人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册教学设计2：6 2 3-6 2 4 第1课时 组合及组合数的定义教案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.2.3~6.2.4第1课时组合及组合数的定义教学目标1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．教学知识梳理知识点一组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．知识点二排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Aeq\o\al(m,n)间存在的关系Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)教学案例探究点1组合概念的理解例1判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．分配方法有Ceq\o\al(4,5)＝5种．(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．不同的分数有Aeq\o\al(2,5)＝20个．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．不同的选法有Ceq\o\al(4,9)＝126种．方法归纳判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．由此可知，定序问题属于组合，即排列时，如果限定某些元素保持规定的顺序，则定序的这n个元素属于组合问题．跟踪训练1.中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．解：单循环赛，指双方只赛一场，因此所有各场比赛双方为中国——日本；中国——韩国；中国——朝鲜；日本——韩国；日本——朝鲜；韩国——朝鲜．探究点2简单的组合问题例2现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有多少种？解：(1)原方程可变形为eq\f(Ceq\o\al(5,n－1),Ceq\o\al(3,n－3))＋1＝eq\f(19,5)，所以Ceq\o\al(5,n－1)＝eq\f(14,5)·Ceq\o\al(3,n－3)，即eq\f(（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）（n－5）,5！)＝eq\f(14,5)·eq\f(（n－3）（n－4）（n－5）,3！)，化简整理得n2－3n－54＝0，解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9.(2)由题意知x∈N*，因为Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(n－x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)，所以n－x＝2x或n－x＋2x＝n(舍去)，所以n＝3x.由Ceq\o\al(x＋1,n)＝eq\f(11,3)Ceq\o\al(x－1,n)，得eq\f(n！,（x＋1）！（n－x－1）！)＝eq\f(11,3)·eq\f(n！,（x－1）！（n－x＋1）！)，整理得3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.将n＝3x代入上式并整理，得6x(2x＋1)＝11x(x＋1)．因为x∈N*，所以6(2x＋1)＝11(x＋1)，解得x＝5，则n＝3x＝15.方法归纳解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．跟踪训练2已知有8名男生和5名女生，从中任选6人．(1)有多少种不同的选法？(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？(4)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？解：(1)Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝4950＋200＝5150.(2)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝…＝Ceq\o\al(4,21)＝5985.(3)①因为Cx2＋3x＋216＝Ceq\o\al(5x＋5,16)，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.经检验：x＝3或x＝－9不合题意舍去．故原方程的解是x1＝－1，x2＝1.②由排列数和组合数公式，原方程可化为3·eq\f(（x－3）！,（x－7）！·4！)＝5·eq\f(（x－4）！,（x－6）！)，则eq\f(3（x－3）,4！)＝eq\f(5,x－6)，即为(x－3)(x－6)＝40.所以x2－9x－22＝0，解之可得x＝11或x＝－2(舍去)．所以方程的根为x＝11.探究点3简单的组合问题例3某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有多少种？解：方法一：(直接法)至少1名女生当选可分为两类：第一类：1名女生1名男生当选代表，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,7)种方法，第二类：2名女生当选代表，有Ceq\o\al(2,3)种方法．由分类加法计数原理，至少有1名女生当选的不同选法有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2,3)＝21＋3＝24种．方法二：(间接法)10名学生中选2名代表有Ceq\o\al(2,10)种选法，若2名代表全是男生有Ceq\o\al(2,7)种选法，所以至少有1名女生当选代表的选法有Ceq\o\al(2,10)－Ceq\o\al(2,7)＝24种．方法归纳解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果.跟踪训练3某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有()A．Ceq\o\al(3,10)种 B．Aeq\o\al(3,10)种C．Aeq\o\al(2,7)Aeq\o\al(1,3)种 D．Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(1,3)种〖答案〗D〖解析〗每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有Ceq\o\al(1,3)种选法；第二步，选男工，有Ceq\o\al(2,7)种选法．故有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)种不同选法．课堂小结1．知识清单：(1)组合与组合数的定义．(2)排列与组合的区别与联系．(3)用列举法写组合．2．方法归纳：枚举法．3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．随堂练习2．若Ceq\o\al(2,n)＝28，则n的值为()A．9 B．8C．7 D．6〖答案〗B〖解析〗∵Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(n！,2！(n－2)！)＝eq\f(n(n－1),2)＝28，∴n(n－1)＝56，即n＝8.3．若Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，则Ceq\o\al(12,n)的值为________．〖答案〗91〖解析〗由已知，得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2·eq\f(n！,5！(n－5)！)＝eq\f(n！,4！(n－4)！)＋eq\f(n！,6！(n－6)！)，整理，得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.要求Ceq\o\al(12,n)的值，故n≥12，所以n＝14，于是Ceq\o\al(12,14)＝Ceq\o\al(2,14)＝eq\f(14×13,2×1)＝91.3．证明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,m)Ceq\o\al(m－1,n－1).证明：∵eq\f(n,m)·Ceq\o\al(m－1,n－1)＝eq\f(n,m)·eq\f((n－1)！,(m－1)！[(n－1)－(m－1)]！)＝eq\f(n！,[m·(m－1)！](n－m)！)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)＝Ceq\o\al(m,n)，∴Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,m)Ceq\o\al(m－1,n－1)成立.4.判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组