2024-2025学年新教材高中数学第四章概率与统计4.2.2离散型随机变量的分布列课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第二册

PAGE课时素养检测十二离散型随机变量的分布列(30分钟55分)一、选择题(每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1.(多选题)下列问题中的随机变量听从两点分布的是 ()A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X=QUOTED.某医生做一次手术，手术胜利的次数为随机变量X【解析】选BCD.两点分布又叫0-1分布，全部的试验结果有两个，B，C，D满意定义，而A，抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X，则X的全部可能的结果有6种，不是两点分布.2.若随机变量X的分布列如表所示，则a2+b2的最小值为 ()X=i0123P(X=i)abA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由分布列性质可知a+b=QUOTE，而a2+b2≥QUOTE=QUOTE.3.从只有3张中奖彩票的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时抽奖的次数，则P(X=3)等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为从只有3张中奖彩票的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，那么全部的状况为QUOTE，而X=3表示直至抽到中奖彩票时的次数为3，那么前两次没有中奖，最终一次中奖的状况为QUOTE，因此概率为QUOTE.4.抛掷两枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.依据题意，有P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).抛掷两枚骰子，按所得的点数共构成36个样本点，而X=2对应(1，1)，X=3对应(1，2)，(2，1)，X=4对应(1，3)，(3，1)，(2，2)，故P(X=2)=QUOTE，P(X=3)=QUOTE=QUOTE，P(X=4)=QUOTE=QUOTE，所以P(X≤4)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.5.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以QUOTE为概率的事务是 ()A.都不是一等品 B.恰有一件一等品C.至少有一件一等品 D.至多有一件一等品【解析】选D.设取到一等品的件数是ξ，则ξ=0，1，2，P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE.因为P(ξ=0)+P(ξ=1)=QUOTE，所以满意题设的事务是“至多有一件一等品”.二、填空题(每小题5分，共10分)6.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则PQUOTE=________.

【解析】设二级品有k个，所以一级品有2k个，三级品有QUOTE个，总数为QUOTE个.所以分布列为ξ123P所以PQUOTE=P(ξ=1)=QUOTE.答案：QUOTE7.从4名男生和2名女生中任选3人参与数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________.

【解析】设所选女生人数为随机变量X，则P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE三、解答题(每小题10分，共20分)8.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X的分布列.【解析】X的可能取值是1，2，3，P(X=1)=QUOTE=QUOTE；P(X=2)=QUOTE=QUOTE；P(X=3)=QUOTE=QUOTE.故X的分布列为X123P9.袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率.【解析】(1)从袋中随机摸4个球的状况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，得分分别为5分，6分，7分，8分.故X的可能取值为5，6，7，8.P(X=5)=QUOTE=QUOTE，P(X=6)=QUOTE=QUOTE，P(X=7)=QUOTE=QUOTE，P(X=8)=QUOTE=QUOTE.故所求分布列为X5678P(2)依据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1.设随机变量X的分布列为PQUOTE=QUOTE，则PQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由概率和为1，可知QUOTE+QUOTE+QUOTE=1，解得a=3，PQUOTE=P(X=2)+P(X=3)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.2.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中随意选3个村，下列事务中概率等于QUOTE的是 ()A.至少有1个深度贫困村B.有1个或2个深度贫困村C.有2个或3个深度贫困村D.恰有2个深度贫困村【解析】选B.用X表示这3个村中深度贫困村数，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE+PQUOTE=QUOTE.3.(多选题)10件产品中有2件次品，现任取n件，若2件次品全部被抽中的概率超过0.4，则n的值可以为 ()A.9 B.8 C.7 D.6【解析】选ABC.依据题意得P=QUOTE>0.4，所以QUOTE>0.4QUOTE，所以1>0.4QUOTE，所以n2-n-36>0，所以n>QUOTE，所以n的最小值为7.4.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是QUOTE的事务为 ()A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的【解析】选C.对于选项A，概率为QUOTE=QUOTE；对于选项B，概率为QUOTE=QUOTE；对于选项C，概率为QUOTE=QUOTE；对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种状况.依据A选项，恰有一个坏的概率已经是QUOTE>QUOTE，故D选项不正确.二、填空题(每小题5分，共20分)5.设随机变量X的分布列为P(X=k)=mQUOTE，k=1，2，3，则m的值为________.

【解析】P(X=1)=QUOTE，P(X=2)=QUOTE，P(X=3)=QUOTE，由离散型随机变量的分布列的性质知，P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1，即QUOTE+QUOTE+QUOTE=1，解得m=QUOTE.答案：QUOTE6.已知随机变量X的分布列如表：X123P其中a是常数，则PQUOTE的值为________.

【解析】由分布列可知QUOTE+QUOTE+QUOTE=1，解得a=QUOTE，则PQUOTE=PQUOTE=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE7.某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)任选3人参与学校的义务劳动.设所选3人中女生人数为ξ，则ξ的分布列为________.

【解析】ξ的全部可能取值为0，1，2，依题意得P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE.ξ012P答案：ξ012P8.某班有学生45人，其中O型血的有15人，A型血的有10人，B型血的有12人，AB型血的有8人，将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X，则X的分布列为________.

【解析】X的可能取值为1，2，3，4.PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE.故X的分布列为X1234P答案：X1234P三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知2件次品和3件正品混放在一起，现须要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品须要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所须要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.【解析】(1)记“第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品”为事务A，则PQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200，300，400.则PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，P(X=400)=1-PQUOTE-PQUOTE=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.故X的分布列为X200300400P10.唐代饼茶的制作始终持续至今，它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成.依据分析，甲、乙、丙三位学徒能通过“炙”这道工序的概率分别是0.5，0.6，0.5；能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8，0.5，0.4；由于他们平常学习刻苦，都能通过“罗”这道工序.若这三道工序之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位学徒中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率；(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位学徒中制成饼茶人数X的分布列.【解析】(1)设A，B，C分别表示事务“甲、乙、丙通过′炙′这道工序”，则所求概率P=PQUOTE+PQUOTE+PQUOTE=0.5×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.5)×0.6×(1-0.5)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.5=0.35.(2)甲制成饼茶的概率为P甲=0.5×0.8=0.4，同理P乙=0.6×0.5=0.3，P丙=0.5×0.4=0.2.随机变量X的可能取值为0，1，2，3，PQUO