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第一讲马黎

（.4.15）第1页第一讲函数介绍第一次数学危机----数域扩张第2页1.数学危机

为了讲清楚数学危机来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。普通来讲，危机是一个激化、非处理不可矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在、不可防止，即便以确定无疑著称数学也不例外。在整个数学发展历史上，贯通着矛盾斗争与处理。而在矛盾激化到包括整个数学基础时，就产生数学危机。第3页2、历史背景从某种意义上来讲，当代意义下数学（也就是作为演绎系统纯粹数学）起源于古希腊毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺时期为公元前5左右，它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变原因研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙友好及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学知识是可靠、准确，而且能够应用于现实世界。毕达哥拉斯学派信条：宇宙间一切现象都能归结为整数或整数之比。第4页

当初人只有「有理数」观念是绝不奇怪。对于整数，在数在线我们能够知道是一点点分散，而且点与点之间距离是一，那就是说，整数不能完全填满整条数线，但有理数则不一样了，我们发觉任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，比如：1与2之间有1/2，1与1/2之间有1/4等，所以令人很轻易认为「有理数」能够完全填满整条数线，「有理数」就是等于一切数，可惜这个想法是错。第5页3、毕达哥拉斯定理（毕氏铁拳）含有戏剧性是由毕达哥拉斯建立毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰“掘墓人”。毕达哥拉斯发觉了现时众所周知毕达哥拉斯定理（其实中国于公元前一千一百年已经有此定理叫勾股定理），毕达哥拉斯定理提出后，其学派中一个组员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1正方形其对角线长度是多少呢？第6页

一个不能表成整数比数：

依据毕达哥拉斯定理，边长为1正方形，其对角线长度若记为c，则推出。如图:

C

1第7页

希帕索斯(Hippasus)一个正方形对角线与其一边长度是不可公度？

第8页他发觉这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外数，有理数不能够完全填满整条数线，他们心中信念完完全全被破坏了，他们所恃和所自豪信念完全被粉碎。希帕索斯发觉造成了数学史上第一个无理数√2诞生。小小√2出现，却在当初数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。第9页有些人说，这种性质是希帕索斯约在公元前4发觉，为此，他同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不论怎样，这个发觉对古希腊数学观点有极大冲击。这表明，几何学一些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却能够由几何量表示出来。整数尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。第10页实际上，这一伟大发觉不不过对毕达哥拉斯学派致命打击。对于当初全部古希腊人观念这都是一个极大冲击。这一结论悖论性表现在它与常识冲突上：任何量，在任何准确度范围内都能够表示成有理数。这不但在希腊当初是人们普遍接收信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确！第11页可是为我们经验所确信，完全符合常识论断竟然被小小√2存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬事！它简直把以前所知道事情根本推翻了。更糟糕是，面对这一荒谬人们竟然毫无方法。这就在当初直接造成了人们认识上危机，从而造成了西方数学史上一场大风波，史称“第一次数学危机”。在当初数学界来说，是一个极大震撼，也是历史上「第一次数学危机」。第12页4、新一页

原来“第一次数学危机”是“无理数”发觉，不过它还说出了“有理数”不完备性，亦即有理数不能够完全填满整条数线，在有理数之间还有“空隙”，无疑这些都是可被证实事实，是不能否定。面对着事实，数学家展开辽阔胸襟，把“无理数”引入数学大家庭，令数学更丰富更完备，加添了无理数，数线终于被填满了。第13页

矛盾消除，危机处理，往往给数学带来新内容，新进展，甚至引发革命性变革，这也反应出矛盾斗争是事物发展历史动力这一基本原理。整个数学发展史就是矛盾斗争历史，斗争结果就是数学领域发展。第14页5、数域扩张

人类最早认识是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量数减法就行不通；一样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，不然许多实际问题也不能处理。不过接着又出现了√2

这么问题，数域就是这么在不停扩张。第15页

数分类数域第16页回顾以前各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国数学，并没有经历过这么危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不一样道路，形成了欧几里得《几何原本》公理体系与亚里士多德逻辑体系。第17页

一、函数生活中函数举例函数惯用表示法

列表法图像法解析式法

第一章函数第18页

一、区间与邻域（一）区间

以上区间称为有限区间第一章函数第19页

以上区间称为无限区间第20页

（二）邻域第21页二函数第22页2.函数记号第23页第24页

3

.约定:定义域是自变量所能取使算式有意义一切实数值.第25页第26页第27页第28页求定义域标准1）分母不为零（ln1=0）2）开偶次方时被开方数非负3）对数真数为正第29页第30页分段函数定义域第31页第32页介绍几个惯用符号第33页三、函数特征M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1.函数有界性:第34页2．函数单调性:xyo第35页xyo第36页【注】偶函数图像关于y轴对称yxox-x3.函数奇偶性:第37页yxox-x【注】奇函数图像关于原点对称第38页第39页4.函数周期性第40页五、分段函数在自变量不一样取值范围内，用不一样公式表示函数，称为分段函数.【注】分段函数定义域是各段定义域并集

如符号函数

-11xyo第41页例4解故第42页三、基本初等函数基本初等函数是指以下六类函数：常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数．1.常数函数

第43页2.幂函数第44页3.指数函数第45页4.对数函数第46页5.三角函数函数第47页5.三角函数函数第48页5.三角函数函数第49页5.三角函数函数第50页6.反三角函数函数第51页6.反三角函数函数第52页6.反三角函数函数第53页6.反三角函数函数第54页第55页四、函数运算：复合函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用一个式子表示函数,称为初等函数.第56页第57页第58页第59页函数起源近代数学本质上能够说是变量数学，而变量数学兴起是因为解析几何创建。解析几何基本思想是平面上引进所谓坐标概念，以此在平面上点和有序实数之间建立了一一对应关系。解析几何创造归功于两位法国数学家笛卡尔（R.Descartes，1596-1650）和费马（P.de.Fermat1601-1665）.解析几何是代数和几何相结合产物，他将变量引进到数学，使运动与改变定量表述称为可能，从而为微积分创建打下基础。第60页函数（function）一词最初是由德国数学家莱布尼兹（G.W.Leibniz，1646-1716）在1692年开始使用。1734年瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707-1783）引入了符号f(x)，并称变量函数是一个解析表示式，认为函数是由一个公式确定数量关系。但，当初函数概念依然是比较含糊。第61页直到1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.L.Dirichlet，1805-1859）提出。“假如对于一个x每一个值，y总有一个完全确定值与之对应，则y是x函数。”这个定义才比较清楚地说明了函数内涵：不论其对应法则是公式、表格、图像还是其它形式