第六章-排队网络系统

第六章,排队(páiduì)网络系统

精品资料简介(jiǎnjiè)在排队论中,一个排队模型是一个实际(shíjì)排队系统的数学近似模拟.排队网络系统是由任意多个,通常是由有限个,单个排队系统构成的.来自不同类型或系统的顾客们已不同的方式或线路访问并通过网络,并被服务于访问的服务站(节点),各个服务站提供的服务不同,这种服务可以是真正的服务,也可以是仅仅通过而已.例如,某个顾客访问银行,有的人直接走到出纳员那里取钱或存钱,有人则需要先由接待员服务,然后再由出纳员服务,如果涉及的资金多,则还需要部门经理服务.那么,接待员,出纳员,经理,还有无人自动存储机,均为节点,而整个银行就是一个排队网络系统.如果我们模拟的是三峡船闸系统,那么,不同水平的船闸开起及关闭,及不同船只通过的路线也是一个排队网络系统.许多工厂,公司都要面临设备维修保养,零件配件的供货订货,生产流水线的管理等等都可以构成排队网络系统,利用排队网络系统模型去模拟实现.在排队网络系统顾客可以从一个排队系统进入另一个排队系统,这种转移可以是随机的,服从某一概率分布,也可以是固定的精品资料6.1开放(kāifàng)Jackson网络系统定义6.1:一个排队网络系统被定义为Jackson网络,那么它满足:所有的系统外的访问者,不论首先访问哪一个服务站,均服从泊松分布不论哪一个服务站,所有的服务时间,,均服从指数分布所有的服务站,均可接待无限数量的顾客当一个顾客被完成了一个服务以后,其转移到另一个服务站的概率,与该顾客已经接受的服务过程无关,与其它的服务所在的服务站无关.Jackson网络系统可以是开放的,也可以是闭合的.开放的Jackson网络系统接受系统外顾客的来访顾客也可以离开.闭合的Jackson网络系统不接受系统外顾客的来访,也没有顾客离开.机器维修保养系统,可以看做是闭合的,机器工作时机器处于一种状态,机器不工作时,机器处于另一种状态,当机器修好(xiūhǎo),机器回到第一中第一种工作状态.精品资料6.2开放(kāifàng)Jackson网络系统我们使用例子开始讨论开放Jackson网络系统,演示如何求出解答.例6.1某工作(gōngzuò)站有三种服务:加工,细加工,装饰,顾客访问该工作(gōngzuò)站,首先要进行加工,然后80%的顾客进行细加工,再被装饰,其余1/5的顾客直接被装饰.工作(gōngzuò)站内有一台机器进行加工,平均加工时间为5分钟,有两台机器进行细加工,每台每次平均加工时间为15分钟,有一台机器进行装饰,平均加工时间为6分钟,全部服从指数分布.顾客到工作(gōngzuò)站访问的个数为泊松分布,平均7.5分钟一个新顾客到来.整个工作(gōngzuò)流程如图6.1所示精品资料工作(gōngzuò)流程图精品资料solution首先可以确定这是一个Jackson网络系统,根据陈述,我们写出其转移矩阵:这里节1为加工,节2为细加工,节3为装饰出站.解决Jackson网络系统的步骤为首先确定每个节点的顾客访问率,然后(ránhòu)对每个节点按照独立的M/M/c系统处理.精品资料VisitRate那么我们首先计算三个节点的事件发生率:很明显,对于节点1:λ1=1/7.5*60=8/小时对于节点2:λ2=λ1*0.8=6.4/小时对于节点3:λ3=λ1*0.25+λ2=8*0.2+6.4=8/小时下面(xiàmian)我们计算服务率,根据陈述,显然μ1=60/5=12/小时,μ2=60/15=4/小时,μ3=60/6=10/小时.

精品资料Solution对于节点1和节点3,M/M/1系统,使用(shǐyòng)第四章的稳定状态下系统中顾客数目的平均值确4.6

ρ1=λ1/μ1=8/12=0.667,ρ3=λ23/μ3=8/10=0.8,因此L1=0.667/(1-0.667)=2L3=0.8/(1-0.8)=4对于节点2,它是M/M/2系统,见图2精品资料那么,我们(wǒmen)首先设p0为n=0的概率,明显λn=λ,对任意n=0,1,2…成立.服务时间稍有变化,只有一个顾客和有两个或两个以上的顾客的服务效率不同.只有一个顾客时,一个服务器工作,另一个服务器工作等待,系统具有两个或两个以上的顾客时,两个服务器均工作,因此服务率为:

那么我们(wǒmen)可以得到这里γ=λ/μ,ρ=γ/2.精品资料那么,由于於是:对于节点(jiédiǎn)2:ρ2=6.4/8=0.8,因此p02=0.2/1.8=1/9,精品资料可以证明,M/M/2系统的平均顾客数目为

平均排队等待数目为因此L2=2*0.8/(1-0.82)=4.44.

可以得到,节点(jiédiǎn)1没有顾客的概率为p01=1-ρ01=1-2/3=1/3,节点(jiédiǎn)2没有顾客的概率为p02=1/9,节点(jiédiǎn)3没有顾客的概率为p03=1-ρ03=1-0.8=0.2.精品资料节点(jiédiǎn)总访问率现在最困难的地方(dìfāng)是计算估计每个节点(服务器)的顾客访问率.我们使用λi代表节点i的总访问率.在一个稳定系统中每个节点总顾客访问率与总输出率应该相等,因此λi应该等于从所有其它节点的来访率及系统外来访率的总和.因此我们有这里,γi为网络系统外访问节点外的访问率,P(k,i)为由节点k直接传到节点i的概率.对于网络系统中的任一节点都有一个方程,因此我们可以得到性质如下:精品资料性质(xìngzhì)6.1性质6.1:假设矩阵P为Jackson网络系统各节点之间的转换概率(gàilǜ)γ为由网络系统外顾客访问每个节点的访问率所构成的向量,那么各个节点实际访问率构成的向量λ=(λ1,λ2,…λm)T满足λ=γ(I-P)-16.2这里m为由网络系统节点的总数.性质6.2:假设Jackson网络系统具有m个节点,每个节点的服务效率均服从指数分布,其相应的指数参数为μi,假设随机变元Ni为节点i访问顾客的个数,那么m个节点的联合分布概率(gàilǜ)为P{N1=n1,N2=n2,…,Nm=nm}=P{N1=n1}*P{N2=n2}*,…*P{Nm=nm}6.3式中任何一个概率(gàilǜ),P{Ni=ni},ni=0,1,2…,均可以用M/M/C排队系统概率(gàilǜ)公式求出.精品资料顾客(gùkè)数目的期望值研究网络系统的特性,通常关注的是:通过系统服务的顾客数目期望值,在系统中接受服务的期望值,以及顾客在系统中停留时间的期望值.由于我们研究的系统是稳定的,因此通过系统服务的顾客数目期望值应该等于外界到系统访问的数目总数的期望值,∑γi.,在系统中接受服务顾客数目的期望值等于每个节点中接受服务顾客数目期望值之和.顾客在系统中停留时间的期望值可以使用Little定律解决,于是我们有:性质6.3:考虑Jackson一个拥有m个节点的,Nnet为代表(dàibiǎo)在系统中停留的顾客总数,Tnet代表(dàibiǎo)任一个顾客在系统停留时间,γ是由各个节点外界顾客访问率所构成的向量.Li为M/M/C系统中得到的节点i中的顾客数目的期望值,那么我们有,精品资料例6.2某工作站有三种服务:加工,细加工,装饰,顾客访问该工作站,首先要进行加工,然后4/5的顾客进行细加工,再被装饰,其余1/5的顾客直接被装饰.在所有被细加工的顾客有10%的顾客需要退回到第一种状态重新加工.在所有被装饰的顾客也有10%的顾客需要退回到第一种状态重新加工.工作站内有一台机器(jīqì)进行加工,平均加工时间为5分钟,有两台机器(jīqì)进行细加工,每台每次平均加工时间为15分钟,有一台机器(jīqì)进行装饰,平均加工时间为6分钟,全部服从指数分布.顾客到工作站访问的个数为泊松分布,平均7.5分钟一个新顾客到来.精品资料解:首先可以确定这是一个Jackson网络系统,根据陈述,我们写出其转移矩阵:

这里(zhèlǐ)节1为加工,节2为细加工,节3为装饰出站.使用6.1,λ1=8+0.1λ2+0.1λ3λ2=0.8λ1λ3=0.2λ1+0.9λ2

精品资料解这个方程组,由第三式我们得到λ3=0.92λ1,与第二式一起代入第一式,λ1=9.662,λ2=7.729,λ3=8.889,其相应的服务率为μ1=60/5=12/小时,μ2=60/15=4/小时,μ3=60/6=10/小时.那么ρ1=λ1/μ1=9.662/12=0.8052,ρ2=λ2/(2μ2)=7.729/8=0.9661ρ3=λ3/μ3=8.889/10=0.8889,

对于节点1和节点3,M/M/1系统,使用(shǐyòng)第四章的稳定状态下系统中顾客数目的平均值

精品资料因此L1=0.8052/(1-0.8052)=4.1326L3=0.8889/(1-0.8889)=8.0009对于节点2,M/M/2系统的平均顾客数目为因此顾客在整个网络系统停留数目的期望值为L=L1+L2+L3=41.124.在节点1,没有(méiyǒu)顾客访问的概率为p01=(1-ρ1)/(1+ρ1)=(1-0.8052)/(1+0.8052)=0.1079,在节点2,没有(méiyǒu)顾客访问的概率为p02=(1-ρ2)/(1+ρ2)=(1-0.9661)/(1+0.9661)=0.0172,在节点3,没有(méiyǒu)顾客访问的概率为p03=(1-ρ3)/(1+ρ3)=(1-0.8889)/(1+0.8889)=0.0588.因此,在整个网络系统没有(méiyǒu)顾客访问的概率为p=p01*p02*p03=0.0001.顾客在系统中的平均时间为E(Tnet)=41.124/(8+0+0)=2.35小时.精品资料6.2封闭(fēngbì)Jackson网络系统

所谓的封闭Jackson网络系统并不是真正封闭的.而是当系统饱和后,进出系统的个数相同,一个顾客被完成服务后,下一个顾客才被容许进入,因此系统的顾客总数是固定的.系统永远处于稳定状态,因此我们可以把系统看成是封闭的.下面我们使用例子来具体讨论例6.3,某加工厂需要三道程序对产品进行加工:1.机工车间,2.组装(zǔzhuānɡ)车间3.电力车间.在机工车间加工的产品,70%需要到组装(zǔzhuānɡ)车间组装(zǔzhuānɡ),30%直接到电力车间.在组装(zǔzhuānɡ)车间的产品,10%被发现质量问题,需要返回到加工车间,90%的产品到电力车间.在电力车间完成的产品,离开系统,因此一个新的产品进入网络系统,以保持系统总产品数目不变假设系统最多可以容纳5个产品.有关各个车间的时间信息如下,所有的加工时间均服从指数分布,在机工停留时间时间,其均值为80分钟,在组装(zǔzhuānɡ)停留时间时间,其均值为120分钟,在电力停留时间时间,其均值为60分钟.精品资料系统的转移(zhuǎnyí)矩阵(I-P)是不满秩矩阵外界输入变量(产品进入各个节点的访问向量)r为0向量.因此(yīncǐ)不可能解出,进入每个节点的实际输入率.仅能求出相对访问向量,因此(yīncǐ)我们可以假设第一行第一列的取值为1,然后求出其它行列相对外界对输入率为γ0=(1,0.7,0.3)τ,出去第一个数值,接点1的输假设输入率,那么γ=(0.7,0.3)τ可以被看做为由节点2,3构成的网络系统的外界输入向量,使用6.1精品资料性质(xìngzhì)6.4

假设P代表(dàibiǎo)一个具有m个节点的封闭网络系统的转移矩阵,Q代表(dàibiǎo)移去第一行,第一列的P的子矩阵,γ为由P的第一行,移去第一个分量所构成的向量γ=(p12,p13,…,p1m)τ,第二到m个节点的相对输入向量ξ可以由下式估计ξ=γτ(1-Q)-1此为性质6.1的推论精品资料估计系统(xìtǒng)内产品所花的时间但是我们最关心的是如何估计系统内产品所花的时间,系统在每一个节点上所需要的时间,但是这些量是与封闭网络系统的水平有关部门,所谓的水平是与网络所同时(tóngshí)服务的顾客数目决定的,容许进入系统的个数越多,那么每个顾客在系统内停留时间越长.显然,同时(tóngshí)也与顾客实际的访问率有关精品资料均值(jūnzhí)分析策略性质6.5:均值分析考虑一个封闭的具有m个节点的网络系统,最多服务于wmax个工作.节点i的服务时间(shíjiān)服从均值为μi的指数分布i=1,2,…,m.使用性质6.4估计出的相对节点访问率,ξi.我们可以使用下面步驺计算在每个节点平均停留时间(shíjiān).1.设w=1,Wk(w)=1/μk,k=1,2,…,m2.setw=w+1,3.4.当w=wmax停止,否则回到2每个节点的平均顾客访问率精品资料例:6.3(继续(jìxù))在网络系统停留时间的计算过程(guòchéng)列在表6.1中的第1-5行当w=5时,我们得到产品在机工车间平均停留时间为289.3分钟,在组装车间平均停留时间为471.6分钟,在电力车间平均停留时间为108.6分钟.wW1(w)W1(w)W3(w)∑ξiWi(w82109.12165.8671.46291.683149.94231.8883.72390.114207.57328.3696.30526.975289.32471.58108.62720.446405.51687.65120.08998.54表6.1网络系统内平均逗留时间计算

(w=5或者6)

精品资料系统(xìtǒng)特征(容许量)表6.2网络系统内有关统计量

(w=5)

统计量

节点1

节点2

节点3平均逗留时间289.32471.58108.62λk0.400.460.141/μk8012060ρk0.540.920.14Lk1.1510.960.16表6.3网络系统内有关统计量

(w=6)

统计量

节点1

节点2

节点3平均逗留时间405.51687.65120.08λk0.410.480.111/μk8012060ρk0.540.960.11Lk1.1826.870.13精品资料讨论(tǎolùn)从表6.1-6.3可以看出,平均逗留时间与系统中容许接待的顾客或产品数量有关.随着最大容许量w的增加,平均逗留时间增加,但是各个节点的增加量并不平衡.从5个容许量增加到6个容许量,在节点1,平均逗留时间由289分钟增加到406分钟,相应的顾客访问数基本未变,1.15对应1.18.而在节点2,平均逗留时间由472分钟增加到688分钟,相应的顾客访问数从11个增加到27.其次可以看到系统的原设计并不合理,在节点2访问的顾客总数为11(w=5),要远远多于在其它两个节点停留的顾客总数1.15和0.16.因此我们需要改变编制机构.如果,我们增加组装车间的人员设备为加倍.构成(gòuchéng)M/M/C/2系统.在使用同样的相对输入率的情况下,其结果列在表6.4中:精品资料

表6.4网络系统内有关统计量

(w=5)

统计量

节点1M/M/1

节点2M/M/2

节点3M/M/1平均逗留时间289.32471.58108.62λk0.400.460.141/μk8012060ρk0.540.460.14Lk1.151.160.16精品资料6.3非Jackson网络系统很多网络系统是非Jackson系统类型.对于这种Jackson类型,通常只能使用模拟或近似方式.一种常见的网络系统是节点的连接顺序是固定的.也就是说,所有的加工顺序是给定的.例如考虑一个产品由两道工序组成,产品访问率为每小时10个,产品总是(zǒnɡshì)先进入第一道工序,然后进入第二道工序,第二道工序结束后,再回到第一道工序,然后离开.因此产品所经过的途经是固定的.因此这个过程不满足本章初,所定义的Jackson网络系统定义,主要是第四条,系统转入下一个状态的的概率,与该产品客已经接受的服务过程无关,与其它的服务所在的节点无关.但是我们可以将其稍为改造一下,建立一个Jackson网络系统用来近似这个程序.例如我们可以假定访问率加倍,完成第一道工序的产品,50%转入第二道工序,那么网络系统转移矩阵为精品资料系统(xìtǒng)转换顾客(gùkè)访问率加倍精品资料具有泊松分布的固定(gùdìng)路程的系统

例6.4:下图给出一个由三个固定路程(lùchéng)构成的非Jackson网络系统精品资料路程(lùchéng)路程1为(1,2,3,2),该加工过程为,产品先进入节点1,然后进入节点2,再进入节点3,再回到节点2,然后离开网络系统.其网络路程长度为4.类似地,路程2为(2,3),路程3为(1,2,1,3).对于一般的具有K个路程的系统,rk=(Ik1,,Ik2,…Ik)来表示第k个路程的具体途径,Ikj为该路程k第j个节点,ni为该路程所通过的节点总数,称其为,节点通过,重复计算.那么对路程1,n1=4,对路程2,n2=4对路程3n3=3.路程1-3的外界(wàijiè)输入率分别为γ1,,γ2和γ3.精品资料节点的输入(shūrù)率计算

那么我们可以计算出节点1的输入率为λ1=γ1,+2γ3节点2的输入率为λ2=2γ1+γ2+γ3,节点3的输入率为λ3=γ1+γ2+γ3.具体地说,当计算通过每个节点的输入率时,我们是通过数该网络的每个路程通过该点次数乘以该路程输入率,然后求和.例如对节点i:路程k通过该节点i的次数为这里(zhèlǐ),那么,所有路程通过该节点的总数为或者使用矩阵表达式得到节点的输入率λ=γ𝜂

精品资料节点的服务(fúwù)率计算

在得到每个节点的输入率以后,各个节点可以被看作为独立的服务器,尽管输入变元不满足泊松分布,但是(dànshì)我们通常认为多个独立相异非泊松分布的变元之和,可以使用泊松分布去近似.因此我们需要估计,不同的非泊松分布的变元是如何叠加,也就是计算叠加权重:给定一个节点i,由第k个路程输入的概率为

例6.4(续)由三个路程的节点转换,可以看到由节点1转到节点2分别在三个节点之间的传输状态矩阵为精品资料输入(shūrù)率概率矩阵假设,路程1输入率为γ1=10/小时,路程2输入率为γ2=20/小时,路程3输入率为γ1=30/小时.那么,节点1的输入率为λ1=10+2*30=70/小时,节点2的输入率为λ2=2*10+20+30=70/小时,节点3的输入率为λ3=10+20+30=60/小时.那么概率矩阵为我们(wǒmen)还需要计算服务时间的有关参数精品资料服务(fúwù)时间性质6.5:服务时间假设节点(jiédiǎn)i服务路程k的服务时间均值为μki,其服务率1/μki的方差为σki2.设Si为节点(jiédiǎn)i的任一工作的服务时间.式中6.6给出.精品资料例6.5,假设一个网络系统具有5个类型的工作组合,其工作路程由下表给出,表中T代表图象处理,M代表模型研发,S代表产品生产,X代表销售.总共有六类产品,每种产品的流程及产品到达速度列在表6.5中.例如(lìrú)生产A类产品,需要访问四个加工节点,每个节点只访问一次,该产品访问网络的平均输入率为每八小时55个B类产品,需要访问五个加工节点,需要二次图象处理,因此访问节点T两次其它节点只访问一次,该产品访问网络的平均输入率为每八小时35个.表6.5:产品种类,流程及输入率产品种类生产流程产品输入率(小时)AT-M-S-X55BM-T-M-S-T-X35CT-M-X30DM-S-T-S-X56ET-M-S-T-X70FT-S-X40精品资料使用(shǐyòng)的EXCEL根据表格6.5,是取自EXELL,表中最后一列为该表在EXELL中所在的行数,在行17-22列出不同类产品访问不同节点的频数,𝜂ki,在行23我们计算每个节点的输入率λi.最后一行为(xíngwéi)该表所在的列数,使用的EXCEL公式为λi(T):=(B17*$F$17+B18*$F$18+B19*$F$19+B20*$F$20+B21*$F$21+B22*$F$22)/8λi(M):=(C17*$F$17+C18*$F$18+C19*$F$19+C20*$F$20+C21*$F$21+C22*$F$22)/8λi(S):=(D17*$F$17+D18*$F$18+D19*$F$19+D20*$F$20+D21*$F$21+D22*$F$22)/8λi(X):=(E17*$F$17+E18*$F$18+E19*$F$19+E20*$F$20+E21*$F$21+E22*$F$22)/8使用EXELL,表中最后一列为该表在EXELL中所在的行数,精品资料产品(chǎnpǐn)输入率

表6.6:计算节点的产品输入率产品种类节点产品输入率行数

TMSX(小时)

A11115517B22113518C11013019D11215620E21117021F10114022λi个/小时48.87535.1253935.75

23ABCDEF

精品资料产品种类

节点

TMSX

行数A0.1410.1960.1760.19231B0.1790.2490.1120.12232C0.0770.1070.0000.10533D0.1430.1990.3590.19634E0.3580.2490.2240.24535F0.1020.0000.1280.14036E[Si]1.010.570.691.2937E[S2]1.080.360.491.7438C2s1/20.261/10.931/20.721/24.6439ABCDE

表6.7:计算节点的产品输入概率:qk,I,不同工作在各个节点的平均工作时间(shíjiān),二阶矩,及方差系数行31-36给定节点条件(tiáojiàn)下,为相应工作被服务的概率,使用6.11计算qk,I,使用EXCELL相应的计算公式并使用表6.6,6.7和6.8,行31,列B给出qA,T,=B47*B17/B23行31,列C给出qAM,c47*C17/C23行32,列B给出qBT,=C48*B18/B23精品资料表6.7不同类型(lèixíng)工作在不同节点上所需要服务的平均时间及标准差产品种类TMSX行数

MeanStdDevMeanStdDevMeanStdDevMeanStdDevA1.250.310.630.130.500.061.060.8147B1.130.940.310.190.630.131.691.0048C0.750.630.880.190.060.060.940.6349D1.380.380.690.190.880.441.500.7550E0.810.500.560.560.560.251.440.5051F0.880.560.060.060.690.191.000.6952ABCDEFGHI

行37为服务时间均值:E[Si(T)]:=B3*B31+B4*B32+B5*B33+B6*B34+B7*B35+B8*B36行38为服务时间的二阶矩:E[S2(T)]:=B3*B3*B31+B4*B4*B32+B5*B5*B33+B6*B6*B34+B7*B7*B35+B8*B8*B36精品资料特征函数

节点

行数TMSX访问率

48.87535.1253935.7555服务率

59.28105.1387.3746.3556ρ

0.820.330.450.7757L4.700.500.813.3758W=L/λ(小时)0.100.010.020.0959Wq=w-μ(小时)0.080.0050.010.0760ABCDE

表6.9不同(bùtónɡ)节点上排对系统特征值

精品资料最后一步,我们使用6.14计算在网络系统中完成不同类型产品的时间,行66-71,列B-E给出不同类型产品,在不同工作节点所需要的停留时间.以A类工作在节点T的停留时间使用EXCEL为例,其计算公式公式为:E(TA,T)=B47+$B$38/$B$37/$B$37/2*$B$59,A类工作在节点M的停留时间为E(TA,M)=D47+$C$38/$C$37/$C$37/2*$C$59,B类工作在节点T的停留时间为E(TB,T)=B48+$B$38/$B$37/$B$37/2*$C$58,其余类推.那么A类产品在整个网络停留的时间为A所在行按表6.6相应行加权求和(6.14):Tnet,A=B17*B66+C17*C66+D17*D66+E17*E66,类似(lèisì)地,B类产品的期望停留时间为Tnet,B==B18*B67+C18*C67+D18*D67+E18*E67精品资料节点期望工作(gōngzuò)时间

表6.10在网络系统中完成不同类型产品的期望时间产品种类(K)节点期望工作时间Tnet,k行数

TMSXA1.3000.6330.5111.1123.5666B1.1750.3200.6361.7375.3667C0.8000.8830.0730.9872.6768D1.4250.6950.8861.5495.4469E0.8630.5700.5731.4874.3670F0.9250.0700.6981.0492.6771ABCDE

精品资料系统模拟

理论计算需要将模型简化,加上很多假设.因此理论模型的结果(jiēguǒ)往往并不准确.我们通常使用数值模拟计算.下面程序(SAS)生成250个时间序列.SAS程序:我们反复使用两个MACRO,一个ranexp生成服从泊松分布序列,A,B,C,D,E,F根据表6.5给出的泊松密度,另一个生成服从指数分布的服务时间,分别代表四个节点T,M,S和X,依照表6.5给出的顺序.我们记录每个系列到达时间及离开系统的时间,每个节点(T,M,…)的服务时间,及服务对象(A,B,…),最后做统计分析.精品资料SASProgram%macrorannorm(mu,std,seed,var);Time=&mu+(ranuni(&seed)-0.5)*&std/24;node=&var;%mend;%macroranexp(lambda,seed,var);Ini1=ranexp(&seed)/&lambda*8;INit=&var;%mend;%macrodatade();dataduse;retaintimelineainibinicinidinieinifiniini0;%doi=1%to250;ran=ranuni(830903)*286;ifran<=55thendo;group='A';%ranexp(55,&i+11,'Aini');aid=1;%rannorm(1.25,0.31,&i+1,'T');idin='A11';output;%rannorm(0.63,0.13,&i+2,'M');idin='A12';output;%rannorm(0.5,0.06,&i+3,'S');idin='A13';output;%rannorm(1.06,0.81,&i+4,'X');idin='A14';output;aini=ini+ini1;end;elseifran<=90thendo;group='B';%ranexp(35,&i+13,'Bini');Bid=1;idin='B21';%rannorm(0.31,0.19,&i+1,'M');output;idin='B22';%rannorm(1.13,0.94,&i+2,'T');output;idin='B23';%rannorm(0.31,0.19,&i+3,'M');output;idin='B24';%rannorm(0.63,0.13,&i+4,'S');output;idin='B25';%rannorm(1.13,0.94,&i+3,'T');output;idin='B26';%rannorm(1.69,1.1,&i+4,'X');output;bini=ini+ini1;end;elseifran<=120thendo;group='C';%ranexp(30,&i+15,'Cini');Cid=1;idin='C31';%rannorm(0.75,0.63,&i+1,'T');output;idin='C32';%rannorm(0.88,0.19,&i+2,'M');output;idin='C33';%rannorm(0.94,0.63,&i+4,'X');output;cini=ini+ini1;end;elseifran<=176thendo;group='D';%ranexp(56,&i+17,'Dini');Did=1;idin='D41';/*???? T M S X ?? Mean StdDev Mean StdDev Mean StdDev Mean StdDev E 0.81 0.50 0.56 0.56 0.56 0.25 1.44 0.50 51F 0.88 0.56 0.06 0.06 0.69 0.19 1.00 0.69 52A B C D E F G H I */%rannorm(0.69,0.19,&i+1,'M');output;idin='D42';%rannorm(0.88,0.44,&i+2,'S');output;idin='D43';%rannorm(1.38,0.38,&i+3,'T');output;idin='D44';%rannorm(0.88,0.44,&i+4,'S');output;idin='D45';%rannorm(1.5,0.75,&i+3,'X');output;dini=ini+ini1;end;elseifran<=246thendo;group='E';%ranexp(70,&i+19,'Eini');Eid=1;idin='E51';%rannorm(0.81,0.5,&i+1,'T');output;idin='E52';%rannorm(0.56,0.56,&i+2,'M');output;idin='E53';%rannorm(0.56,0.25,&i+3,'S');output;idin='E54';%rannorm(0.81,0.5,&i+4,'T');output;idin='E55';%rannorm(1.44,0.5,&i+3,'X');output;eini=ini+ini1;end;elsedo;group='F';%ranexp(40,&i+21,'Fini');Fid=1;idin='F61';%rannorm(0.88,0.56,&i+1,'T');output;idin='F62';%rannorm(0.69,0.19,&i+2,'S');output;idin='F63';%rannorm(1,0.69,&i+3,'X');output;fini=ini+ini1;end;ini=ini+ini1;%end;%MEND;%DATADE();dataduse1;setduse;group1=lag1(group);procprintdata=duse1;run;dataduse2;setduse1;retainatimebtimectimedtimeetimeftimeltimettimemtimestimextime0;if_N_=1thendo;atime=ini;btime=ini;ctime=ini;dtime=ini;etime=ini;ftime=ini;ttime=ini;mtime=ini;stime=ini;xtime=ini;end;ifgroupnegroup1THENDO;ttime=max(ini,ttime)+(node='T')*time;mtime=max(ini,mtime)+(node='M')*time;stime=max(ini,stime)+(node='S')*time;xtime=max(ini,xtime)+(node='X')*time;ltime=max(ttime,mtime,stime,xtime);END;elsedo;ttime=ltime+(node='T')*time;mtime=ltime+(node='M')*time;stime=ltime+(node='S')*time;xtime=ltime+(node='X')*time;ltime=max(ttime,mtime,stime,xtime);end;/*ifGROUPnegroup1thenltime1=ini;elseltime1=lag1(ltime);*/if_N_=1THENDO;IFgroup='A'THENAtime=ini;IFgroup='B'THENBtime=ini;IFgroup='C'THENCtime=ini;IFgroup='D'THENDtime=ini;IFgroup='E'THENEtime=ini;IFgroup='F'THENFtime=ini;END;IFgroup='A'THENdo;ifnode='T'thenatime=max(ini,ttime);elseifnode='M'thenat