新高考数学一轮复习第5章 第01讲 平面向量的概念及其线性运算 精讲（教师版）

第01讲平面向量的概念及其线性运算(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念与表示角度2：模角度3：零向量与单位向量角度4：相等向量高频考点二：向量的线性运算角度1：平面向量的加法与减法角度2：平面向量的数乘高频考点三：共线向量定理的应用第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量表示方法：向量SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；模SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作SKIPIF1<0.（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用SKIPIF1<0表示.特别的：非零向量SKIPIF1<0的单位向量是SKIPIF1<0.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线可记为SKIPIF1<0；特别的：SKIPIF1<0与任一向量平行或共线.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作SKIPIF1<0.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作SKIPIF1<0.2、向量的线性运算2.1向量的加法①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量SKIPIF1<0，我们规定SKIPIF1<0.②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在平面内任取一点SKIPIF1<0,作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则向量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的和,记作SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为邻边作SKIPIF1<0,则以SKIPIF1<0为起点的向量SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的对角线)就是向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.2向量的减法①定义：向量SKIPIF1<0加上SKIPIF1<0的相反向量，叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的差，即SKIPIF1<0.②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在平面内任取一点SKIPIF1<0,作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则向量SKIPIF1<0.如图所示如果把两个向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的起点放在一起,则SKIPIF1<0可以表示为从向量SKIPIF1<0的终点指向向量SKIPIF1<0的终点的向量.2.3向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作SKIPIF1<0.它的长度与方向规定如下：①SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的方向相同；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的方向相反；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.3、共线向量定理①定义：向量SKIPIF1<0与非零向量SKIPIF1<0共线，则存在唯一一个实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意SKIPIF1<0；特别地，若SKIPIF1<0，实数SKIPIF1<0仍存在，但不唯一．4、常用结论4.1向量三角不等式①已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向共线时左边等号成立；当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向共线时右边等号成立）；②已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向共线时左边等号成立；当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向共线时右边等号成立）；记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：SKIPIF1<0中SKIPIF1<0中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；4.2中点公式的向量形式：若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为平面内任意一点，则SKIPIF1<0.4.3三点共线等价形式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为实数），若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线SKIPIF1<0SKIPIF1<0第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试一、判断题1．（2022·全国·高一课前预习）判断下列结论是否正确.（1）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是单位向量，则SKIPIF1<0；()（2）方向为南偏西SKIPIF1<0的向量与北偏东SKIPIF1<0的向量是共线向量；()（3）直角坐标平面上的SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴都是向量；()（4）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是平行向量，则SKIPIF1<0；()（5）若用有向线段表示的向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相等，则点M与N不重合；()（6）海拔、温度、角度都不是向量.()【答案】

错误正确

错误

错误

正确正确【详解】（1）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是单位向量，而单位向量方向不一定相同，故不能得到SKIPIF1<0；（2）方向为南偏西SKIPIF1<0的向量与北偏东SKIPIF1<0的向量是方向相反的向量，因而是共线向量；（3）SKIPIF1<0轴与SKIPIF1<0轴有方向但是没有长度，因而SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴都不是向量；（4）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是平行向量，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相同或相反，模不一定相等；而相等向量必须长度相等，方向相同，故不能得到SKIPIF1<0；（5）若用有向线段表示的向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相等，则终点一定不相同，即点M与N不重合；（6）海拔，温度，角度都是数量，只有大小没有方向，不是向量.2．（2022·全国·高一专题练习）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是单位向量，则SKIPIF1<0.()【答案】错误【详解】因SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是单位向量，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0长度相等，而它们的方向不确定，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定相等，所以命题：“若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是单位向量，则SKIPIF1<0.”不正确.故答案为：错误3．（2022·全国·高一专题练习）如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0>SKIPIF1<0.()【答案】错误【详解】向量不能比较大小，所以SKIPIF1<0错误.4．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0

()【答案】错误【详解】SKIPIF1<0，但是方向不确定，因此不能判断SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故错误，故答案为：错误.5．（2022·江苏·高一专题练习）方向为南偏西SKIPIF1<0的向量与北偏东SKIPIF1<0的向量是共线向量.()【答案】√如图所示，分别在O点的南偏西SKIPIF1<0和北偏东SKIPIF1<0作向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，根据几何关系，O、A、B三点共线，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，所以说法正确﹒故答案为：√第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念与表示例题1．（2022·上海·复旦附中高一期中）①加速度是向量；②若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行．上面说法中正确的有（

）个．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不一定平行，所以②不正确；若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行或在一条直线上，所以③不正确.故选：B.例题2．（2022·全国·高一课时练习）给出如下命题：①向量SKIPIF1<0的长度与向量SKIPIF1<0的长度相等；②向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0是共线向量，则点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对于①，向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是共线向量，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．例题3．（2022·全国·高一课时练习）如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，写出图中给出的长度为SKIPIF1<0的所有向量中，（1）与向量SKIPIF1<0相等的向量；（2）与向量SKIPIF1<0共线的向量；（3）与向量SKIPIF1<0平行的向量.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【详解】（1）与向量SKIPIF1<0相等的向量，即与向量SKIPIF1<0大小相等，方向相同的向量，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）与向量SKIPIF1<0共线的向量，即与向量SKIPIF1<0方向相同或相反的向量，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）与向量SKIPIF1<0平行的向量，即与向量SKIPIF1<0方向相同或相反的向量，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.角度2：模例题1．（2022·浙江省定海第一中学高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，它们的夹角为SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，它们的夹角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C例题2．（2022·全国·高一专题练习）在边长为SKIPIF1<0的正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的值为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为邻边作菱形SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由图形可知，SKIPIF1<0的长度等于等边SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的高的SKIPIF1<0倍，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，故选：D.例题3．（2022·上海市复旦中学高一期中）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的_____________条件.【答案】充分不必要【详解】SKIPIF1<0，充分性成立；SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，必要性不成立，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.角度3：零向量与单位向量例题1．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线【答案】D【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.例题2．（2022·广东东莞·高一期中）下列说法错误的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．零向量与任一向量平行C．零向量是没有方向的 D．若两个相等的向量起点相同，则终点必相同【答案】C【详解】对A，零向量的模长为0，故A正确；对B，零向量与任一向量平行，故B正确；对C，零向量的方向是任意的，故C错误；对D，相等向量若起点相同则终点相同，D正确；故选：C例题3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量SKIPIF1<0，则与向量SKIPIF1<0垂直的单位向量的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【详解】易知SKIPIF1<0是与SKIPIF1<0垂直的向量，SKIPIF1<0，所以与SKIPIF1<0平行的单位向量为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：D．角度4：相等向量例题1．（2022·山西·大同市第三中学校高一期中）在菱形SKIPIF1<0中，与SKIPIF1<0相等的向量可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：因为SKIPIF1<0为菱形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A、C错误；对于B：SKIPIF1<0，故B正确；对于D：SKIPIF1<0，故D错误；故选：B例题2．（多选）（2022·山东菏泽·高一期中）设点SKIPIF1<0是平行四边形SKIPIF1<0的对角线的交点，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线【答案】AD【详解】因点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则O是AC中点，即有SKIPIF1<0，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定相等，B不正确；点A，O，B不共线，C不正确；平行四边形ABCD中，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，D正确.故选：AD例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，SKIPIF1<0是正六边形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在以SKIPIF1<0这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：(1)与SKIPIF1<0相等的向量有哪些？(2)SKIPIF1<0的相反向量有哪些？(3)与SKIPIF1<0的模相等的向量有哪些？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】(1)由相等向量定义知：与SKIPIF1<0相等的向量有SKIPIF1<0.(2)由相反向量定义知：SKIPIF1<0的相反向量有SKIPIF1<0.(3)由向量模长定义知：与SKIPIF1<0的模相等的向量有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题型归类练1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）下列命题正确的是（

）A．向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是相等向量B．共线的单位向量是相等向量C．零向量与任一向量共线D．两平行向量所在直线平行【答案】C【详解】对于A，SKIPIF1<0，故A错误；对于B，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B错误；对于C，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确；对于D，两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误；故选：C.2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是非零向量，下列四个条件中，使SKIPIF1<0成立的充分条件是（

）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】对于A，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，A错误；对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，B错误；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，C错误；对于D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，D正确．故选：D．3．（多选）（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）下列命题中，不正确的是（

）A．若SKIPIF1<0为单位向量，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若平面内有四点SKIPIF1<0，则必有SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向或反向，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，A错误；对于B，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可能不共线，B错误；对于C，SKIPIF1<0，C错误；对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D正确.故选：ABC.4．（2022·上海交大附中高一阶段练习）下列数学符号可以表示单位向量的是______（选项之间不需要分隔符号）①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0【答案】②④【详解】对于①，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不表示单位向量，对于②，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0表示单位向量，对于③，因为SKIPIF1<0表示两个单位向量的数量积，结果是一个数，所以SKIPIF1<0不表示单位向量，对于④，因为SKIPIF1<0表示与SKIPIF1<0同向的单位向量，所以④符合题意，故答案为：②④5．（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，如图．(1)写出与向量SKIPIF1<0共线的向量；(2)求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(2)证明见解析【解析】.(1)据题意，与向量SKIPIF1<0共线的向量为：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0是平行四边形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．高频考点二：向量的线性运算角度1：平面向量的加法与减法例题1．（2022·广东·华南师大附中高一期中）下列向量运算结果错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】对于A，SKIPIF1<0，A错误；对于B，SKIPIF1<0，B正确；对于C，SKIPIF1<0，C正确；对于D，SKIPIF1<0，D正确；故选：A例题2．（2022·广东·深圳中学高一期中）如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】在SKIPIF1<0中，点M是线段SKIPIF1<0上靠近B的三等分点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B例题3．（2022·河北·沧县中学高一期中）化简：SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：SKIPIF1<0，＝SKIPIF1<0，故选：B．例题4．（2022·广东·福田外国语高中高一期中）如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题图，SKIPIF1<0.故选：A例题5．（2022·北京通州·高一期中）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列运算正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】对于A选项，SKIPIF1<0，A错；对于B选项，SKIPIF1<0，B错；对于C选项，SKIPIF1<0，C对；对于D选项，SKIPIF1<0，D错.故选：C.例题6．（2022·河南安阳·高一阶段练习）在等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为重心，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DO为SKIPIF1<0的重心，延长AO交BC于E，如图，E为BC中点，则有SKIPIF1<0，而D是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.故选：D角度2：平面向量的数乘例题1．（2022·北京通州·模拟预测）设SKIPIF1<0为非零向量，则“存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若SKIPIF1<0为非零向量，且存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0共线且方向相反，SKIPIF1<0，充分性成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的夹角可能为钝角，此时不存在复数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，必要性不成立；SKIPIF1<0“存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件.故选：A.例题2．（2022·重庆一中高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D例题3．（2022·江苏淮安·高一期中）设SKIPIF1<0为基底，已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0的值是（

）A．2 B．-4 C．-2 D．3【答案】B【详解】因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因A，B，D三点共线，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，于是得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以k的值是SKIPIF1<0.故选：B题型归类练1．（2022·江苏常州·高一期中）如图平面四边形ABCD中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.2．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于SKIPIF1<0年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点SKIPIF1<0分别为任意SKIPIF1<0的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A错误，B错误；SKIPIF1<0，C错误；SKIPIF1<0，D正确.故选：D.3．（2022·全国·高一专题练习）设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<04．（2022·四川成都·高一期中（文））如图，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，E为线段AB的中点，F为线段AC上的一点，且SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0．(1)用向量SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0﹔(2)用向量SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：由题可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．5．（2022·江西·芦溪中学高一阶段练习）如图所示，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0表示下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0高频考点三：共线向量定理的应用例题1．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0共线；但当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0共线，此时不一定存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．故选：A．例题2．（2022·全国·高一专题练习）设SKIPIF1<0为基底向量，已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】易知SKIPIF1<0，又A，B，D三点共线，所以存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值是SKIPIF1<0.故选：A例题3．（2022·全国·模拟预测）在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上任一点（不含端点），若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．9 B．8 C．4 D．2【答案】A【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，故选：A例题4．（2022·广东·广州市海珠中学高一期中）如图．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________（用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0）．【答案】SKIPIF1<0【详解】∵M、E、C三点共线，则SKIPIF1<0B、E、N三点共线，则SKIPIF1<0则可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．例题5．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期中）设两个非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线；（2）试确定实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共线．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共线，∴存在实数λ，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的非零向量，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.题型归类练1．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则t的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：A．2．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期中（理））已知不共线的两个向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则实数t等于（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，所以有且仅有唯一的实数SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.3．（2022·湖南师大附中高一期中）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【详解】由题意得SKIPIF1<0，因为M、O、N三点共线，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选B．4．（2022·江苏宿迁·高一期中）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：B5．（2022·吉林·长春外国语学校高一阶段练习）如图，在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一点，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0三点共线，故可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.6．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（理））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，若向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】由题意得存在唯一实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不