四川省凉山州冕宁中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理

PAGEPAGE9四川省凉山州冕宁中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知命题p：“∃x0∈R，－x0－1≤0”，则命题p的否定为()A．∃x0∈R，－x0－1≥0B．∃x0∈R，－x0－1>0C．∀x∈R，ex－x－1>0D．∀x∈R，ex－x－1≥02．函数的导数是（）A．0 B． C． D．不确定3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b相互垂直，则k的值是()A．1B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(7,5)4.与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为()A．B．C．D．5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是()A．至少有1个白球；都是白球B．恰有1个白球；恰有2个白球C．至少有1个白球；至少有1个红球D．至少有1个白球；都是红球6.平面α的斜线l与它在这个平面上的射影l′的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为 ()A.30° B.45° C.90° D.60°7.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为eq\f(1,6).事务A表示“小于5的偶数点出现”，事务B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事务A＋(表示事务B的对立事务)发生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)8．四面体中，分别是的中点，是的三等分点（靠近N），若，，，则（）A． B．C． D．9.函数的单调递减区间为（）A.B.C.D.10．函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（）A．函数有3个极值点B．函数在区间上是增函数C．函数在区间上是增函数D．当时，函数取得极大值11.甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为（）A． B．C．D．12．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在边长为2的正方形内任取一点，则该点到正方形中心的距离不大于1的概率为____________.14．设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是_______.15．已知，函数在是单调递增函数，则的最大值是____________．16．若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是________．解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）命题：函数有意义；命题：实数满意.（1）当且为真时，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18.（12分）某市为了解全民健身状况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如图所示的频率分布直方图.(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;(2)①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.19.（12分）已知函数，且f(x)在处的切线为．（1）求a的值；（2）求函数f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．20．（12分）如图，四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，，，是上一点，且，设．（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．21.（12分）已知椭圆的长轴长与焦距分别为方程的两个实数根。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线过点且与椭圆相交于两点，是椭圆的左焦点，当面积最大时，求直线的斜率。22．（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证：；（3）设，是否存在唯一的自然数，使得与的图象在区间上有两个不同的公共点？若存在，试求出的值，若不存在，请说明理由．冕宁中学2024—2025学年度下期高2024届半期考试高二理科数学参考答案一、选择题CADABDCBDCAB二、填空题13.14.15.616.三、解答题17.解：(1)若命题为真，则，解得，当时，命题，若命题为真，则，解得，所以，因为为真，所以，均为真，所以，所以，所以实数的取值范围为．(2)因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，所以，所以或，所以，所以实数的取值范围是．18.解：(1)平均数的估计值=15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.15+55×0.1+(65+75)×0.05=37.前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数的估计值为x,则(x-30)×0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数的估计值为35.（2）①样本中,年龄在[50,70)的共有40×0.15=6(人),其中年龄在[50,60)的有4人,设为a,b,c,d,年龄在[60,70)的有2人,设为x,y.则从中任选2人的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含15个样本点.记A为“至少有1人年龄不低于60岁”,则A={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含9个样本点.记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事务A,故所求概率P(A)=.②样本中年龄在18岁以上的居民所占频率约为1-(18-10)×0.015=0.88,故可以估计,该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88=1760.19.解：（1）由已知，∴，又∵在处的切线为，∴，故，∴；（2）由，可得，解得，列表如下：∴，20．解：（1）证明：∵四边形是菱形，∴是的中点，．∵，，∴平面．∵平面，∴．∵，是的中点，∴．∵平面，平面，，∴平面．……5分（2）解：由（1）知平面，，∴，，两两相互垂直．∴以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示．设，∵四边形是菱形，，∴和都是等边三角形．∴．∴，，，．∴，，，∵，∴，∴．即．……7分∴，．设平面的法向量为，则令，得，，∴．……9分设平面的法向量为，则，令，得，．∴．设二面角的平面角为，结合图象可知，，∴二面角的八弦值