公务员考试、事业单位考试数学运算部分核心考点

数量关系

一、速算技巧

（一）和差倍比

A是B的n倍，则A比B多的数量一定是（n-1）的倍数

例：A是B的4倍，则A：B=4：1,那么A比B多的数量一定是3的

倍数

倍数特性

1、常见形式：A/B=m/n,A:B=m:n,A占B的m/n等（m、n互为质

数，即m/n为最简分数）

结论：A是m的倍数，B是n的倍数，（A土B）是（m土n）的倍数

2、整除判定法则：

（1）2、4、8（或者5、25、125）整除判定的基本法则：

一个数能被2（或者5）整除，当且仅当末一位数字能被2（或者5）

整除；

一个数能被4（或者25）整除，当且仅当末两位数字能被4（或者25）

整除；

一个数能被8（或者125）整除，当且仅当末三位数字能被8（或者

125）整除。

（2）3、9整除判定的基本法则：

一个数能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除；

一个数能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除。

（二）奇偶特性

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1、奇数土奇数=偶数；偶数土偶数=偶数；偶数土奇数=奇数；奇数土

偶数=奇数

口诀：一奇一偶则为奇，同奇同偶才为偶

和差同性：两数之和（差）为奇（偶），则两数之差（和）为奇（偶）。

3、奇数*奇数=奇数；奇数*偶数=偶数；偶数*奇数=偶数；偶数*偶数

=偶数

口诀：一个为偶则为偶，全部为奇才为奇

二、时间问题

题型一：周期问题

周期问题常见的考查形式有：周期余数、周期相遇、星期计算与推断

周期问题中最容易弄混淆的两种题干表述是：每多少天和每隔多少

天，需注意，每n天的一个周期为n天，每隔n天的一个周期为（n+1）

天

基础知识：

年份除以4能够整数，则为闰年，即2月为29天，全年366天；不

能整除，则为平年，即2月为28天，全年365天。

（一）周期余数

题型特征：给出周期，求具体的某一类（天、个）

解题思路：1、确定周期，找准起点和终点，看清起点和总个数的对

应关系；2、计算余数：总个数♦每个周期的个数=周期数……余数，

余数是m,就从起点开始数m个

例：2019年建军节是星期四，那么2019年的国庆节是（星期二）

解题：8月1日为建军节，则再过30+30+1=61天（8月2日-31日，9

2

月全月，10月1日）为国庆节，61-7=8……5,从星期四往后数5天

为星期二

（二）周期相遇

题型特征：有多个周期，起点在一起，终点也在一起

解题思路：1、已知每个主体的小周期，则相遇的大周期为小周期的

最小公倍数；2、定好起点和终点，计算余数

例1：甲、乙两人去汽车租赁点租车，甲每隔两天去一次,乙每隔5

天去一次，如果3月1日他们两人在汽车租赁点相遇，则下次两人相

遇在（3月7日）

解题：甲去汽车租赁点的周期是3天，乙去汽车租赁点的周期是6天,

则两人相遇一次后，下一次相遇经过的天数是3和6的最小公倍数，

即6天，3月1日过6天为3月7日。

例2：某单位有男员工15人，女员工10人，周一到周日每天晚上安

排一名男员工值班，15人轮流；周六、周日白天每天安排一名女员

工值班，10人轮流。A男和B女恰好分别安排在7月5日值班，若不

考虑调休，则下一次两人被安排在同一天值班的日期是（10月18日）

解题：每周有2名女员工值班，10名女员工轮流值班，5个星期即

35天轮流一次；同理，男员工每15天轮流一次。35和15的最小公

倍数为105,7月还剩26天,8月有31天,9月有30天，105-26-31-30=18

天，即10月18日是两人的再次相遇。

（三）星期计算与推断

常用结论：连续7n天内，周一至周日均出现n次（比如连续28天内，

周一至周日均出现4次）

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以28天为基础，周一至周日应该均出现4次。然后根据题干判断多

出了几天，得出这个月一共多少天（或者29、30、31分别假设）。

得出具体天数后:4,利用周期余数判断出终点是周几或者起点是周

几。

例：若某月周六、周日共9天，并且这个月的最后一天为周六，那么

该月可能是（第一天为周四的5月）

解：每月1-28号共28天，对应完整的4周，有周六、周日共8天。

方法一：该月周六、周日共9天且最后一天为周六，则该月1-28号

以外的几天中仅有1个周六且无周日，分情况讨论：

若该月共有29天，则29号即为周六，那么1号与29号相同，也为

周六，排除D项。

若该月共有30天，则29、30号分别为周五、周六，那么该月1号为

周五，排除A项。

若该月共有31天，则29-31号分别为周四、周五、周六，那么1号

为周四，排除C项，B项当选。

方法二：带入排除法。

带入A项，若9月的第一天为周四，则29号也为周四，30号（即该

月最后一天）为周五，与题干所给条件矛盾，排除。

带入B项，若5月的第一天为周四，则29号也为周四，31号（即该

月最后一天）为周六，满足题意，当选。

题型二：钟表问题

一个指针走完一圈为360。，一个表盘360。；总共分为12个大格（小

时）和60个小格（分钟）；1个大格等于30°,一个小格等于6°。

4

时针每分钟走0.5°,分针每分钟走6°,速度差为5.5°/分，时针和

分针的速度比为1：12.

特殊角度：

直角：每小时2次,每昼夜44次（3点、9点、15点、21点因重复

计算而减去）

重合：每小时1次,每昼夜22次（12点、24点因重复计算而减去）

180°角：每小时1次，每昼夜22次（6点、18点因重复计算而减

去）

例：8点28分，时针的分针与时针的夹角（小于180度）是（86度）

解：

三、容斥原理问题

（一）两集合容斥原理

题干中涉及两个集合，且两集合之间出现交叉重叠

公式：A+B-AcBm£数-都不满足

（二）三集合容斥原理

1、标准型

A+B+C-AcB-A"-BcC+AcBrC=总数-都不（都不可为0）

题干中涉及三个集合，且各集合之间出现交叉重叠，其中分别给出

AcB、AcC、BcC的数值

例1：某校组织新生入学抽查检测，学生编号为1、2、3……1200,然

后将编号为2的倍数的同学删除，再将编号为3的倍数的同学删除，

最后将编号为5的倍数的同学删除，请问还剩下多少名同学参加检测

(320)

5

解题：根据题意，新生中编号为2的倍数的同学有1200+2=600个，

3的倍数有1200+3=400个，5的倍数有1200+5=240个；既是2又

是3的倍数（6的倍数）有12004-6=200个，既是2又是5的倍数（10

的倍数）有1200+10=120个，既是3又是5的倍数（15的倍数）有

12004-15=80个；同时是2、3、5的倍数（30的倍数）有12004-30=40

个。

根据三者容斥公式。代入数据有：600+400+240-200-120-80+40=1200-

都不，解得:都不=320。

例2：检验科有100件样品，借出样品者需要在样品标签上签名。已

知在100件样品中有甲、乙、丙签名的分别为33、44和55件。其中

同时有甲、乙签名的样品为29件，同时有甲、丙签名的样品为25件,

同时有乙、丙签名的样品有36件。那么这些样品中最少有（33件）

没有被甲、乙、丙中的任何一人借过。

解题：设同时有甲、乙、丙签名的样品为x件，没有被甲、乙、丙任

何一人签名的为y件。根据三集合标准公式：

33+44+55-29-25-36+x=100-y,解得x+y=58。要满足y最少，则x要取

最大值。根据“三交集的最大值为两者交集中的最小值”可知，x最

大为25,则y最小为33。

2、非标准型

A+B+C-只满足两项-满足三项*2=总数-都不

题干中涉及三个集合，且各集合之间出现交叉重叠，其中给出“只满

足两个”“三个均满足”的数值

3、常识公式

6

满足一项+只满足两项+满足三项=总数-都不（该公式往往跟非标准型

公式联用）

例1：某大学一学院共有355名学生，在暑假期间都参加了暑期夏令

营，285人参加书法夏令营，218人参加美术夏令营，171人参加围

棋夏令营，其中以上三种兴趣夏令营都参加的有86人，则有（£2）

人只参加一种兴趣夏令营。

解题：设只参加两种夏令营的人数为x,根据三集合容斥原理非标准

型公式：A+B+G只满足两项-满足三项*2=总数-都不,可得

285+218+171*2*86=355-0,解得x=147。再根据三集合容斥原理常识

公式：满足一项+只满足两项+满足三项=总数-都不,可得只参加一种

夏令营的人数=355-147-86=122人。

例2：某市直机关举行春季运动会，办公室有35名干部，每人至少

参加排球、拔河、短跑项目中的某一个项目的比赛。现已知参加排球

项目有17人，参加拔河项目有30人，参加短跑项目有13人。如果

有5人三个项目都参加了，则参加一个项目的有（15人）。

四、牛吃草问题

草地原有草量=（牛吃草效率-每天长草效率）*天数

与牛吃草类似的还有水池放水和进水、可再生资源开采等

例1：某蓄水池装有若干根注水管和一根排水管，所有注水管每小时

的注水量都相同。如果同时打开排水管和15根注水管，5小时可注

满水池；如果同时打开排水管和12根注水管，20小时可注满水池。

现在同时打开排水管和13根注水管，那么（10小时）可注满水池。

解题：设蓄水池的水库容量为Y,每天排水管排出的水量为X,赋值

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每根注水管注水速度为1。根据牛吃草公式：Y=(N-X)*T,可得：Y=

(15-X)*5=(12-X)*20,解得X=ll,Y=20o设同时打开排水管和

13根注水管，T小时可注满水池;则20=(13-11)*T,解得T=10。

例2：山顶观影台是热门景点，每天早上9点开始开放，观影台上最

多容纳100名游客，入口处每分钟可以通过游客20人，出口处每分

钟可以通过游客15人，假设每位游客在观影台停留的时间为2分钟，

则(9：14)开始，观影台上的游客数量达到饱和。

解题：由题意可知，第二分钟观影台上有20*2=40人。从第三分钟开

始入口游客才有流动。所以根据牛吃草公式：Y=100-40=60,T=60/

(20-15)=12o再加上未启动的2分钟，即从9点开始过去14分钟

观影台上的游客数量达到饱和。

五、等差或等比数列

等差数列求和公式：中位数*项

Sn=n*ai+n*(n-1)*d/2=(ai+an)11/2=

数

等差数列通项公式：

an=ai+(n-1)*d=am+(n-m)*d

等比数列求和公式：n

Sn=ai*(l-q)/(1-q)(qWl)

等比数列通项公式：an=ai*qn-1=am*qn'm

六、递推数列

思考方式：前两个数通过怎样计算得到第三个数

(-)递推和/差

相邻两项和/差等于第三个数

(二)递推倍

某一个数的n倍加上另一个数等于第三个数

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某一个数的n倍加上修正项等于另一个数

（三）递推积

（四）递推方

某一个数的n次方加另一个数等于第三个数

七、行程问题

（一）普通行程

等距离平均速度=2VIV2/（V1+V2）

（二）相对行程

1、相遇问题：路程和=（大速度+小速度）*时间

从两端出发多次相遇：（2n-l）*s=（大速度+小速度）*时间（n代表

相遇次数，s代表两地距离）

从同地出发多次相遇：2n*s=（大速度+小速度）*时间（n代表相遇

次数，s代表两地距离）

例1：小贾和小李在某400米圆形冰场滑冰，小贾从A点出发顺时针

以6米/秒的速度滑行，小李从A点对应直径的另一端点B出发逆时

针以4米/秒的速度滑行。10分钟内他们会相遇（15次）。

解：10分钟小贾和小李一共走过的路程S和=（6+4）*10*60=6000米。

第一次小贾和小李相遇两人走过的路程和为半个圆形：200米，在第

一次相遇之后到下一次相遇，每次走过的路程和为圆形冰场的一圈

400米，则10分钟内会相遇（6000-200）400+1=15.5,即15次。

2、追及问题：路程差=（大速度-小速度）*时间

环形追及问题，两人若相遇，则追及一方要多跑一圈，即路程差二环

形跑道长度

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例1：操场周长400米，小王、小华两人同时从同一地点出发，匀速

相向而行，20秒后他们相遇。相遇后，小华立即调头，3分20秒后,

小王第一次追上小华。小王追上小华的地点距离原来的起点是（20）

米

解题：根据“小王、小华两人同时从同一地点出发，匀速相向而行，

20秒后他们相遇”，可得（V王+V华）*20=400①，根据“相遇后，小

华立即调头,3分20秒后，小王第一次追上小华（3分20秒=200秒）”,

可得（V王-V华）*200=400②。由①②解得，VfH米/秒，V华=9米/

秒。当两人第一次相遇时再到小华掉头小王追上小华时，小王走的时

间为20+200=220秒，小王所走总路程为11*220=2420米。操场周长

为400米，2420+400=6...20米，小王的总路程为6个完整周长又

多20米，所以距离原来起点20米。

3、顺水行船：路程=（船速+水速）*时间

4、逆水行船：路程=（船速-水速）*时间

（三）比例行程

路程一定，速度和时间成反比；时间一定，路程和速度成正比；速度

一定，路程和时间成正比

八、溶液问题

浓度=溶质质量+溶液质量

例1:已知浓度分别为18%、12%的硝酸溶液混合后浓度为16%,则

浓度为18%的溶液质量与混合后溶液质量的比是（2：3）

解题：设浓度为18%的硝酸溶液的质量为x,浓度为12%的硝酸溶液

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的质量为y。根据公式:浓度=溶质质量-溶液质量，则有(18%x+12%y)

/(x+y)=16%,解得x：y=2：1,故题干所求=x：(x+y)=2：(2+1)

=2：3o

例2:从1瓶浓度为20%的浓盐水中倒出V5后，加满纯净水，搅拌

均匀后再从中倒出仍，又加满纯净水，连续操作4次后，此时盐水

的浓度为(8.192%)

解题：设原溶液的质量为100,根据题意，溶液稀释过程如下表所示:

开始第一次加满水后第二次加满水后第三次加满水后第四次加满水后

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溶质质量2020*(1-1/5)20*(1-3/5)220*(1-仍)20*(1-V5)

溶液质量100100100100100

则第四次操作后，盐水的浓度为20*(1-0.2)

4/100*100%=20%*0.84=0.2*0.84=0.2*0.64*0.64,尾数为2。

例3：小刘将130克含糖5%的糖水与含糖9%的另一杯糖水混合，配

成含糖为6.4%的糖水，则需要加入含糖9%的糖水(70克)

解题：混合溶液问题，考虑线段法解题(类似于混合增长率)。根据

线段法口诀，距离与量成反比，则5%的糖水量：9%的糖水量=

(9%-6.4%)：(6.4%-5%)=13：7。则需要加入含糖9%的糖水70

克。

九、经济利润问题

(一)函数最值

题型特征：题干中单价和销量此消彼长，求最大收入或最大利润。

解题思路：二次函数最值问题,采用两点式求解。若y=(ax+b)(cx+d),

令y=0,解得方程的两个解xl、x2(两点式求解：ax+b=0fxl；cx+d=0

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fx2),当x=(X1+X2)/2时，y取得最大值。

例1：供应商供应产品A的单位价格为120元，成本为80元，零售

商提出向供应商购买40个产品，并表示如果供应商每降价2元，将

多购买4个产品，则供应商利润最大化的单位价格为(110元)

解题：设供应商降价次数为x次，此时供应商利润为y元，则产品的

价格下降2x元，销量增加4x个，根据题意可得，y=(120-80-2X)*

(40+4x),令y=0,解得xl=20,x2=-10o为使利润最大，即以上关

于利润的二次函数取得最大值，根据二次函数两点式的结论，当x=

(X1+X2)/2=(20-10)/2=5时，V取得最大值，此时单位价格为

120-2*5=110元。

注意：此类题目所设的未知数x常为调价的次数，y常为总利润。

例2：某剧场共有200个座位，若票价定为100元可全部坐满，票价

每增加10元会少卖出10张票，剧场为每位观众提供价值10元的免

费饮料一份。票价定为(160元)时剧场收益最大。

解：设票价增加x次，收益为y元。根据题意可列方程：y=(100+10x)

*(200-10x)-10*(200-lOx)=(90+lOx)(200-10x),令y=0,W

得xl=-9,x2=20o当*=(xl+x2)/2=5.5,因次数为整数，故当增加5

次或6次时，即票价定为150元或160元,此时剧场收益最大为21000

m0

十、排列组合

例1：用自然数1-8组成数字不重复且1和2不相邻的6位数，共有

(16560)个。

解题：正难则反,1和2不相邻的反面是1和2相邻。总的情况数:

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1-8组成数字不重复的6位数有A68=8*7*6*5*4*3=20160种方法。反

面情况数：1-8组成数字不重复且1和2相邻的6位数，第一步，从

3-8中选4个数，有C，6种方法；第二部，将1和2捆绑成一个整体,

考虑内部顺序，有A?2种方法；第三步，将1和2的捆绑整体与3-8

中选出的4个数进行排列，有A55种方法，因此共有C46*A22*A55=3600

种。则所求=总情况数-反面情况数=20160-3600=16560种方法。

跟屁虫原理：可以先确定一个元素的位置（无限制要求，概率为1）,

再考虑另一个元素的位置可能的情况数（分母）和位置满足题目要求

的情况数（分子），来解得答案。

例1：五一劳动节将至，某单位为表彰劳模，特准备了6种奖品用于

表彰先进个人。已知每种奖品都足够多，劳模们可以选择任意三种奖

品，问两位劳模拿到的奖品种类完全一样的概率是（5%）

解题：两位劳模都从6种奖品中任意选3种，每位劳模选择奖品的方

式都有C?6种情况，则总情况数=C36*C36种。要求两位劳模拿到的奖品

种类完全一样，第一位劳模任意选，有C?6种取法，第二位劳模要与

第一位劳模拿到的奖品种类相同，只有1种选法，因此满足条件的情

况数=C36*1种。则所求概率43643696=5%。

例2：某商场正在举行促销活动。顾客消费金额达到一定数量后，可

以在5种不同的赠品中随机选取2种。那么，任意两位顾客在选取赠

品时，恰有1种赠品相同的概率为（60%）

解题:跟屁虫思路:让甲任意选,概率为1,乙抽中的概率为C12*C13/C25

十一、同余和剩余定理

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被除数/除数=商……余数

（一）同余定理

几个整数除以同一个除数，若余数相同，则这几个整数同余。

1.余数的和决定和的余数；2.余数的差决定差的余数；

3.余数的积决定积的余数；4.余数的幕决定幕的余