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数关于Y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数关于原点对称的两点横、纵坐标都分别互为相反数第一象限（＋，＋）（－，－）第三象限（＋，－）第四象限（－，＋）第二象限函数有关概念定义自变量取值范围函数值待定系数法变化过程中有两个变量x、y，若x的每一个值，y都有唯一值和它对应，那么y是x的函数，x叫自变量★（1）使函数关系式有意义①整式：全体实数；②分式（）：分母a≠0；③二次根式（）：被开方数a≥0（2）使实际问题有意义，如时间不能为负等自变量x每取一个值，函数唯一确定的值与之对应先根据条件设函数关系式，然后根据条件求出待定的系数，从而求出函数关系式的方法考点考点存在问题分值题型平面直角坐标系坐标方法的简单运用不能准确的写出某点的坐标如何建立直角坐标不能准确找到有序数对不能准确写出某点经平移后的坐标3-63-63-65-7选择题选填题选择题、判断作图解答题名称解析式名称解析式图像性质正比例函数y过原点的一条直线当k>0时，图像过一、三象限，x↑当k<0时，图像过二、四象限，x↑一次函数y一条直线当k>0、b>0时，图像过一、二、三象限，当k>0、b<0时，图像过一、三、四象限，当k<0、b>0时，图像过一、二、四象限，当k<0、b<0时，图像过二、三、四象限，反比例函数y双曲线当k>0时，图像过一、三象限，分别在各支上x↑当k<0时，图像过二、四象限，分别在各支上x↑★两点确定一条直线一次函数与x轴交点坐标（）一次函数与y轴交点坐标（0，b）二次函数二次函数类型解析式开口方向对称轴增减性顶点坐标最值一般式ya>a<xa>0对称轴左侧x↑y↓a<0对称轴左侧x↑y↑(若a>0，x若a<0，x顶点式ya>a<xa>0对称轴左侧x↑y↓a<0对称轴左侧x↑y↑(若a>0，x若a<0，x交点式ya>a<注：当抛物线与x轴有两个交点时可用交点式考点存在问题分值题型二次函数及其图像用函数观点看一元二次方程实际问题与二次函数不能准确的认识图像，做到数形结合不能准确辨别用哪种公式求出解析式二次函数与圆、轴对称综合题实际问题中，不能准确的将已知条件和二次函数建立起来，解决问题8-106-810-128-10选填题计算、解答题代几综合题代几综合题

①②

①②③④⑤如图⑤平行线的性质：1、两直线平行同位角相等（∠1=∠2）；2、两直线平行内错角相等（∠3=∠2）；3、两直线平行同旁内角互补（∠4＋∠2=180°）（性质用于计算）平行线的判定：1、同位角相等（∠1=∠2）两直线平行；2、内错角相等（∠3=∠2）两直线平行；3、同旁内角互补（∠4＋∠2=180°）两直线平行（判定用于证明）角角度进制1°=60′，1′=60″对顶角相等.如图，∠1=∠2余角、补角及其性质余角：∠1+∠2=90°。同角（或等角）的余角相等补角：∠1+∠2=180°。同角（或等角）的补角相等线直线两点确定一条直线线段两点之间线段最短点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度①★垂线段最短经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。垂线线段的垂直平分线线段的垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等。反之也成立∵MN是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB如图②角平分线角平分线上的点到角两边的距离相等。反之也成立。∵OC是∠AOB的平分线上一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE如图③平行线经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线平行线间距离：相等。如图④，a∥b，MN⊥b，MN为平行线间距离图形的认识Ⅰ①①②③④⑤⑥角平分线三条角平分线交点为内心，如图②内心I到三边距离相等ID=IE=IF如图①，∠A＋∠B＋∠C=180°；∠1=∠A＋∠B；a－b＜c＜a＋b三角形的边、角关系中线三条中线交点为重心，如图③重心G到对边中点距离是到顶点距离的一半,四点共圆（M、B、C、N或A、M、K、C或A、B、K、N）垂线三条垂线交点为垂心，如图④外心O到三个顶点的距离相等OA=OB=OC三条中垂线交点为外心，如图⑤中垂线E、F分别为AB、AC中点如图⑥中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半,且,三角形的有关概念三角形的分类按角分按边分图形的认知Ⅱ直角三角形1、∠C=90°，则∠B＋∠A=90°；2、勾股定理：性质直角三角形1、∠C=90°，则∠B＋∠A=90°；2、勾股定理：性质判定1、∠A＋∠B=∠C=90°；2、勾股定理逆定理：等腰三角形性质1、等边对等角；2、三线合一（中线、高线、角平分线）；3、轴对称图形判定等角对等边∵∠B＝∠C，∴AB＝AC等边三角形1、具有等腰三角形的所有性质；2、三个角都等于60°；3、三边相等性质1、∠A=∠B=∠C；2、有一个角是60°的等腰三角形判定全等三角形性质1、对应角相等；2、对应线段（边、中线、高线、角平分线）相等一般三角形SSS；SAS；ASA；AAS直角三角形SSS；SAS；ASA；AAS；HL判定三角形★（1）直角三角形斜边上中线等于斜边的一半（2）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半图形的认知Ⅲ图形的认知Ⅳ图形的认知Ⅳ（1）三边关系：勾股定理（2）锐角关系：∠A+∠B=90°（3）边角关系（锐角三角函数）：（1）三边关系：勾股定理（2）锐角关系：∠A+∠B=90°（3）边角关系（锐角三角函数）：sinA=cosA=tanA=解Rt∆利用直角三角形已知2个条件（除直角外，至少一个为边）求其它边和角的过程锐角三角函数正弦：余弦：正切：特殊角三角函数值解直角三角形角度α30°45°60°sinα123cosα321tanα313特殊的四边形特殊的四边形名称图形性质判定边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等，邻角互补互相平分中心对称两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等两条对角线相互平分矩形对边平行且相等四个角都是直角相互平分且相等中心对称轴对称有三个角是直角有一个角是直角的平行四边形两条对角线评分且相等菱形对边平行四条边都相等对角相等，邻角互补相互平分且垂直每一条对角线平分一组对角中心对称轴对称四条边相等一组邻边相等的平行四边形两条对角线平分且垂直正方形对边平行四边都相等邻边相互垂直四个角都是直角相等、相互平分且垂直每一条对角线平分一组对角中心对称轴对称一组邻边相等的矩形有一个角是直角的菱形两条对角线相互平分相等且垂直等腰梯形两底平行两腰相等同一底上的两角相等相等轴对称同一底上两个角相等的梯形对角线相等的梯形

圆圆经过不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质经过不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质圆是轴对称图形，也是中心对称图形圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等∵MN是⊙O的直径，MN⊥AB，∴AC=BC，AM=BM，AN=BN垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。∠BAC=∠BOC②同弧（或等弧）所对的圆周角相等③半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。圆周角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等与圆的有关的位置关系圆切线（长）判定与应用与圆的有关的位置关系圆切线（长）判定与应用图图点与圆位置关系d与r关系（d表示点到圆心距离）图直线与圆位置关系d与r关系（d表示圆心到直线的距离）点在圆内d相交d点在圆上d相切d点在圆外d相离d

图图性质判定a为⊙O的切线，则OP⊥a经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的其切线AP切⊙O于A，BP切⊙O于BPA=PB，∠APO=∠BPO与圆有关的计算弧长公式圆锥表面积公式与圆有关的计算弧长公式圆锥表面积公式圆锥侧面积公式圆柱侧面积公式扇形面积公式圆柱表面积公式图圆与圆位置关系d与R、r关系（d表示两圆圆心距）外离d外切d相交R内切d内含0图形与变换轴对称：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、正n边形图形与变换轴对称：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、正n边形中心对称：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正n边形（n为偶数）对称、平移、旋转比例线段等比性质和比性质基本性质位似图形若两个图形相似，且对应点的连线（或延长线）交于一点，这两个图形又叫位似图形，交点叫位似中心判定性质(1)对应角相等；(2)对应边成比例；(3)对应线段（中线、高、角平分线）比等于相似比；(4)周长比等于相似比；(5)面积比等于相似比的平方①两角对应相等；②两边对应成比例，夹角相等；③三边对应成比例相似三角形尺规作图五种基本尺规作图作一条线段等于已知线段；(2)作线段垂直平分线；(3)作角平分线；(4)作一个角等于已知角；(5)过一点作已知直线的垂线会作特殊三角形、四边形、外接圆、内切圆、圆的切线视图与投影三视图：主视图、俯视图、左视图镶嵌任意一正三角形、正四边形、或正六边形可以镶嵌平面（镶嵌中心角度和为360°）平行线分线段成比例概率与统计总体与样本概率与统计总体与样本总体：所要考察对象的全部个体：总体中每一个考察对象样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本样本容量：样本中个体的数目平均数如果有n个数，则它们的平均数为加权平均数：如果在n个数中，，那么他们的平均数为★通常用样本平均数估计总体平均数众数在一组数据中出现次数最多的数据中位数将一组数据按从小到大（或从大到小）顺序排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）统计图表条形图、扇形图、折线图频率与方差极差=最大值-最小值方差：标准差：频数：在一个样本中，每一个数据出现的次数频率=频数/样本容量（★一个事件中频率的和=1）概率事件A出现次数/所有可能结果数（）必然事件