2024-2025学年高中数学模块综合测评含解析北师大版必修3

PAGE模块综合测评(满分：150分钟时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在某次商品促销活动中，某人可得到4件不同的奖品，这些奖品要从40件不同的奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法确定这个人所得到的4个奖品的编号，有可能是()A．4,10,16,12 B．2,12,22,32C．3,12,21,40 D．8,20,32,40B[由题意得系统抽样的间隔k＝eq\f(40,4)＝10.故B正确．]2．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事务是()A．至少有1件次品与至多有1件正品B．至少有1件次品与都是正品C．至少有1件次品与至少有1件正品D．恰有1件次品与恰有2件正品D[对于A，至少有1件次品与至多有1件正品，都包含着“一件正品，一件次品”，所以不是互斥事务，故A不正确；对于B，至少有1件次品包含着“一件正品一件次品”“两件次品”，与两件都是正品是对立事务，故B不正确；对于C，至少有1件次品与至少有1件正品都包含着“一件正品，一件次品”，所以不是互斥事务，故C不正确；对于D，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥而不对立事务，故选D.]3．方程x2＋x＋n＝0，n∈(0,1)有实数根的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)C[方程x2＋x＋n＝0有实数根，则Δ＝1－4n≥0，得0＜n≤eq\f(1,4)，所以所求概率P＝eq\f(\f(1,4)－0,1－0)＝eq\f(1,4).]4．执行如图所示的算法框图，假如输入的N是6，那么输出的p是()A．120B．720C．1440D．5040B[输入N＝6，完成5次循环的输出p＝1×1×2×3×4×5×6＝720.]5．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3D[不管是简洁随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等可能抽样，每个个体被抽中的概率均为eq\f(n,N).]6．茎叶图图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成果(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8C[甲组数据中位数为15，结合茎叶图可得x＝5；乙组平均数为16.8，结合茎叶图得eq\f(9＋15＋10＋y＋18＋24,5)＝16.8，得y＝8.]7．经过随机抽样得到了1000名高三学生体重的基本状况，如下表：偏瘦正常偏胖女生人数100173b男生人数150177c依据探讨须要，有关部门按体重偏瘦、正常、偏胖的标准在这1000名学生中进行分层抽样，在等额抽取男女生的前提下，已知抽取了16名体重偏胖的学生，则在全部抽取的学生中男生人数为()A．40B．20C．10D．8B[由题意可知，体重偏胖的学生人数为b＋c＝400，设1000名学生中应当抽取x人，则eq\f(x,1000)＝eq\f(16,400)，解得x＝40.又所抽取的学生中男生与女生人数相等，故所抽取的学生中男生人数为20.]8．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>aD[将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则中位数b＝15，众数c＝17，平均数a＝eq\f(1,10)(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7.明显a<b<c.]9.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为()A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6B[由题意知，这10个数据落在区间[22,30)内的有22,22,27,29，共4个，所以其概率为eq\f(4,10)＝0.4.]10．一个电路板上装有甲、乙两根保险丝，甲保险丝熔断的概率为0.085，乙保险丝熔断的概率为0.074，两根同时熔断的概率为0.063，则至少有一根熔断的概率是()A．0.159B．0.085C．0.096D．0.074C[设“甲保险丝熔断”为事务A，“乙保险丝熔断”为事务B，则A＋B表示“甲、乙至少有一根熔断”，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.085＋0.074－0.063＝0.096.]11．对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：检测次数12345678检测数据ai(次/分钟)3940424243454647对上述数据的统计分析中，一部分计算见图所示的程序框图(其中eq\x\to(a)是这8个数据的平均数)，该程序框图输出的值是()A．6B．7C．8D．56B[该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数eq\x\to(a)＝eq\f(39＋40＋42＋42＋43＋45＋46＋47,8)＝43，故其方差为eq\f(1,8)×[(39－43)2＋(40－43)2＋(42－43)2＋(42－43)2＋(43－43)2＋(45－43)2＋(46－43)2＋(47－43)2]＝7，所以输出的s的值为7.故选B.]12．某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间(分钟)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数25501555公司规定，依据乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是y＝200＋40eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t,20)))，其中eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t,20)))表示不超过eq\f(t,20)的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为()A．0.5B．0.7C．0.8D．0.9D[由题意知y≤300，即200＋40eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t,20)))≤300，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t,20)))≤2.5，解得0≤t＜60.由表可知t∈[0,60)的人数为90人．故所求概率为eq\f(90,100)＝0.9.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．将参与数学竞赛的1000名学生编号如下：0001,0002，…，1000，准备从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________．0795[依据系统抽样方法的定义，得第40个号码对应15＋39×20＝795，即得第40个号码为0795.]14．假如执行如图所示的算法框图，输入x＝4.5，则输出的数i＝________.4[当输入x＝4.5时，由于x＝x－1，因此x＝3.5，而3.5＜1不成立，执行i＝i＋1后i＝2；再执行x＝x－1后x＝2.5，而2.5＜1不成立，执行i＝i＋1后i＝3；此时执行x＝x－1后x＝1.5，而1.5＜1不成立，执行i＝i＋1后i＝4；接着执行x＝x－1后x＝0.5,0.5＜1，因此输出i为4.]15．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中随意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．eq\f(5,7)[从中随意取出两个球的全部基本领件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(2,3)，(2,4)，…，(6,7)，共21个．而这两个球编号之积为偶数的有：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(6,7)，共15个．故所求的概率P＝eq\f(15,21)＝eq\f(5,7).]16．甲、乙两个人玩一转盘嬉戏(转盘如图①，“C为圆弧eq\x\to(AB)的中点”)，随意转动转盘一次，指针指向圆弧eq\x\to(AC)时甲胜，指向圆弧eq\x\to(BC)时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD，取AD中点E，若随意转动转盘一次，指针指向线段AE时甲胜，指向线段ED时乙胜．然后接着嬉戏，你认为此时嬉戏________(填“是”或“不是”)公允的，因为P甲________P乙(填＜，＞或＝)．不是＜[连接OE(图略)，在直角三角形AOD中，∠AOE＝30°，∠DOE＝60°，若随意转动转盘一次，指针指向线段AE的概率是：eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3)，指针指向线段ED的概率是：eq\f(60°,90°)＝eq\f(2,3)，所以乙胜的概率大，即这个嬉戏不公允．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)现有7名数理化成果优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成果优秀，B1，B2的物理成果优秀，C1，C2的化学成果优秀．从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛，求A1和B1不全被选中的概率．[解]从这7人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，全部可能的结果组成的12个基本领件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．设“A1和B1不全被选中”为事务N，则其对立事务eq\x\to(N)表示“A1和B1全被选中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由对立事务的概率计算公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).故A1和B1不全被选中的概率为eq\f(5,6).18．(本小题满分12分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停岸位时，另一艘船必需等待的概率．[解]设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤24，,0≤y≤24，,|x－y|≤6.))作出如图所示的区域．区域D(正方形)的面积S1＝242，区域d(阴影)的面积S2＝242－182.∴P＝eq\f(S2,S1)＝eq\f(242－182,242)＝eq\f(7,16).即两船中有一艘在停岸位时，另一船必需等待的概率为eq\f(7,16).19．(本小题满分12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成果进行样本分析，获得成果数据的茎叶图如图所示．(1)计算样本的平均成果及方差；(2)在这10个样本中，现从不低于84分的成果中随机抽取2个，求93分的成果被抽中的概率．[解](1)这10名同学的成果是：60,60,73,74,75,84,86,93,97,98，则平均数eq\x\to(x)＝80.方差s2＝eq\f(1,10)[(98－80)2＋(97－80)2＋(93－80)2＋(86－80)2＋(84－80)2＋(75－80)2＋(74－80)2＋(73－80)2＋(60－80)2＋(60－80)2]＝174.4.即样本的平均成果是80分，方差是174.4.(2)设A表示随机事务“93分的成果被抽中”，从不低于84分的成果中随机抽取2个结果有：(98,84)，(98,86)，(98,93),(98,97)，(97,84)，(97,86)，(97,93)，(93,84)，(93,86)，(86,84)，共10种．而事务A含有4个基本领件：(98,93)，(97,93)，(93,84)，(93,86)．所以所求概率为P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).20.(本小题满分12分)某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成果(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示．其中落在[80,90)内的频数为36.(1)请依据图中所给数据，求出a及n的值；(2)从如图组中按分层抽样的方法选取40名学生的成果作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成果；(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成果，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率．[解](1)第四组的频率为：1－0.05－0.075－0.225－0.35＝0.3，∴a＝eq\f(0.3,10)＝0.03，n＝eq\f(36,0.3)＝120.(2)第一组应抽：0.05×40＝2(名)，第五组应抽：0.075×40＝3(名)．(3)设第一组抽取的2个分数记作A1、A2，第五组的3个分数记作B1、B2、B3，那么从这两组中抽取2个的结果有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种，其中平均分不低于70分的有9种所求概率为：P＝eq\f(9,10).21．(本小题满分12分)为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)状况．某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：组别频数频率[145.5,149.5)10.02[149.5,153.5)40.08[153.5,157.5)200.40[157.5,161.5)150.30[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5)mn合计MN(1)求出表中m，n，M，N所表示的数；(2)画出频率分布直方图；(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5以上的概率．[解](1)M＝eq\f(1,0.02)＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2；N＝1，n＝eq\f(m,M)＝eq\f(2,50)＝0.04.(2)作出平面直角坐标系，组距为4，纵轴表示eq\f(频率,组距)，横轴表示身高，画出频率分布直方