2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第四章指数函数与对数函数4.3对数第1课时对数的概念和运算性质考点1对数的概念1.(2024·湖北枝江一中月考)有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫作常用对数;④以e为底的对数叫作自然对数。其中正确的个数为()。A.1B.2C.3D.4答案:C解析:①③④正确,②不正确,只有a>0且a≠1时,ax=N才能化为对数式。2.(2024·辽宁盘锦高一检测)下列指数式与对数式互化不正确的一组是()。A.e0=1与ln1=0B.log39=2与91C.8-13=12与logD.log77=1与71=7答案:B解析:log39=2化为指数式为32=9,故选B。3.(2024·成都四中月考)在b=loga-2(5-a)中,实数a的取值范围是()。A.(-∞,2)∪(5,+∞) B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5) D.(3,4)答案:C解析:由对数的定义知5-a>0,a-2>04.(2024·兰州一中高一期中)若loga7b=c(a>0,且a≠1,b>0),则有()A.b=a7c B.b7=acC.b=7ac D.b=c7a答案:A解析:∵loga7b=c,∴ac=7b,∴(ac)7=(7b)7,∴a7c5.(2024·云南大理一中模块测试)已知a23=49(a>0),则log23A.2 B.3 C.12 D.答案:B解析:由a23=49,得a=4∴log23a=log6.(2024·沈阳二中单元测试)若a>0,且a≠1,c>0,则将ab=c化为对数式为()。A.logab=c B.logac=bC.logbc=a D.logca=b答案:B解析:由对数的定义干脆可得logac=b。7.(2024·陕西西安中学期中考试)已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式肯定成立的是()。A.d=ac B.a=dcC.c=ad D.d=a+c答案:B解析:由已知得5a=b,10c=b,∴5a=10c。∵5d=10,∴5dc=10c,∴5dc=5a,∴dc=a,故选B。8.(2024·湖北武汉外国语学校期末考试)已知log7[log3(log2x)]=0,那么x-12等于(A.13 B.36 C.24答案:C解析:由条件,知log3(log2x)=1,所以log2x=3,即x=23=8,所以x-12=8-12=9.(2024·江西临川一中周测)已知log12x=3,则x1答案:1解析:由log12x=3,得x=123=18,所以x10.(2024·昆明一中单元检测)若a=lg2,b=lg3,则100a-b答案:4解析:∵a=lg2,∴10a=2。∵b=lg3,∴10b=3,∴100a-b2=11.(2024·重庆巴蜀中学单元测试)若log31-2x9=1,则答案:-13 解析:∵log31-2x9=1,∴112.(2024·北大附中单元测评)已知4a=2,lgx=a,则x=。

答案:10解析:∵4a=2,∴a=12。∵lgx=a,∴x=10a=10考点2对数的运算性质13.(2024·河南郸城一高期中考试)若a>0且a≠1,b>0,c>0,则下列式子中正确的个数为()。①logabc=lo②loga(b·c)=loga(b+c);③loga(b·c)=logab+logac;④loga(b-c)=log⑤loga(b+c)=logab·logac;⑥logabc=logab-logacA.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:由对数运算法则loga(b·c)=logab+logac,logabc=logab-logac,知③⑥正确,易知其他都不正确,故选C14.(2024·湖南长沙一中期中考试)已知log3x=m,log3y=n,则log3xy·3y用m,n可表示为A.12m-43n B.23mC.m-3n2 D.12m答案:D解析:log3xy·3y=log3x-log3y·3y=log3x12-log3(y·y13)12=1215.(2024·深圳中学单元测试)若lgx=lga+2lgb-31gc,则x=()。A.a+2b-3c B.a+b2-c3C.ab2c答案:C解析:∵lgx=lga+2lgb-3lgc=lgab2c3,∴x=a16.(2024·宁波二中月考)计算12log64+log63A.0 B.1 C.2 D.4答案:B解析:12log64+log63=log6412+log63=log62+log63=log66=1,log312-2log32=log312-log34=log33=1,∴12log64+log17.(2024·广西河池示范性中学课改联盟体高一联考)若xlog43=12,则log23x+9x等于()A.3 B.5 C.7 D.10答案:B解析:xlog43=12⇒log43x=12,则log23x=1,∴3x=2,则log23x+9x18.(2024·南宁二中月考)已知lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则lgab2的值是(A.4 B.3 C.2 D.1答案:C解析:由题意得lga+lgb=2,lga·lgb=12,则lgab2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lga·lgb=22-4×119.(2024·北京第四中学高一期中)log64+log69-823=答案:-2解析:原式=log636-(23)23=2-4=-2,故答案为20.(2024·桂林一中月考)若lgx-lgy=a,则lgx23-lgy23=。(答案:3a 解析:∵lgx-lgy=a,∴lgxy=a,∴lgx23-lgy23=lgx23考点3对数恒等式21.(2024·湖北黄石二中月考)若a=log43,则2a+2-a=。

答案:4解析:2a+2-a=2log43+2-log43=222.(2024·南京一中单元测试)52log510+log(答案:98解析:52log510=(5log510)2=102=100,log2-1(3+22)=log2-123.(2024·合肥一中周练)3log9(6答案:26解析:3log9(6+2)2+5log2524.(2024·河北衡水中学高一期中)计算log327+lg25+lg4+7log7答案:7解析:log327+lg25+lg4+7log72=log333+lg52考点4对数的概念和运算性质的综合25.(2024·石家庄二中月考)已知ab>0,给出下面四个等式:①lg(ab)=lga+lgb;②lgab=lga-lgb③12lgab2④lg(ab)=1lo其中正确的个数为()。A.0 B.1 C.2 D.3答案:B解析:当a<0,b<0时,lg(ab)=lg(-a)+lg(-b),lgab=lg(-a)-lg(-b),故①②错;ab>0时,ab>0,12lgab2=lgab,③正确;当ab=1时26.(2024·太原二中单元测试)若alog53=1,则3a+9a的值为()。A.15 B.20 C.25 D.30答案:D解析:alog53=1,∴a=1log53=log35,∴3a+9a=3log27.(2024·黄冈中学单元测试)完成下列问题。(1)已知log189=a,log1854=b,求182a-b的值;答案:∵log189=a,log1854=b,∴18a=9,18b=54,∴182a-b=182a18(2)已知logx27=31+log32答案:∵logx27=31+log32∴x6=27,∴x6=33,又x>0,∴x=3。28.(2024·昆明一中单元测试)已知lg2=a,lg3=b。(1)用a,b表示lg15;答案:lg15=lg302=lg30-lg2=1+lg3-lg2=1+b-a(2)用a,b表示lg45。答案:lg45=12lg45=12lg902=12(lg9+lg10-lg2)=12(2lg3+1-lg2)=12第2课时换底公式和对数运算的综合问题答案P235考点1对数的换底公式1.(2024·湖大附中单元测试)log38·log49=()。A.14B.12C.2答案:D解析:原式=lg8lg3·lg9lg4=3lg2lg3·2.(2024·长沙一中月考)已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为()。A.160 B.60 C.2003 答案:B解析:由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=112,logmx=124,logmy=140,故logmz=112-logmx-logmy=112-124-140=13.(2024·江西赣州十三县市高一期中考试)若log2x·log34·log59=8,则x等于()。A.8 B.25 C.16 D.4答案:B解析:∵log2x·log34·log59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgxlg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,4.(2024·四川南充一中高一月考)log29·log34等于()。A.14 B.12 C.2答案:D解析:log29·log34=lg9lg2·lg4lg3=2lg35.(教材习题改编)已知3m=4n=12,则1m+1n=答案:1解析:由3m=4n=12可知m=log312,n=log412,故1m=log123,1n=log124,从而1m+1n=log123+log126.(2024·南昌一中月考)化简(log43+log83)(log32+log92)=。

答案:5解析:原式=log237.(2024·上海理工大附中高一期中)已知log32=a,则log3218用a表示为。

答案:a解析:因为log32=a,所以log23=1a,所以log3218=15log2(2×32)=15(1+2log23)=18.(2024·湖南岳阳一中月考)计算log9427的值为答案:3解析:log9427=lg433lg9=lg9.(2024·湖北孝感中学期中考试)若log23·log36m·log96=12,则实数m的值为答案:4解析:∵log23·log36m·log96=lg3lg2·lgmlg36·lg6lg9=lgm4lg2=14log2m=110.(2024·昆明一中单元测试)已知a=lg2,10b=3,那么用a,b表示log125=。

答案:1-解析:∵10b=3,∴b=lg3,∴log125=lg102lg(3×考点2对数的运算性质和换底公式的应用11.(2024·哈尔滨三中月考)计算2log63+log64的结果是()。A.2 B.log62C.log63 D.3答案:A解析:2log63+log64=log69+log64=log636=2。12.(2024·兰州九中单元测试)若lgx=m,lgy=n,则lgx-lgy102的值等于(A.12m-2n-2 B.12m-2C.12m-2n+1 D.12m-2答案:D解析:lgx-lgy102=12lgx-2(lgy-lg10)=12m13.(2024·武汉中学单元测试)log225·log34·log59的值为()。A.6 B.8 C.15 D.30答案:B解析:log225·log34·log59=2log25·2log23·2lo14.(2024·安徽毛坦厂中学月考)式子log32·log227的值为()。A.2 B.3 C.13 答案:B解析:log32·log227=lg2lg3·lg27lg2=lg27lg3=log327=3,15.(2024·东北育才中学月考)已知函数f(x)=alnx+blgx+2,且f12009=4,则f(2009)的值为()A.-4 B.2 C.0 D.-2答案:C解析:依题意得,f12009=aln12009+blg12009+2=-(aln2009+blg2009)+2=4,所以aln2009+blg2009=-2,则f(2009)=aln2009+blg2009+2=-2+2=016.(2024·江西九江一中单元测评)2723-2log23×log218答案:19解析:原式=(33)23-2log23×log22-3+lg(3+5+3-17.(2024·青岛一中单元测试)已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,则f(lg2)+flg1答案:2解析:∵f(x)+f(-x)=ln(1+9x2-3x)+1+ln(1+9x2+3x)+1=2+ln(1+9x2-9x2)=2,∴f(lg2)+flg1218.(2024·广西南宁三中高一段考)计算:(1)log225·log322·log59;答案:原式=2log25×32log32×2log53=6×lg5lg2×lg2lg3×(2)log23·log32-12-2log4答案:∵log23·log32=1,12-2lo492560.5=4925612=716,6427-23=433×-23=43-2考点3对数运算的实际应用19.(2024·西安调考)某种汽车平安行驶的稳定性系数μ随运用年数t的改变规律是μ=μ0e-λt,其中μ0,λ是正常数。经检测,当t=2时,μ=0.9μ0,则当稳定性系数降为0.5μ0时,该种汽车已运用的年数为(结果精确到1,参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)。

答案:13解析:由0.9μ0=μ0e-2λ=μ0(e-λ)2,得e-λ=0.9。令0.5μ0=μ0(e-λ)t,得0.5=(0.9)t,两边取常用对数,得lg0.5=t2lg0.9,故t20.(2024·镇江一中单元测试)候鸟每年都要随季节的改变而进行大规模迁徙,探讨某种候鸟的专家发觉,该种候鸟的飞行速度v(单位:m·s-1)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3Q10(其中a,b是常数)。据统计,该种鸟类在静止时的耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,飞行速度为1m·s-1。若这种候鸟为赶路程,飞行的速度不能低于2m·s-1,答案:解:由题意,知a+blog33010=0,a+blog39010=1,解得a=-1,b=1,所以v=-1+log3Q10,要使飞行速度不低于2m·s-1,考点4对