七年级数学下册讲义（北师大版）第四章第07讲 难点探究专题：全等三角形中的动点问题(3类热点题型讲练)（解析版）

第07讲难点探究专题：全等三角形中的动点问题(3类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】 1【题型二利用三角形全等求证线段之间的关系问题】 12【题型三利用三角形全等求证角之间的关系问题】 22【题型一利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】例题：（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为秒时，与全等．【答案】1或7【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．【详解】解：由题意得：，若，根据证得，，即，若，根据证得，，即．当t的值为1或7秒时．与全等．故答案为：1或7．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，动点从点出发以2米/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等．【答案】秒或秒或【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点在线段上，时，；当在上，时，；当在线段上，时；当在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：当点在线段上，时，，，，，点的运动时间为（秒）；当在上，时，，，，，点的运动时间为（秒）；当在线段上，时，此时在点未动，时间为秒，不符合题意；当在上，时，，，，，点的运动时间为（秒）；综上所述，当点经过秒或秒或秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等，故答案为：秒或秒或．2．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，动点，分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线经过原点，且，过，分别作的垂线段，垂足分别为，．若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，运动时间为秒，当与全等时，的值为．

【答案】1或2或5【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并利用全等三角形的性质建立方程．判断出再分三种情况讨论，表示出，建立一元一次方程求解即可．【详解】解：∵，，∴，，由题意，和是两直角三角形的斜边，当与全等时，，①当点P在上，点Q在上时，根据题意可得∶时，，，∴，，∴，解得∶；②当点P，Q都在上时，点P，Q重合时，两三角形重合时，P点行程为，Q点行程为，∴，解得；③当点P在上，点Q在上且点Q与点A重合时，，∴．解得：当与全等时，满足题意的t的值为1或2或5．故答案为：1或2或5．3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在长方形中，，，现有一动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿长方形的边运动，到达点A时停止；点Q在边上，，连接．设点P的运动时间为，则当s时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．（不考虑两个三角形重合的情况）【答案】1或2或7【分析】本题考查了全等三角形的判定和长方形的性质，掌握全等三角形的判定和恰当分类是解题的关键．先确定是等腰直角三角形，再分三种情况：点在边上，或，点在边上，，利用动点运动的路径求解即可．【详解】解：在长方形中，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，分三种情况：当点在边上，时，，则，∴；当点在边上，时，，则点在边上，时，，则，综上，当或或时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．故答案为：1或2或7．4．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当t=秒时，与全等．【答案】2或6或8【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．【详解】当点E与点A重合时，此时，与全等．但，舍去；当时，则，∵，，，．动点E的速度为，∴，∴，∴；当时，则，且点E在点B的右侧时，∵，，，．动点E的速度为，∴，∴，∴；当时，则，且点E在点B的右侧时，∵，，，．动点E的速度为，∴，∴，∴；故答案为：2或6或8．5．（23-24八年级上·重庆巴南·阶段练习）如图1，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．

(1)如图1，当时，；(2)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度．【答案】(1)或(2)两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或【分析】本题考查全等三角形与动点的综合，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．（1）点运动的速度为，则，；根据，分类讨论：点在上时；点在上时，进行解答，即可；（2）根据全等三角形的性质，分类讨论：当点在上，，，；当点在上，点在上，，，；当点在上，，，；当点在上，点在上，，，，求出对应的点的运动速度，即可．【详解】（1）∵点运动的速度为，点在上时，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，解得：；

点在上时，过点作于点，∴点的运动路程为，∴，，∵，∴，∵是直角三角形，∴当点在的中点时，，，∴，解得：；故答案为：或；（2）∵在中，，，，，∴当点在上，，，；∴点的速度为：；

当点在上，点在上，，，，∴点的速度为：；

当点在上，，，，∴点运动的距离为：，点运动的距离为：，∴点的速度为：；

当点在上，点在上，，，∴点的速度为：；

综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或．6．（2023·广西南宁·二模）如图，在中，为高，．点为上的一点，，连接，交于，若．(1)猜想线段与的位置关系，并证明；(2)有一动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；(3)在（2）条件下，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，求的值．【答案】(1)垂直，见解析(2)存在，(3)或【分析】（1）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得，再求出，，①当时，在线段上，然后由三角形面积公式得，即可求解；②当时，在射线上，由三角形面积公式得，即可求解；（3）①当点在线段延长线上时，证，当时，，此时，求解即可；②当点在线段上时，证，当时，，此时，求解即可．【详解】（1），理由如下：在中，为高，，又，，，，，；（2）存在的值，使得的面积为27，理由如下：，，，，，，由（1）可知，，，分两种情况：当时，在线段上，如图1，，解得：（舍去）；当时，在射线上，如图2，，解得：，此时与重合；综上所述，存在的值，使得的面积为27，的值为；（3）由（1）可知，，，当点在线段延长线上时，如图3，，，，当时，，此时，，解得：；当点在线段上时，如图4，，，，当时，，此时，，解得：；综上所述，当与全等时，的值为或．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积、三角形面积和定理、对顶角相等以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．【题型二利用三角形全等求证线段之间的关系问题】例题：（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）在中，，，点D在的延长线上，M是的中点，E是射线CA上一动点，且，连接，作，交延长线于点F．(1)如图1，当点E在上时，填空：________（填“”、“”或“”）．(2)如图2，当点E在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)，详见解析；(2)，详见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识；（1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论；（2）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论．证明三角形全等是解题的关键．【详解】（1），理由如下：连接，如图1所示：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵M是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）根据题意将图形补全，如图2所示：与的数量关系：，证明如下：连接，∵，点D在的延长线上，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵M是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴．【变式训练】1．（22-23八年级上·山西大同·阶段练习）如图1，在等腰直角三角形中，，点为边上的一个动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接．

(1)当点在线段上时(不与点重合)，求证：．(2)当点在线段的延长线上时(如图2)，试猜想线段和的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【答案】(1)见解析(2)猜想：，证明见解析【分析】（1）先证明，再根据三角形全等的判定定理证明，即可；（2）先证明，再根据三角形全等的判定定理证明，由全等三角形的性质，即可得证．【详解】（1）即∶在和中（2）猜想∶即∶在和中(全等三角形的对应边相等)(全等三角形的对应角相等)即∶综上所述，．【点睛】本题主要考场三角形全等的判定定理和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，是解题的关键．2．（23-24八年级上·河北沧州·期末）问题情境：如图，等腰，D是斜边上一点，连接，在AD右侧作，且，平分交边于点E，连接和，请直接写出线段的关系：

；

猜想验证：若D是斜边上一动点，且平分交边于点E，其他条件不变，此时上面的结论是否还成立，请说明理由．拓展延伸：若点D运动到斜边的延长线上，平分交边于点E，其他条件不变，请直接写出线段的关系：．【答案】问题情景：；猜想验证：成立，见解析；拓展延伸：【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．问题情景：根据作图过程可解决问题情境；猜想验证：根据等腰直角三角形和已知条件可证明可得，进而证明可得，然后根据即可证明结论；拓展延伸：先根据题意画出图形，然后参照猜想验证进行解答即可．【详解】解：问题情境：．猜想验证：，理由如下：∵是等腰直角三角形∴∵∴∴，即：在和中，∴∴，∵平分，∴在和中，，∴，∴，∴，∴．拓展延伸：，理由如下：∵是等腰直角三角形∴∵∴∴，即：在和中，∴∴，∵平分，∴在和中，，∴，∴，∴，∴．3．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点为线段上一动点（不与点B重合），且．

(1)连接交于点，设．①当时，如图1，则______．②当时，如图2，若，求的长．(2)如图3，作交的延长线于点，交于点，连接，求证：．【答案】(1)①；②(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件作辅助线构造全等三角形是解题关键．（1）①证即可求解；②过点作于，证，再证，可求．（2）在上截取，连证，再证，即可求证．【详解】（1）解：①∵，，，∴∵∴∴∴故答案为：②过点作于，如图所示：

∵，，∴∵，∴∵，∴∴，∵，∴∵，∴∴∴（2）解：在上截取，连，如图所示：

∵，，，∴∴，∵，∴∵∴∵∴∴∵4．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图1，已知：，点A、B在的边上，，点D为直线上一动点，连接，过点A作，且，作，垂足为F．(1)当点D在线段上时，证明：；(2)如图2，当点D在线段延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，作点E关于直线的对称点，连接、，与直线交于点H，求证：．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)见解析【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能熟练应用三角形全等证明线段相等是解题的关键．（1）根据“同角的余角相等”证明，再根据“AAS”证明即可；（2）类比（1）的方法证明即可；（3）延长交的延长线于点，利用“ASA”证明即可得证．【详解】（1）证明：，，，，，，，，在和中，，．（2）解：结论成立．，，，，，，，，在和中，，，．（3）证明：如图：如图，延长交的延长线于点，，，，，，，，又E、关于直线对称，，，、、三点共线，由（2）可得，，，，即，，，，，，在和中．【题型三利用三角形全等求证角之间的关系问题】例题：（23-24八年级上·湖南永州·期中）在中，，，点D为上一动点．

(1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：；(2)在（1）的条件下，求证：；(3)由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，不变化，理由见解析【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．（1）根据，得出，即可根据证明；（2）易得，根据，得出，则，进而得出，则，即可求证；（3）过点A作的垂线交于点E，易得，，即可得出，通过求证得出，则是等腰直角三角形，即可求出．【详解】（1）解：∵，∴，在和中，∴；（2）解：∵，∴，由（1）得，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：，不变化，理由如下：

过点A作的垂线交于点E∵∴∴同理∵∴同（1）理得在和中，∴∴∴是等腰直角三角形∴．【变式训练】1．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）点P、Q分别是边长为的等边的边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．

(1)连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；(2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．【答案】(1)不变，(2)不变，【分析】（1）因为点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为cm/s，所以，，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数．（2）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数．【详解】（1）解：不变．等边三角形中，，，又由条件得，，，；（2）解：不变．在等边三角形中，，，又由条件得，，，，又，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键．2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．

(1)【观察发现】如图①，与的数量关系是；(2)【尝试探究】点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；(3)【深入思考】如图②，若E为中点，探索与的数量关系．【答案】(1)(2)的大小不变，(3)【分析