第01讲 直线的方程（练习）（解析版）

第01讲直线的方程（模拟精练+真题演练）1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】因为，则，令，解得，即直线恒过点.又因为点A也在直线上，则，可得，且，则，即，当且仅当时，等号成立所以的最大值为.故选：B.2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意，当的斜率存在时，设切线的方程为，则，解得，设的倾斜角为，故的倾斜角为.故选：D3．（2023·广西·统考一模）直线绕原点顺时针旋转45°得到直线，若直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，求得的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得的值．由题意可知，，，故选：．4．（2023·河北衡水·校考一模）直线的倾斜角是A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，故倾斜角为.故选B.5．（2023·吉林长春·统考模拟预测）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知点和点为的顶点，则：“的欧拉线的方程为”是“点C的坐标为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题知，必要性：当时,，根据三线合一知：的欧拉线的方程为；充分性：由题知，，的欧拉线的方程为设重心,点,外接圆圆心为,因为重心为，即所以，记中点为，因为，在上，设所以，所以，即,因为，解得或2，所以点为或；所以“的欧拉线的方程为”是“点C的坐标为”的必要不充分条件，故选：B6．（2023·山东·校联考二模）已知集合，，则中元素的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因为，表示直线上的点，又因为，所以集合表示如图所示的正方形边上的点，所以中元素的个数即为直线与正方形的边的交点个数，由图可知直线与正方形的边有2个交点，即中元素的个数为2.故选：C.7．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知点在直线上的射影为点B，则点B到点距离的最大值为（

）．A． B．5 C． D．【答案】C【解析】将直线l整理得到，于是，解得，所以直线l恒过点，因为点在直线上的射影为点B，所以，则点B在以线段为直径的圆上，该圆的圆心坐标为，半径大小为，又，所以点B到点距离的最大值为，故选：C．8．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于直线，即，所以在直线上，设，其中，由两边平方得，即，整理得，由于，所以，其中，根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，且最大值为，则，解得.故选：A9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法是错误的为（

）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．直线的斜率为tanα，则其倾斜角为αC．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示．【答案】ABC【解析】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确；当直线的斜率为，倾斜角为，故选项B不正确；当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确；根据直线的两点式方程可知选项D正确，故选：ABC10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知直线，其中，则（

）A．当时，直线与直线垂直B．若直线与直线平行，则C．直线过定点D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选：AC．11．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图，当直线与线段相交时，，，所以，斜率取值范围是或.故选：AB12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（

）A．已知点，，若直线与线段有交点，则或B．是直线：与直线：垂直的充分不必要条件C．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为D．已知直线，：，，和两点，，如果与交于点，则的最大值是.【答案】ABD【解析】对于A，∵直线过定点，又点，，∴，如图可知若直线与线段有交点，则或，故A正确；对于B，由直线：与直线：垂直得，，解得或，故是直线：与直线：垂直的充分不必要条件，故B正确；对于C，当直线过原点时，直线为，当直线不过原点时，可设直线为，代入点，得，所以直线方程为，故经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为或，故C错误；对于D，∵直线，：，又，所以两直线垂直，∴，∴，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ABD13．（2023·全国·高三专题练习）经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的方程为；【答案】或．【解析】由题意，可知所求直线的斜率为．又过点，由点斜式得或．故答案为：或14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是．【答案】或.【解析】由直线得：，令，解得，所以直线l过点，由题知，在x轴上的截距取值范围是，如图：所以端点处直线的斜率分别为，所以或；故答案为：或.15．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，设．有下列三个说法：①存在实数，使点N在直线l上；②若，则过MN两点的直线与直线l平行；③若，则直线l经过线段MN的中点．上述所有正确说法的序号是．【答案】②③【解析】对于①，因为，所以，所以点不可能在直线l上，错误．对于②，因为，所以，所以，若，则，不合题意，故，所以，所以直线MN的方程为，即，又，所以过M、N两点的直线与直线l平行，正确．对于③，因为，所以，所以，即在直线上，所以直线l经过线段MN的中点，正确．综上所述，正确的有②③，故答案为：②③16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别相交于两点，为坐标原点．当取得最小值时，直线的方程为．【答案】【解析】由题意知直线的斜率存在．设直线的斜率为，则，直线的方程为，则，所以；当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为，即直线的方程为．故答案为：17．（2023·全国·高三专题练习）已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为；【答案】x－y－3＝0【解析】由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，故所求直线的方程为y-(－)＝，即x－y－3＝0．故答案为：x－y－3＝018．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为.【答案】或【解析】由题知，若在轴、轴上截距均为，即直线过原点，又过，则直线方程为；若截距不为，设在轴、轴上的截距为，则直线方程为，又直线过点，则，解得，所以此时直线方程为.故答案为：或19．（2023·全国·高三专题练习）已知直线．求证：无论m为何实数，直线恒过一定点M．【解析】将直线的方程化为，解方程组解得故直线l1恒过定点．20．（2023·全国·高三对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；(2)当取最小值时，求直线的方程；(3)当取最小值时，求直线的方程．【解析】（1）依题意设，，，设直线的方程为，代入得，所以，则，当且仅当，即、时取等号，从而，当且仅当，即、时取等号，此时直线的方程为，即，所以，此时直线的方程为．（2）由（1）可得，所以，当且仅当，即，时取等号，此时直线的方程为，即．（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，令，解得，令，解得，所以，，则，当且仅当，即，即时，取最小值，此时直线的方程为．21．（2023·高三课时练习）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、CD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为.(1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线方程；(2)若折痕所在的直线的斜率为k（k为常数），试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线方程.【解析】（1）设，由于折痕的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，由解得，所以，所以的中点坐标为，所以折痕所在的直线方程为，即.（2）当时，，折痕所在直线方程为.当时，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，由解得，所以，所以的中点坐标为，所以折痕所在的直线方程为，时，折痕也符合上式，综上所述，折痕所在的直线方程为.1．（1991·全国·高考真题）如果且，那么直线不通过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为，且，所以、、均不为零，由直线方程，可化为，因为，且，可得，，所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．故选：C.2．（1995·全国·高考真题）图中的直线的斜率分别为，则有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由图象可得，，故选：C3．（2008·四川·高考真题）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为，再将该直线向右平移1个单位可得：，即.故选：A.4．（2008·浙江·高考真题）已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹．l是过点的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，，轴（如图）．(1)求曲线C的方程；(2)求出直线l的方程，使得为常数．【解析】（1）设N（x,y）为C上的点，则，N到直线的距离为．由题设得，化简，得曲线C的方程为．（2）设，明显直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋k，则B（x,