人教版高中数学必修第一册3.2 函数的基本性质 课时6函数的最大（小）值【课件】

3.2函数的基本性质课时6函数的最大(小)值教学目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义,了解函数的最值与单调性之间的关系.2.能够正确地运用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值与值域.3.了解函数图象与性质之间的内在联系,体会函数图象在研究函数问题中的应用功能.学习目标课程目标学科核心素养借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大(小)值，理解函数的最大(小)值的意义在用符号语言表达函数的最大(小)值的过程中，培养数学抽象与直观想象素养会求一些简单函数的最大(小)值，进而运用函数的最大(小)值解决实际应用问题在求解函数的值域、最值以及实际问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养了解函数图象与性质之间的内在联系,体会函数图象在解决函数问题中的作用在解决问题的过程中,体会函数图象与性质的内在联系,培养数学抽象、数学运算等素养情境导学为了预测2025年某一天某地的天气情况，数学兴趣小组研究了2020－2025年每年这一天的天气情况，下图是该地2023年这一天24时内气温随时间变化的曲线图．观察图象，这一天中什么时候气温最高，什么时候气温最低？【活动1】概括函数最大值的含义初探新知【问题2】函数最值定义中的条件(2)能不能去掉？为什么？【问题1】什么是函数的最大值?从函数的图象上如何获得函数的最大值？【问题3】你能仿照函数最大值的定义，给出函数最小值的定义吗？【活动2】由函数最大值的含义类比函数最小值的含义【问题4】你能说出函数的最值和值域的联系与区别吗？【问题5】若函数y＝f(x)在区间

上单调递增，那么函数y＝f(x)在区间

上有何最值？【活动3】探究最大(小)值与单调性的关系【问题6】若函数y＝f(x)在区间

上x＝b两侧单调性相反，那么函数y＝f(x)在区间

上有何最值？典例精析

【解】由函数的图象可知f(x)的最大值为f(1)=2,f(x)的最小值为f(-2)=-1.故选C.C【方法规律】

从函数的图象上来看,函数的最大值就是函数图象的最高点的纵坐标,函数的最小值就是函数图象的最低点的纵坐标,因此,要求函数的最大值与最小值,只要作出函数的图象,求出图象的最高点与最低点的纵坐标即可．

【变式训练1】已知x∈R,定义函数f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为

(

)A.2

B.1C.-1

D.无最大值【解】在同一平面直角坐标系中画出函数y=2-x2,y=x的图象,如图.根据题意,图中实线部分即为函数f(x)的图象.所以当x=1时,f(x)max=1.故选B.B【例2】函数y＝

，的最大值为________．思路点拨：求分段函数的最大值，需要先求出每一段在各自范围上的最大值，再比较．注意每段上最大值的求解，需要先判断各段的单调性．也可以通过作出图象来求．【解】方法1：当x<1时，函数y＝x＋3单调递增，且有y<4，无最大值；当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，则在x＝1处取得最大值，最大值为5.故函数在整个定义域内的最大值为5.方法2：作出分段函数y＝

的图象，如图，由图象可得函数在整个定义域内的最大值为5.【方法规律】分段函数的最大(小)值是各段函数最大(小)值中的最大(小)者，或者作出其图象，由图象得出其最大(小)值．

【变式训练2】

求函数y=|x+1|-|x-2|的最大值和最小值.

【例3】[2021·广东省广州市增城区高一期末改编题]已知函数f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值为4,求a的值.思路点拨

求解与二次函数的最大值、最小值有关的问题,应先考虑该函数的定义域,可以采用配方法和图象法求解.

【方法规律】求解二次函数的最大(小)值,需要综合考虑开口方向和对称轴与定义域区间的位置关系,当二次函数中含有参数时,需根据参数的不同取值进行分类讨论.

【变式训练3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈

，求函数f(x)的最小值．【解】f(x)＝(x－a)2＋2－a2，x∈

.当a≥1时，f(x)在

上单调递减，f(x)min＝f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，f(x)在

上单调递减，在

上单调递增，f(x)min＝f(a)＝2－a2；当a≤－1时，f(x)在

上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.综上所述，f(x)min＝

【方法规律】(1)若函数f(x)在[a,b]上是单调递增,则f(x)min=f(a),f(x)max=f(b),得值域为[f(a),f(b)],若函数f(x)在[a,b]上是减函数,则f(x)min=f(b),f(x)max=f(a),得值域为[f(b),f(a)].(2)不等式恒成立问题常可转化为函数的最值问题借助单调性来求解.

课堂反思通过本节课的学习，你学到了哪些知识？2.你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练1.[教材改编题]函数f(x)＝

的最大值是(

)A.

B.

C.

D.

A2．[2021·湖南省怀化市高一期末]下列函数中，在(0，＋∞)上存在最小值的是(

)A.y＝(x－1)2

B.y＝C.y＝－x2＋2x

D.y＝2x＋1A3.(多选)[2021·江苏省常州市高一期末]已知函数f(x)＝